椭圆的定义和标准方程

1、第三节 椭圆一、椭圆的定义和标准方程1.取一条长度一定且不可伸缩的细绳，把它的两个端点固定在黑板上的f1，f2两点 (使绳长大于f1到f2的距离)，用粉笔尖把绳子拉紧，使笔尖在黑板上慢慢移动一周，得到的图形是什么？得到的图形是椭圆得到的图形是椭圆2.在画椭圆的过程中需要注意哪几个问题？(3)绳长大于f1到f2的距离椭圆的焦距：f1f2(1) f1，f2为固定两点平面内与两定点f1、f2 的距离之和为常数 (大于| f1f2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。椭圆的定义：f1、f2椭圆的焦点：|f1f2|(2)笔尖到f1与f2的距离之和为绳长(定长)m平面内与两定点f1、f2 的距离之和为常数的

2、点的轨迹(或集合)叫做椭圆。椭圆的定义： o|mf1|+|mf2|= 2a (a0)2222(x+c) +y+(x-c) +y=2a(-c,0)(c,0)xy 求求平面内与两定点f1、 f2 的距离之和为常数(大于| f1f2|)的点的轨迹(或集合) ？ f1f2m椭圆的定义：平面内与两定点f1、f2 的距离之和为常数(大于| f1f2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。(c0)设点m(x,y)为所求轨迹上任意一点解：| f1f2|=2c常数=2a(a0)ac2222(x+c) +y =2a-(x-c) +y2222222(x+c) +y =4a -4a (x-c) +y +(x-c) +y22

3、2a-c x = a(x -c )+ y422 22 222 22 2a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y22222222(a -c )x +a y =a (a -c )222222bx+ ay= ab222bac(b0)焦点在y轴的椭圆的标准方程：焦点在x轴的椭圆的标准方程：22221xyab(0)a b 12(,0),( ,0)fcfc222cab22221yxab(0)a b 12(0,),(0, )fcfc222cab常数(绳长) =2a 焦距:222bac| f1f2|=2c(c0)(a0)(b0)设点m(x,y)为所求轨迹上任意一点|mf1|+|mf2

4、|= 2a (a0)2222x +(y+c) +x +(y-c) =2a22221yxab令f1(0，-c), f2 (0，c) | f1f2|=2c (c0) 常数常数=2=2a a (a0) (a0)解：设点m(x,y)为所求轨迹上任意一点解：|mf1|+|mf2|= 2a (a0)22221xyab2222(x+c) +y +(x-c) +y =2a令f1(-c,0)，f2 (c,0) |f1f2|=2c (c0)(c0) 常数常数=2=2a a (a0) (a0)22222222222222222(a -c )x +a y =a (a -c )ba -cb x +a y =b(0)ab

5、 222222x +b y =a baxymf2f1o22222222a x +(a -c )y =a (a -c )222ba -c (0)b f1f2myxo1.求下列椭圆的焦点和焦距。22(1)154xy22(2)216xy54解 ： 因为所以焦点在x轴上22a= 5, b= 422211cabc焦点为：12(1,0),(1,0)ff2211 68yx2216,8ab22216882 2cabc焦点为：12(0,22 ),(0,22 )ff焦距为： 222c 焦距为：4224 2c1 68所以焦点在y轴上因为2 . 已知椭圆的焦点为 f1 (-3，0) ，f2 (3，0)，椭圆上一点到两

6、焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程。2105aa222222225 3 16ca bba c 故所求椭圆的标准方程为：2212 51 6xy22221xyab(0)ab设椭圆标准方程为解： 因为 12( 3,0),(3,0)ff所以焦点在x轴上，c=3 f1f2myxo3.已知椭圆上某点到两定点的距离之和为6，两个定点之间的距离为 ，求椭圆的标准方程。 2 5解：因为 2a=6 2c= 所以 a=3 c= 2 55222954bac焦点在x轴的椭圆标准方程为22194xy焦点在y轴的椭圆标准方程为22194yx设焦点在x轴的椭圆标准方程为22221xyab222954bac22221yxa

7、b设焦点在y轴的椭圆标准方程为的焦点，12pf f三角形，求的周长？2212 59xy 设f1、 f2为椭圆p为椭圆上一点，与f1、 f2构成一个解：12pf f周长1122121222pfffpfpfpfffac2212 59xy f1f2p22225916428cabcc22 5521 0aaa12pf f =10+8=18 所 以的 周长长yx f1f2poabf1已知椭圆 与x轴，y轴的正半轴分别交于a、b两点，左焦点为f1，求 的面积？2212 51 6xy1abfabf1xyox1a b f11s=a fo b211=o f+ o ao b2解因为点a为椭圆与x轴正半轴交点所以201552 51 6xxoa因为点b为椭圆与y轴正半轴交点所以201442 51 6yyo b221251633cabof115341 62a b fs位置焦点在x轴上 焦点在y轴上图形方程相同点不同点222cab2.12(,0),( ,0)fcf c12(0,)