高等数学-第二章：导数与微分

1、高等数学高等数学 (上上)书名：高等数学书名：高等数学 （上）（上）ISBNISBN： 978-7-111-30309-1978-7-111-30309-1出版社：机械工业出版社出版社：机械工业出版社本书配有电子课件本书配有电子课件高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等数学高等数学 (上上)第二章第二章 导数与微分导数与微分学习目标：学习目标：1 1、理解导数与微分概念的意义；、理解导数与微分概念的意义；2 2、能熟练计算初等函数的导数与微分。、能熟练计算初等函数的导数与微分。高等数学高等数学高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt pp

2、t 课件课件高等数学高等数学 (上上)导数的概念导数的概念求导法则和基本求导公式求导法则和基本求导公式函数的微分函数的微分隐函数和由参数方程所确定函数的导数隐函数和由参数方程所确定函数的导数 高阶导数高阶导数主要内容主要内容高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等数学高等数学 (上上) M 0M O 0s s s 图 2-1 一、两个实例一、两个实例 1 1变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度21( )2sf tgt自由落体运动自由落体运动: 第一节第一节 导数的概念导数的概念 00()( )sf ttf t 2012gttg t 第二步：第二步：

3、 求求 ts012svgtg tt第三步：第三步： 求求0limtst 000001( )limlim2ttsv tgtg tgtt 第一步：第一步：求求s高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等数学高等数学 (上上) 0M M T 图 2-2 在曲线上任取不同于在曲线上任取不同于M M0 0点的一点点的一点M M，作割线作割线M M0 0M.M.当当点点M M沿着曲线移动并趋于沿着曲线移动并趋于M M0 0点时，割线就以点点时，割线就以点M M0 0为为轴转动，割线轴转动，割线M M0 0M M的极限位置的极限位置M M0 0T T就叫做曲线在点就叫做曲

4、线在点M M0 0处的切线，点处的切线，点M M0 0叫做切点。叫做切点。 y O x y )(0 xf 0M M xx0 0 x 图 2-3 曲线切线的定义曲线切线的定义高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等数学高等数学 (上上)第一步：第一步：求求 yx0limxyx 00()( )yf xxf x xxfxxfxykMM)()(000 xxfxxfxykkxxMMx)()(limlimlim000000y第二步：第二步：求求第三步：第三步：求求切线斜率的求法切线斜率的求法高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等

5、数学高等数学 (上上) 二、导数的定义二、导数的定义)(xf设函数设函数在点在点及其近旁有定义，当自变量及其近旁有定义，当自变量0 x有增量有增量x时，函数有相应的增量时，函数有相应的增量)()(00 xfxxfy当当0 x时，若时，若xy的极限存在，则极限值就称为函数的极限存在，则极限值就称为函数)(xf在点在点0 x的导数，并称函数的导数，并称函数)(xf在点在点 0 x导数），记为导数），记为0 xxy，即，即00limxxxyyx xxfxxfx)()(lim000也可记为也可记为0()fx或或0)(xxxfdxd.可导（或有可导（或有=0 x xdydx或或高等数学高等数学 （上）（

6、上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等数学高等数学 (上上)22(2)(2)(2)2yfxfx 24()xx解解 （1）求函数改变量）求函数改变量（2） 求xxxxxy442（3） 当当x时，求时，求xy的极限：的极限：00limlim (4)4xxyxx 所以，所以，( 2 )4f 0例例1 1求求在点在点处的导数处的导数2)(xxfy2x高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等数学高等数学 (上上) 注意注意:xy( )yf x00 ,x xx是函数是函数00,xx x（1）在区间在区间或或上的平均变化率；而上的平均变化率；而0 xxy则

7、是函数则是函数( )f x在点在点 0 x的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度.（2） 如果极限如果极限0limxyx不存在，则称不存在，则称( )f x在点在点 0 x不可导；如果不可导的原因是当不可导；如果不可导的原因是当0 x 时时yx 所引起的，则称函数所引起的，则称函数()fx在点在点0 x的导数为无穷大的导数为无穷大.高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等数学高等数学 (上上)三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系定理定理 注意：一个函数在某点连续，注意：一个函数在某点

8、连续， 但在该点函数不一定可导但在该点函数不一定可导. .)(xf如果函数如果函数 在点在点 处可导处可导,则它一定在点则它一定在点 处连续处连续.0 x0 x高等数学高等数学 （上）（上） 高职高专高职高专 ppt ppt 课件课件高等数学高等数学 (上上)四、函数在区间内可导的概念四、函数在区间内可导的概念 ( )yf x( , )a b( )yf x如果函数如果函数在区间在区间内的每一点都可导，内的每一点都可导，则称函数则称函数在区间在区间( ,)a b内可导内可导.这时，对于区间这时，对于区间( , )a b内的每一个确定的内的每一个确定的x值，都有唯一的导数值值，都有唯一的导数值(

9、)f x与之对应，即与之对应，即0()( )( )limxf xxf xf xx 所以所以( )fx也是也是的函数，称作的函数，称作( )f x在在( , )a b导函数，记作导函数，记作y( )fxdxdydxxdf)(或或x内的内的,.,说明说明)(xf在点在点 的导数值的导数值 就是导函数就是导函数 在点在点 的函数值，即：的函数值，即：0 x0 x)(0 xf)(xf0)()(0 xxxfxf高等数学高等数学 (上上) 例例2 2 2222yxxxx xx xy2 xx =xxxxyxx22limlim00 222;2 2 4xyxxy 解：解：所以：所以：导函数也简称导数导函数也简称

10、导数. . 求一个函数的导数运算称为求一个函数的导数运算称为微分法微分法. .说明说明高等数学高等数学 (上上)五、五、 求导数举例求导数举例y C0,0yyCCx 00limlim0 0.xxyyx 例例3 求常值函数求常值函数的导数的导数.解：解：所以所以 也就是说，常数的导数等于零，即也就是说，常数的导数等于零，即 ( )0C 高等数学高等数学 (上上)1()nnxnx ()ny x n Z例例4 求幂函数求幂函数的导数的导数.(过程略过程略)( )1x 112211()()22xxxx 22111xxxx幂函数求导举例幂函数求导举例高等数学高等数学 (上上)sinyx2sin)2cos

11、(2sin)sin(xxxxxxyxy例例5 求正弦函数求正弦函数的导数的导数.解解 (1) 计算函数增量计算函数增量(2)算比值算比值22sin2cos2sin)2cos(2xxxxxxxx0limxyyx xxxxxxxcos22sinlim2coslim00(sin )cosxx （3）取极限）取极限由此可得由此可得同理同理(cos )sinxx 高等数学高等数学 (上上)log(0,1)ayx aalog () logaayxxx loglog 1aaxxxxx例例6 求对数函数求对数函数的导数的导数.解解 xxaaxxxxxxxy1log11logaxexxxxxyyaxxxxln1

12、log11log1limlim00由此得到由此得到 axxaln1logxx1ln特别地特别地高等数学高等数学 (上上)xyexxxeeyxeexeexyxxxxx1例例7 求指数函数求指数函数的导数的导数.解解利用极限利用极限，得，得xxxxxexeexyy100limlim由此得到由此得到 xxee11lim0tett推推广广：对对于于一一般般的的指指数数函函数数,有有导导数数公公式式： 1, 0lnaaaaaxx 高等数学高等数学 (上上)六、左导数和右导数六、左导数和右导数 00000limlimxxf xxf xyfxxx 00000limlimxxf xxf xyfxxx Axfx

13、fAxf000左导数：左导数：右导数：右导数：结论：结论：高等数学高等数学 (上上)21( )1xxf xxx已知，(1)f 判断是否存在？解：解： 0011(1)limlimxxfxfyfxx 22011lim2xxx 0011(1)limlimxxfxfyfxx xxx22011lim11lim0 x例例高等数学高等数学 (上上)七、导数的物理意义与几何意义七、导数的物理意义与几何意义曲线在某点处的切线斜率曲线在某点处的切线斜率变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度几何意义几何意义 物理意义物理意义( )yf x00( , ( )M x f x0( )kf x曲线曲线在点在点则曲线在

14、点则曲线在点00(,()M xf x处的切线方程为：处的切线方程为：000()()()yf xfxxx法线方程为法线方程为 0001()()()yf xxxfx 的切线斜率的切线斜率高等数学高等数学 (上上)(sin )cosstt例例 8 一一 物物 体体 做做 直直 线线 运运 动动 ，其其 运运 动动规规 律律 为为sinst， 求求 该该 物物 体体 在在 任任 意意 时时 刻刻t的的 速速 度度()vt及及3t时时 的的 瞬瞬 时时 速速 度度 . ( )cosv tt解：解：所以，该物体在任意时刻的速度所以，该物体在任意时刻的速度在在3t时的瞬时速度为时的瞬时速度为31()cos3

15、32tvs高等数学高等数学 (上上)32( )3yxx( , )x y解解 是曲线是曲线上任意点上任意点处的切线斜率处的切线斜率（1）在点）在点(1,1)M处，因为处，因为 1x ，所以切线斜率为，所以切线斜率为31321xy根据直线方程的点斜式，得根据直线方程的点斜式，得13(1)yx整理得切线方程为整理得切线方程为 32yx法线方程为法线方程为11(1)3yx 整理得整理得1433yxk=高等数学高等数学 (上上)第二节第二节 求导法则和基本求导公式求导法则和基本求导公式( ),( )uu x vv xxvuvu设设vuvuvu2vvuvuvu1.2.3.一、函数四则运算的求导法则一、函数

16、四则运算的求导法则都是都是 的可导函数，则的可导函数，则推论推论高等数学高等数学 (上上)例例1 1 求下列函数的导数：求下列函数的导数：532sin4cos8yxxx21 lnyxx4523xxy123xy（1）（2）（3）（4）5(3 )(2sin )(4cos )(8)yxxx53( )2(sin )4(cos )0 xxxxxxsin4cos2154(1)解解高等数学高等数学 (上上) 2444452523523523xxxxxxxy24424345245652203523xxxxxx23223316) 1() 1( 2xxxxy(3)(4)xxyln) 12()(ln12(xxxxx

17、x1) 12(ln12xx12ln2(2)高等数学高等数学 (上上)2211)1 ()(xxxf) 1(),1 (ff4) 1(, 4) 1 (ff例例2 设设 ，求，求 。2211)1 ()(xxxf2211)1 (xx3332222222221112xxxxxxxxxx解：解：所以所以高等数学高等数学 (上上)（2） 2cos1seccoscosxyxxx 2sintan seccosxxxx 例例3 3 求下列函数的导数求下列函数的导数 2tansecxxxx2csccot因此因此xxxsectansecxxxcotcsccsc因此因此解（解（1）高等数学高等数学 (上上) 在求导时先对

18、函数变形再求导，有时可简化运算过程在求导时先对函数变形再求导，有时可简化运算过程. 高等数学高等数学 (上上)(1,1)2231xxyx例例5：求曲线：求曲线 在点在点 处的切线方程和法处的切线方程和法线方程。线方程。(1, 1),1(1) 1(xy02 yx(1, 1),1(1)1(xy0 yx于是于是 曲线在点曲线在点 的切线方程是的切线方程是即即曲线在点曲线在点 的法线方程是的法线方程是即即高等数学高等数学 (上上)二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则 引例引例:(cos )sincos2sin2xxxxxy2cos注意：注意：x而是而是 的的复合函数复合函数。不是基本初等函数，不是

19、基本初等函数，?高等数学高等数学 (上上)复合函数求导法则复合函数求导法则: : )(xux)(ufy如果函数如果函数在点在点处可导，函数处可导，函数)(xu点点 处也可导，则复合函数处也可导，则复合函数 在点在点 可可 ( )yfxx ( )( )( )yfxfux也可写成也可写成xuxyyudydy dudxdu dx或或在对应在对应导，且导，且注注:复合函数求导法又称为复合函数求导法又称为链锁法则链锁法则，它可以推，它可以推广到多个函数复合的情形广到多个函数复合的情形.高等数学高等数学 (上上)例例1 1 利用复合函数求导法则求下列函数的导数利用复合函数求导法则求下列函数的导数. . 2

20、2222() ()2( 2 )4 ()yuaxuxx ax xxxxuxuy21211211lnuysinxu 2解解 (sin )(2 )cos22cos2yuxux （1）函数由函数由复合而成复合而成（2）（3）注注: 复合函数的复合层次多于两层时，其计算方法完复合函数的复合层次多于两层时，其计算方法完全一样，只需逐层求导即可。全一样，只需逐层求导即可。高等数学高等数学 (上上)例例2 2 求下列函数的导数求下列函数的导数 vuuysin,ln2xv （1） xvuxvuy2cos1sinln2222cot22cossin1xxxxx函数由函数由与与复合而成复合而成解：解：所以所以xv1（

21、2）221sec1tan12tanxyuvxxx 设设，则则ln ,sinyu uv高等数学高等数学 (上上)2tan5xy 54425tan5tantantansec222222xxxxxy 例例3 求求 的导数的导数.解解 例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数 112xxy213lnxxyxxxy24sectan1 (1)(2)(3)高等数学高等数学 (上上)解解 xxxxxxxxy111122221111221222xxxxxxy（1）有理化分母有理化分母然后求导数，得然后求导数，得（2）先用对数性质展开，得）先用对数性质展开，得21ln3ln(1)2yxxx然后求导数，得然后求导数

22、，得221ln3(1)2(1)yxxxx21213lnx高等数学高等数学 (上上)xxxxy2222tan1tan1tan1tan1xxxxy2sectan2tantan2（3）先化简，得）先化简，得然后求导数，得然后求导数，得高等数学高等数学 (上上)1 1基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式( (见教材见教材) )三、求导公式与求导法则汇总三、求导公式与求导法则汇总2 2函数四则运算的求导法则函数四则运算的求导法则 vuvuvuvuvuvCCv2vvuvuvu2vvCvC（C为常数）.（C为常数）.(1)(2)(3)(4)(5)高等数学高等数学 (上上)3 3复合函数求导法则复合函

23、数求导法则)(ufy )(xu xfy设设则复合函数则复合函数的导数为：的导数为： xufxfy或写成或写成 xuxyy u或或dydy dudxdu dx,.高等数学高等数学 (上上)例例1 1 求下列函数的导数求下列函数的导数 )2ln(2xeyxxeyx21sinxxycossin12xyarctan2)1ln(2xxy(1)(2)(3)(4)(5)高等数学高等数学 (上上)2222222xxexxxeyxxxexeyxx2121sinsin2211221sin2sincossin2sin1xxxexxexxexxx解解(1)(2)（3）xxxxxy222coscossin1cossin

24、1xxxxxxxxsectan2sincossinsincossin2232高等数学高等数学 (上上)xyxxarctan2ln22arctanarctanxxx112ln2arctanxxx122ln2arctan（4）（5）222111lnxxxxxxy22211111xxxxx高等数学高等数学 (上上) 第三节第三节 函数的微分函数的微分 一、一、 微分的概念微分的概念 0 x 0 xx高等数学高等数学 (上上)Ax2Ax若用若用 表示薄板的面积，表示薄板的面积， 表示边长，则表示边长，则 . 于于是面积的改变量为是面积的改变量为222000()2()Axxxxxx 从上式可以看出，从上

25、式可以看出，A由两项构成，由两项构成，02xx和和是次要部分是次要部分.于是，当我们把于是，当我们把2() x忽略不记时，忽略不记时，02xx就是就是A的近似值，即的近似值，即02Axx2()x2()x高等数学高等数学 (上上)02x2Ax上式中上式中 的系数的系数 ，就是函数，就是函数 在点的导数在点的导数 0 x0()A x0()AA xx这就是说，函数这就是说，函数2yxx0 x的自变量的自变量在点在点 的改变量的改变量x时，函数的改变量时，函数的改变量y约等于其在点约等于其在点 0 x的导数的导数02x与与x的乘积的乘积.于是上式又可表示为于是上式又可表示为 . 有微小有微小高等数学高

26、等数学 (上上)(xfy 0 x00limxfxyx设函数设函数在点在点处可导，即处可导，即根据函数极限与无穷小的关系，有根据函数极限与无穷小的关系，有0()yfxx其中，其中，0lim0 x 由此得由此得 0()yfxxx 这表明，函数的改变量这表明，函数的改变量y是由是由0()fxx和和x两项所组成两项所组成.，高等数学高等数学 (上上)0( )0f x00000()limlim0,lim0 xxxfxxxfxxx 0( )f xx当当时，由时，由知：知：是是x的同阶无穷小，的同阶无穷小，x是较是较x高阶的无穷小高阶的无穷小.高等数学高等数学 (上上)当当x很很 小小 时时 ， 0()yf

27、xx 0()0f xy由此可见，当由此可见，当时，在函数的改变量时，在函数的改变量中，起主要作用的是中，起主要作用的是0()fxx，它与，它与y的差是一个较的差是一个较x高阶的无穷小高阶的无穷小. 因此，因此，0()fxx是是y的主要部分；的主要部分；又因为又因为0()fxx是是x的线性函数，所以通常称的线性函数，所以通常称0()fxx为为y的线性主要部分（简称线性主部）的线性主要部分（简称线性主部）高等数学高等数学 (上上)定义定义 )(xfy 0 x0()fxx设函数设函数在点在点处可导，则称处可导，则称为函数为函数)(xfy 在点在点0 x的的微分微分记号：记号：00()xxdyfxx或

28、或00( )x xdf xfxx此时称函数此时称函数)(xfy 在点在点 0 x可微可微. 如果函数在如果函数在区间区间( , )a b内每一点可微，则称函数在区间内每一点可微，则称函数在区间( , )a b内可微内可微.x( )dyfxx( )( )df xf xx函数在任一点函数在任一点的微分，叫做的微分，叫做函数的微分函数的微分，一般，一般或或高等数学高等数学 (上上)( )dxxxx xdx特别地特别地，即，即dx 因此因此( )dyfx dx( )dyfxdx函数函数)(xfy 的导数等于函数的微分的导数等于函数的微分dy与自变量的微分与自变量的微分的商的商.因因此，此，导数导数又称

29、又称微商微商.高等数学高等数学 (上上)例例 1 求函数求函数2xy 在点在点, 3x 当当02. 0 x时的微分时的微分dy和增量和增量y. xdxdxxdxdy222解解 函数的微分函数的微分02.0, 3xx当当时的微分时的微分30.022 3 0.020.12xxdy 函数的增量为函数的增量为2222xxxxxxy1204. 00004. 002. 032结论结论:高等数学高等数学 (上上)例例2 2 求下列函数的微分求下列函数的微分 32) 12(xxyxxysin2dxxxxdxxxdy1126122232dxxxxxxxxdycossin2sin21.2.解解：1.2.高等数学高

30、等数学 (上上)二、二、 微分的几何意义微分的几何意义 y x O x y y A B D C dy xx x 图 2-5 yy 高等数学高等数学 (上上),ACx CDy tanCDACfxxdy ( )yf x由图由图2-5可知：可知：如图如图2-5所示，过曲线所示，过曲线上一点上一点( , )A x y作曲线作曲线( )tankfx. 当自变量在当自变量在 x处取得改变量处取得改变量x时，我们得到曲线上另一点时，我们得到曲线上另一点 (,)B xx yy 的切线，切线的斜率的切线，切线的斜率高等数学高等数学 (上上)结论结论:)(xfyxdy函数函数在点在点的微分的微分 ，等于曲线在，等

31、于曲线在点点),(yxA的切线的切线AD上点的纵坐标对应于上点的纵坐标对应于x的改变量的改变量.这就是这就是微分的几何意义微分的几何意义.高等数学高等数学 (上上)1微分的基本公式微分的基本公式 （）0)(Cd； （）dxxxd1)(； （）adxaadxxln)(； （）dxeedxx； （）dxaxxdaln1)(log； （）dxxxd1)(ln； （）xdxxdcos)(sin； （）xdxxdsin)(cos； （）xdxxd2sec)(tan； （10）xxd2csc)(cot； 三、三、 微分的基本公式与运算法则微分的基本公式与运算法则 高等数学高等数学 (上上)（11）xdxx

32、xdtansec)(sec； （12）xdxxd2csc)(csc； （13）dxxxd211)(arcsin； （14）dxxxd211)(arccos； （15）dxxxd211)(arctan； （）dxxxarcd211)cot( 高等数学高等数学 (上上)微分的四则运算法则微分的四则运算法则dvduvud )(udvvduvud )(CduCud)(2vudvvduvud2vCdvvCd1).2).3).4).5).高等数学高等数学 (上上)四微分形式不变性四微分形式不变性 u( )yf u( )dyf u du是自变量时，函数是自变量时，函数如果如果u( ),( )yf u ux复

33、合而成则则 ( )ufx的微分为的微分为:( )( )dyfux dx因为因为( )x dxdu, 所以有所以有( )dyfu du结论：结论：不论是自变量还是中间变量，函数不论是自变量还是中间变量，函数( )yf u的微分总保持同一形式的微分总保持同一形式( )dyfu du.微分形式不变性微分形式不变性高等数学高等数学 (上上)例例1 用两种方法求下列函数的微分：用两种方法求下列函数的微分： 2sin(32)yxcos2xyex2sinln(31)yxx(1)(2)(3)高等数学高等数学 (上上)解法解法1 1 根据微分的定义根据微分的定义 22sin(32)6 cos(32)dyxdxx

34、xdx( cos2 ) cos2( sin2 ) 2xxxdyex dxex exdx(cos22sin2 )xexx dxdxxxdxxxdy)1332(sin) 13ln(sin2(1)(2)(3)高等数学高等数学 (上上)解法解法2 2 根据微分的基本法则和微分形式不变性根据微分的基本法则和微分形式不变性 222sin(32) cos(32) (32)dy dxxd x26 cos(32)xxdx(cos2 )cos2(cos2 )xxxdyd exx dee dx(cos 22sin 2 )xexx dx2(sin)ln(31)dydxdx12sin(sin )(31)31xdxdxx

35、12sincos331xxdxdxx3(sin 2)31xdxx(1)(2)(3)高等数学高等数学 (上上)21()2dxxdx 21()2dxCxdxdxCxd33解：解： （1）因为因为所以所以(C为任意常数为任意常数). （2） 同理同理 （3）同理同理 xdxCxdcossin1高等数学高等数学 (上上)例例2 2 在下列括号内填入适当的函数在下列括号内填入适当的函数, ,使等式成立使等式成立. .()dxdx()3ddx() cosdxdx(1)(2)(3)高等数学高等数学 (上上)21()2dxxdx 21()2dxCxdxdxCxd33解解 （1） 因为因为所以所以(C为任意常数

36、为任意常数). （2） 同理同理 （3） xdxCxdcossin1同理同理 高等数学高等数学 (上上)五、五、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 xydy 000()( )( )f xxf xf xx 当当很小时，很小时，亦即亦即 将上式移项得将上式移项得xxfxfxxf)()()(000此式常用来计算函数此式常用来计算函数)(xfy 在点在点0 x附近的函数值的近似值附近的函数值的近似值.(2)(1)高等数学高等数学 (上上) 例例1 1 半径为半径为1010的球充气后半径增加了的球充气后半径增加了0.02,0.02,求球求球的体积大约增加了多少的体积大约增加了多少? ? Vr

37、334rV解解 设球的体积为设球的体积为，半径为，半径为，则，则由已知由已知10,0.02rcmrcm ，设球的体积的增加量为，设球的体积的增加量为 V因为因为r很小，所以可以用微分很小，所以可以用微分00.02rrdV 来近似代替来近似代替 V而而324()43dVrrrr 于是于是23100.024100.028 ()rrVdVcm 即球的体积大约增加了即球的体积大约增加了38 cm,.高等数学高等数学 (上上)xxfycos)(xxxxx)sin(cos)cos(000cos60 30例例2 计算计算 的近似值的近似值解解 由于所求的是余弦函数值由于所求的是余弦函数值,故选取函数故选取函

38、数于是于是因为因为60 3060303360所以取所以取360,30 xx(此时此时 很小很小), x代入上式得代入上式得4924. 03603sin3cos3603cos 即即4924. 00360cos高等数学高等数学 (上上)xxfxfxxf)()()(000 xxx , 00( )(0)(0)f xffx在公式在公式（2）中）中,当当 时时,得得 （3） 当当x很小时，可用公式（很小时，可用公式（3）求函数）求函数)(xf在在0 x附近函数值的近似值附近函数值的近似值.高等数学高等数学 (上上)xxex1xx )1ln(当当很小时，可得很小时，可得工程上常用的近似公式工程上常用的近似公

39、式xx sinxx tannxxn11xx arcsin(1)(6)(5)(3)(4)(2)高等数学高等数学 (上上)一一 隐函数及其求导法隐函数及其求导法 ( )yf xxxyxeyx2sincosln,( , )0F x y 第四节第四节 隐函数和由参数方程隐函数和由参数方程 所确定函数的导数所确定函数的导数形如形如 的函数，叫做显函数的函数，叫做显函数,如：如：由方程由方程所确定的所确定的y与与x叫做叫做隐函数隐函数.例如圆的方程例如圆的方程222xyr以及以及sin()xyexy等等等等y因变量因变量 与自变量与自变量x的关系是由一个的关系是由一个, x y的方程的方程( , )0F

40、x y 所确定的所确定的. 之间的函数关系之间的函数关系235 0,xy 含有含有高等数学高等数学 (上上)x显函数有时很容易化成隐函数显函数有时很容易化成隐函数.x（1）在给定的方程两边分别对）在给定的方程两边分别对 求导数，遇到求导数，遇到 yx（2）从（）从（1）所得式中解出）所得式中解出 （或（或 ）即可）即可.dxdyy隐函数求导方法隐函数求导方法:时看成时看成 的函数，的函数， 的函数看成的函数看成 的复合函数；的复合函数；y高等数学高等数学 (上上)230 xyyx例例1 求由方程求由方程 所确定的函数所确定的函数 的导数的导数.解：将方程两边对解：将方程两边对 求导数，得求导数

41、，得20y所以所以2y说明说明：将此函数化为显函数再求导，可得同样结果：将此函数化为显函数再求导，可得同样结果.高等数学高等数学 (上上)例例2 2 求由下列方程所确定的函数的导数：求由下列方程所确定的函数的导数： xyyx3320cos2yxey(1)(2)xy xyyyx33322y解：解：(1)方程两边对方程两边对 求导数，得求导数，得解解 出，得出，得)(3232xyxyy（2）方程两边对）方程两边对 求导数，求导数，x得得2sin() (2)0yeyxyxy解得解得222 sin()sin()yxxyyexy 高等数学高等数学 (上上)422 yx(1, 3)x例例3 求圆求圆 在点

42、在点 的切线方程的切线方程.解解 方程两边对方程两边对 求导数，得求导数，得022yyxy解解 出，得出，得yxy把点把点(1, 3)的坐标代入，得切线的斜率的坐标代入，得切线的斜率33k由直线方程的点斜式，得由直线方程的点斜式，得1333xy整理得切线方程为整理得切线方程为043yx高等数学高等数学 (上上)l含多次积、商、幂的函数含多次积、商、幂的函数对数求导法对数求导法例例4 4 求下列函数的导数求下列函数的导数： xxy)(sin3323) 1(2xxxy(1)(2)()(xgxfy l形如形如 的函数的函数高等数学高等数学 (上上)xxysinlnln xxxxyycotsinln1

43、解：（解：（1）此函数是幂指函数，两边取自然对数）此函数是幂指函数，两边取自然对数y)cotsin(ln)(sinxxxxyx解出解出 ， 即得所给函数的导数为即得所给函数的导数为:化为隐函数，得化为隐函数，得: 上式两边对上式两边对求导数，得求导数，得 高等数学高等数学 (上上)（2）两边取对数并根据对数的运算法则，得）两边取对数并根据对数的运算法则，得 )23ln(31) 1ln(3)2ln(21lnxxxyx)23( 3213)2( 211xxxyy上式两边对上式两边对求导数，得求导数，得解出解出 ，即得原函数的导数为，即得原函数的导数为:yxxxxxxy6921342123) 1(23

44、3高等数学高等数学 (上上)二、二、 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 )()(xyxxy一般地，参数方程一般地，参数方程可以确定可以确定 与与x函数关系函数关系.这种关系，有时可以用显函数表示出来这种关系，有时可以用显函数表示出来.例如例如122tytx 消去参数消去参数t可得可得342xxy（称为普通方程），（称为普通方程），由此可求出由此可求出42xdxdy之间的之间的，高等数学高等数学 (上上)dxdydt)()(ttdtdxdtdydxdy根据导数又称微商这一结论，在根据导数又称微商这一结论，在中同除以中同除以，得：，得：即即)()(ttdxdy这就是参数方程

45、所确定的这就是参数方程所确定的y与与x方法，其结果一般仍为关于参数的解析式方法，其结果一般仍为关于参数的解析式.的分子和分母的分子和分母之间的函数的求导之间的函数的求导yx但对于有些参数方程，它所确定的但对于有些参数方程，它所确定的关于关于的函数的函数关系，很难化为普通方程关系，很难化为普通方程. 高等数学高等数学 (上上)tteyex2dxdy,2ttdydxeedtdt例例1 已知参数方程已知参数方程，求，求解解 根据参数方程的求导公式根据参数方程的求导公式 因为因为所以所以2122tttd yeed xe 高等数学高等数学 (上上)tatatatadxdysincoscossin14td

46、xdyk解解: 因为因为所以，所求切线的斜率为所以，所求切线的斜率为将将4t代入所给参数方程中，得切点代入所给参数方程中，得切点22(,)22aa所以，切线的方程为所以，切线的方程为 整理得整理得 02ayx221 ()22ayax 高等数学高等数学 (上上)sin),cos1 (addyaddxcos1sin)cos1 (sinaadxdy解解 因为因为所以所以于是所求切线的斜率为于是所求切线的斜率为21222221224cos14sin4dxdyk例例 3 求求旋旋轮轮线线)cos1 ()sin(ayax在在4处处的的切切线线斜斜率率. 高等数学高等数学 (上上)一、一、 高阶导数的概念高阶导数的概念 )(xfy )(xfyx 第五节第五节 高阶导数高阶导数 一般地，函数一般地，函数的导数的导数仍然是仍然是的函数，如果是可导