二次函数复习重点以及根的分布问题

1、初三数学培优卷：二次函数考点分析二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点:开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.二次函数 y=ax2+bx+c a, b, c 是常数，a 丰 02一般式： y=ax +bx+c，三个点顶点式：y=a x- h 2+k，顶点坐标对称轴顶点坐标b2a4ac b24a).顶点坐标h, ka b c作用分析I a |的大小决定了开口的宽窄，丨a |越大，开口越小，|a |越小，开口越大，a, b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a, b同号时，对称轴x=<0,2a即对称轴在y轴左侧，当a, b?异号时，对称轴

2、x= >0，即对称轴在y轴右侧，左同右异y轴为0|2ac?的符号决定了抛物线与 y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上 a, b, c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出.交点式：y=ax- x ix- x 2,有交点的情况与x轴的两个交点坐标xi, X2对称轴为h一元二次方程ax2 bx c 0根的分布情况2 2设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为Xi,X2且 X2，相应的二次函数为 f x ax bx c 0,方程的根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均

3、是充要条件表一：两根与0的大小比拟即根的正负情况两个负根即两根都小于 0X 0,x20两个正根即两根都大于0x10, x2 0一正根一负根即一个根小于0,一个大于0 %0 x2表二：两根与k的大小比拟分布情况两根都小于k即x1k, x2k两根都大于k即x1 k, x2k一个根小于k，一个大于k即Xik x2o大致图象<a得出的结论b2a k2ao大致图象<a得出的结论b2af kb2af k综合结论不讨论ab2ab2aa f k表三：根在区间上的分布分布情况两根都在m,n内两根有且仅有一根在 m, n内图象有两种情况，只画了一种一根在 m,n内，另一根在 p,q内，m n p q得

4、出的结论0f m 0f n 0bmn2aO大致图象<af m 0fn0fmfn0或fp0fpfq0f q 0得出的结论0f m 0f n 0bm 一 n2af m 0fn0f mf n0或fp0f pf q0f q 0综合结论不讨论a根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧 x-i m, x2 n ,图形分别如下需满足的条件是f n 0f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在 m, n内有以下特殊情况:1 假设f m0或f n 0，那么此时f m gf n0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为可以求出另外一根，然后可以根

5、据另一根在区间m, n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2 m 2 x 2 0、 2 2 2在区间1,3上有一根，因为f 10,所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为，由13mm2得 m 2即为所求；32 方程有且只有一根，且这个根在区间m, n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如假设不在，舍去相应的参数。如方程x2 4mx2m 60有且一根在区间 3,0内，求m的取值范围。分析：3 gf 00 即14m 150得出 3 m15 ;由1420即16m4 2m 60得出1或m -，当2m 1时,23,0，即1满足

6、题意；当m |时，根x 33,0，i不满足题意;综上分析，得出3m兰或m14例2、方程2x2m 1 x m 0有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。例3、二次函数y_ 2 _ _ _m 2 x 2m 4 x 3m 3与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于1,求实数m的取值范围。例4、二次方程mx22m 3 x 40只有一个正根且这个根小于 1，求实数m的取值范围。1.解：由 2m 1 gf 00 即2解：由0m 1 0 2g2f 002m 1 m 18m0,从而得 1 m 1即为所求的范围。2m 3 2或 m 3 22m 00 m 3 22或m 3 2 2即为所求的范围。13解：由 m 2 gf 1 0即 m 2 g2m 102 m即为所求的范围。、 14解：由题意有方程在区间