选修2121椭圆方程课件

1、1.1.回顾：我们是如何定义圆的呢？回顾：我们是如何定义圆的呢？ 圆就是平面内到圆就是平面内到一个定点一个定点的距离的距离等于定长的点的轨迹等于定长的点的轨迹平面内到平面内到两定点的距离之和等两定点的距离之和等于常数于常数的点的轨迹是什么？的点的轨迹是什么？椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程数数 学学 实实 验验同学们一起观察以下操作：同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无弹性的长为在图板上，将一根无弹性的长为2a的细绳的细绳的两端（两端点距离为的两端（两端点距离为2c）用图钉固定在不）用图钉固定在不同处，套上铅笔，使笔尖沿细绳运动，能得同处，套上铅笔，使笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？到

2、什么图形？绳长12ff12ff绳长反反 思思n（1）在画出一个椭圆的过程中，细绳的两在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？端的位置是固定的还是运动的？n（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？了没有？说明了什么？n（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？定点距离大小有怎样的关系？归纳：归纳：椭圆的定义：椭圆的定义： 平面内与两定点平面内与两定点f1、f2的距离之和等于常数的距离之和等于常数（大于（大于|f1f2|）的点的轨迹叫椭圆）的点的轨迹叫椭圆. 定点定点f1、f2叫

3、做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距叫做椭圆的焦距. 探究：探究：|mf1|+ |mf2|f1f2| 椭圆椭圆|mf1|+ |mf2|=|f1f2| 线段线段|mf1|+ |mf2|f1f2| 不存在不存在由上可知，只有当满足由上可知，只有当满足2a 时，时，得到的点的轨迹才是椭圆，所以在椭得到的点的轨迹才是椭圆，所以在椭圆的定义中要注意这个条件。圆的定义中要注意这个条件。21ff一、椭圆的定义一、椭圆的定义平面内到两定点平面内到两定点 的距离的和等的距离的和等于常数于常数2a(2a ) 的点的轨迹叫的点的轨迹叫做椭圆做椭圆.21ff21ff、其中这两个定点叫做

4、其中这两个定点叫做椭圆的焦点，椭圆的焦点，两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距.文字语言文字语言f1f2m21mfmf =2a(2a )21ff数学语言数学语言下面来求椭圆的标准方程下面来求椭圆的标准方程.怎样建立平面直角坐标系呢？怎样建立平面直角坐标系呢？ 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案oxyoxyoxymf1f2方案一方案一f1f2方案二方案二oxymoxy2 2原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴直

5、线作为坐标轴.).)(对称、对称、“简洁简洁”)1f2fxyo),(yxm 取过焦点取过焦点f1、f2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段f1f2的的垂直平分线为垂直平分线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系,如图所示。如图所示。 设设m(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，m与与f1、f2的距离的和等于正常数的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则，则f1(-c,0)、f2(c,0)。由定义知：由定义知：amfmf221()()222221 ycxmfycxmf-()()aycxycx22222-将方程移项后平方得：将方程移项后平方得：()()()

6、222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-两边再平方得：两边再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222caayaxca-课本课本p39页推导过程页推导过程()()22222222caayaxca-由椭圆定义知：由椭圆定义知：0,2222-cacaca即(): 0 222得设-bbca222222bayaxb两边同除以两边同除以 得：得：22ba这个方程叫做椭圆的标准方程，这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在它所表示的椭圆的焦点在x轴上轴上. 如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上且关于原点对称，用类似的轴

7、上且关于原点对称，用类似的方法，可得出它的方程为：方法，可得出它的方程为：它也是椭圆的标准方程。它也是椭圆的标准方程。1f2fxyo),(yxm22221(0)xyabab22221(0)yxabab二、椭圆的标准方程二、椭圆的标准方程) 0(12222babyaxyx0m2f1f1椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴方程特点方程特点2焦点是焦点是 （c，0）、（c，0）1f2f3222bac-)0(12222babxayyxm1f2f01椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴方程特点方程特点2焦点是焦点是 （0，c）、（0，c）1f2f3222bac-给了一个标准方程后，如何来判断它给了一个标准方程后，如

8、何来判断它的焦点落在哪个坐标轴上呢？的焦点落在哪个坐标轴上呢？) 0(12222babyax)0(12222babxay哪个轴的分母大焦点就落在那个轴上哪个轴的分母大焦点就落在那个轴上注意：注意：（1）、在两种方程中，总有）、在两种方程中，总有0 ba（2）、）、 有关系式：有关系式：cba,最大即acbabac , 222222-（4）、）、 在在 的分母下，焦点在的分母下，焦点在x轴上；轴上； 在在 的分母下，焦点在的分母下，焦点在y轴上。轴上。2a2y2a（3）、结构特征：左边是和，右边是）、结构特征：左边是和，右边是12x()0 12222babyax ()0 12222babxay图

9、图 形形方方 程程焦焦 点点f( (c，0)0)f(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)定定 义义12yoffmx1ofyx2fm注注: :共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.11625)2(22yx11)3(2

10、222mymx11616)1(22yx0225259)4(22-yx123)5(22-yx11624)6(22-kykx练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?1162522yx116914422yx112222mymx判定下列椭圆的焦点在判定下列椭圆的焦点在 轴，并指明轴，并指明a、b，写出焦点坐标写出焦点坐标答：在答：在 x 轴。（轴。（-3，0）和（和（3，0）答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（和（0，5）答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（和（0，

11、1）小结（一）小结（一）椭圆的标准方程有几种？椭圆的标准方程有几种？方程都有什么特点？方程都有什么特点？如何判断标准方程的如何判断标准方程的焦点落在哪个轴上？焦点落在哪个轴上？例例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点p到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 12yoffmx.解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 12222b

12、abyax192522yx求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程（1）首先要）首先要判断判断类型，类型，（2）用）用待定系数法待定系数法求求ba,定义法例例2 2. .已已知知椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别为为（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且经经过过点点（， - -），求求它它的的标标准准方方程程. .2 22 22 22 22 22 2解解 : :因因为为椭椭圆圆的的焦焦点点在在x x轴轴上上，所所以以设设它它的的标标准准方方程程为为x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 2

13、2 2由由椭椭圆圆的的定定义义知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因为为c c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .22222222因因此此，所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为xyxy+=1.+=1.1061062222xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnm,nm,n满满足足

14、什什么么条条件件，并并指指出出焦焦点点坐坐标标. .2 22 2x xy y解解 ： 若若+ += = 1 1表表 示示 焦焦 点点 在在 x x轴轴 上上 的的 椭椭 圆圆 ， 则则mmn nmm n n 0 0, , 且且 c c = =mm - - n n , ,所所 以以 ， 焦焦 点点 坐坐 标标 为为 ( (mm - - n n , ,0 0) ), ,( (- -mm - - n n , ,0 0) ). .2 22 2变变式式引引申申: :若若焦焦点点在在y y轴轴上上；如如果果不不指指明明在在哪哪个个坐坐标标轴轴上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示椭

15、椭圆圆，mm, ,n n应应满满足足什什么么条条件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn,n,当当mn0mn0，表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆；当当nm0nm0，表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆. .2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆，mnmn 则则 nm0, nm0,且且c =n-m,c =n-m, 所所以以，焦焦点点坐坐标标为为(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m).2222xy

16、xy(2)(2)若若+=1+=1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn.n.mnmn2222分分析析：点点p p在在圆圆x +y =4x +y =4上上运运动动, ,点点p p的的运运动动引引起起点点mm的的运运动动. .我我们们可可以以由由mm为为线线段段pdpd的的中中点点得得到到点点mm与与点点p p坐坐标标之之间间的的关关系系式式, ,并并由由点点p p的的坐坐标标满满足足圆圆的的方方程程得得到到点点mm的的坐坐标标所所满满足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圆圆x x + +y y = =4 4上上任任取取一一个个点点p p，过过点点p p作作x

17、x轴轴的的垂垂线线p pd d，d d为为垂垂足足. .当当点点p p在在圆圆上上运运动动时时，线线段段p pd d的的中中点点m m的的轨轨迹迹是是什什么么? ?为为什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 设设点点的的坐坐标标为为( (x x, ,y y) ), ,点点的的坐坐标标为为( (x x , ,y y ) ), ,则则y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因为为点点( (x x , ,y y ) )在在圆圆x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x

18、x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以点点的的是是轨轨迹迹一一个个椭椭圆圆. .代入法小结小结(二二)本节课我们主要学习：本节课我们主要学习：椭圆的定义椭圆的定义推导出椭圆的两个标准方程推导出椭圆的两个标准方程()0 12222babyax12yoffmxy xof2f1m()0 12222babxay定定 义义图图 形形方方 程程焦焦 点点f(f(c c，0)0)f(0f(0，c)c)a,b,c之间之

19、间的关系的关系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)椭圆的标准方程椭圆的标准方程求法： 一定定焦点位置；二设设椭圆方程；三求求a、b的值.再见！再见！练习练习2.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为f1(0,3)，f2(0,3),且且a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；6(3)两个焦点分别是两个焦点分别是f1(2,0)、f2(2,0),且过且过p(2,3)点；点； (4)经过点经过点p(2,0)和和q(0,3).2211 61 2xy22xy+= 149小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定量：求定量：求a, b的值的值.练习练习3. 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若c为椭圆上一点，为椭圆上一点，f1、f2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且并且cf1=2,则则cf2=_. 1162522yx变式：变式： 若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1