错位相减法数列求和法

1、特定数列求和法一错位相减法在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过 程：数列an是由第一项为ai，且公比为q的等比数列，它的前n项和是Snaiaiq aiq2aiqn i，求 Sn的通项公式。解 由已知有Snaiaiqaiq2 . aiqn i，两端同乘以q，有(1qsnq)Sn ai23aiqaiqaqnaiqi时，由可得Snnaii时，由可得sn于是Snn

2、 ai(qi)或者通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式， 这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过 程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。可以归纳数学模型如下：已知数列4是以ai为首项，d为公差的等差数列，数列 0是以bi为首项，q(q 1)为公比的等比数列，数列Cn anbn，求数列Cn的前n项和.解 由已知可知Cnaida2b2a3b3.a.bnG两端同乘以q可得qcn a1b1qa2b2q a3b3qan 1 bn1q

3、anbnq=睑 a2b3玄3匕4.an 1bnanbnq G由-得(1 q)Cna1b1 d (b2 b3.01bn)anbnq化简得a1b1Cnd(b2 b3 .bn 1 bn)anbnq,心(q 1)i q许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式，通过对最近几年高考中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型：所求数列中的等差数列是已知这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列， 那么就可以用错位相减法来求解 该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列

4、就不能用错位相减法来求解，得另找他法了 .例1.(2013湖南文)设Sn为数列an的前n项和，已知:ai 0,2an a1 S1 Sn, n N(1)求a1，并求数列an的通项公式(2)求数列nan的前n项和.分析：在本题中第二问要求的是数列nan的前n项和，其中的an我们不能 直接知道是什么数列，n可以由做题经验看出是公差为1的等差数列，所以在本 题中要先求出an，证明是等比数列以后，贝財可以用错位相减法求解 bn.解(1)令nai2a1因为a10所以ai 1令n 2,得2a2S21 a2a2当n 2时，由2anSn ，2an 1Sn 1 ,两式相减得2an2an 1 a旦2.an 1故数列

5、an是由首项为1,公比为2的等比数列，所以数列an的通项公式为2n 由(1)知,nan n 2n 1.记数列nan的前n项和为Bn.于是Bn 1 2 2 3 22 L n 2n1 ,2Bn1 2 2 22Ln2n,-得Bnn2n(12 22L 2n 1)1(n 1) 2n.2 n 1 例2.(2010新课标卷理)设数列 an满足a1 2a 1 an 3 2(1) 求数列an的通项公式；(2) 令bn nan，求数列的前n项和Sn解(1)由已知，当n 1时，an 1 (an 1 an ) (an an 1 ) L(a2 a1 ) a13(22n 122n 3 L 2)21) 1所以数列an的通项

6、公式为an 22n1(2)由 bn nan n 22n 1 知Sn1 2 2 233 25L n 22n 1 ，从而22 Sn1 232253 27 L2n 1n 2 ，-得2亠 亠3亠5亠2n 1亠2n 1(12 ) Sn2 22 L2n 2，即1S -(3n1)22n 12.9评析：在上述两个例题中的第一问中都是先求出了an是等比数列，所以此时的nan就是一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列，符合模型要求，最后才可以用错位相减法快速地求出nan的前n项和.所求数列中的等比数列是已知这种类型的题与第一种类型题相反，就是在所求的复杂数列中直接写明其中一个是等比数列，只要求出或者证明另一个

7、是等差数列， 则我们就可以用错位相减法来求解该题，如果另一个不是等差数列则我们就不能用错位相减法来求 解，下面我们又来看看这类题型的应用。例3.（2013辽宁理17）已知等差数列an 满足 a20， a6 a810.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列孕7的前n项和.2n 1分析：在本题中最终要求的是数列許的前n项和'其中的a"不能直接知道是什么数列，要通过已知求解，-12我们可以由做题经验看出是以公比为丄的2等比数列，故在本题中我们要先求出an，证明它是等差数列以后，贝財可以用 错位相减法求出数列 為 的前n项和.2解(1设等差数列an的公差为d，从已知条件可知道:a

8、d o2a 12d10解得d'故数列an的通项公式为an 2 n(2)设数列an的前n项和为Sn，Snaia2a3221，所以当1时,Sn2a?aa1a3a222ar2色2鱼22an 1n 1an12门1an歹，又 an an 1所以a1（1)an)歹1:（i）n12n2nSnn2* 1 .例4. （2012江西理16）已知数列an的前n项和为Sn=丄门2+ kn（k N*）,并2且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；9 2a求数列 的前n项和Tn.92a分析：在本题第二问中要求的是数列“的前n项和，其中的an不能直接知道是什么数列，要通过已知求解， 丄可以由数学经验看出是公

9、比为 1的等2n 2 比数列，所以在本题中要先求出an，证明它是等差数列后，才可以用错位相减 法求出数列匸沦的前n项和。2n* 1解（1）根据题目可知，当n= k N时，Sn=n2+ kn取得最大值，即28二"一干 + / 二尹，16(k N +),因此k= 4，从而an = Si 一 Sn-1 = n (n2).2又a1 = S1 = 7，所以2an= 一 n.（等差数列）2b 9 2an bn班，将an代入bn得b 丄bn144Tn= bl + b2+ bnn2n1 _n2 2介所以Tn= 2Tn 一 Tnn2* 1 .评析：在上述两题中的第一题中先证明了 an是等差数列，所以此

10、时的為 就是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式， 符合模型要求；第二题中，2先在第一问求出了 Sn的公式，再根据这个公式求出了 鱼是等差数列，所以此时n的0也是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，符合模型要求，最后我们在这两个题中才借用错位相减法来快速地求出所求数列的前n项和.所求数列中的等比数列和等差数列都未知求解这种类型的题的难度就比较大了，因为在所求的复杂数列中不能直接 明显地看出它其中包含的等差数列和等比数列， 则需要根据题目已知来找出或者 证明所求数列是一个等差数列与一个等比数列的乘积，这样才能依据错位相减法来计算结果。例5. （2013山东.理）设等差数列an的前n项和为Sn，

11、且S4 4S2,a2n 2an 1（ 1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前a 1n项和Tn，且Tn -一 （为常数），令Cn b?n（n N ）.求数列Cn的前n项 2和Rn.分析：本题中要求的是数列Cn b2n（ n N ）的前n项和，其中b2n不能直接知道是什么数列，在第二问中又知道 bn和an有关系，所以在本题的第一问中我 们要先求出an，再在第二问中将bn求出，最后当Cn满足错位相减法的条件后我们就可以用错位相减法来求解了 解:（1）由 Q 4S2,a2n 2an 1, an为等差数列，可得a11,d2所以an 2n 1由Tna2n1得b1 T11当n 2时,Tn 1an 1

12、12n1-可得所以当 0时,bnCn-得当 0时,Rn1 ?n14n11244212歹43n1014b2n2nn 19 4n 1，4n1(n1)Cnb2n4n 1 (n2)Rn53n 199 4n1例6. （2009上海青浦区）设数列an的前n和为Sn，已知S - , S2 13 , S3 16 ,333S4聖,3，般地，Sn1232/4(2n 1231).（n N* ）.（当n为偶数时）（1）求a4 ；（2）求 a2n ；（3）求和：a1 a28384a5 36a2n1a2n .分析：本题中要求的是a氏玄4a5a6a2n 1a2n的和，虽然不能直接看出4(2n 1 1),(当n为奇数时)12

13、3它是数列，但可以抱着这样的心态来看看，通过第二问中的a2n来求出那一串的和，也许可以转化为一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，那么就可以用错位相减法来求和了 解 （1）略.7(2)当 n2k时,(k N* )a2ks2kS2k 1(2k)212(2k)4 2k 22k(2 1) 2123所以a2n4n (N* ).(3)(2)同理可求得:a2n 113(2n °，a2n 1a2n =Tn，Tn4Tn两式相减得3Tn丄4 3 425 433423 435334(2n 1) 4n44(2n 1) 4n1,所以Tn评析:在上述两题中,2(42434n)(2n 1) 4n 1,2n 19都不能直接知道所求的是什么形式的数列，所以只4n1n 141)9将所求的结论转化成一个等差数列与一个等比数列的能从题目中找出相关条件，乘积形式，使之符合模型要求，这样才能在这两个题中借用错位相减法来快速地 求出所求结果。总结数列求和不仅在高中数学中有着十分重要的作用，也