自动控制理论第二章

1、第2章 控制系统的数学模型 重点： u 典型环节的传递函数 u 复阻抗法求电网络传递函数复阻抗法求电网络传递函数 u 闭环系统的传递函数及其求法 u 用结构图等效变换求传递函数用结构图等效变换求传递函数u 信号流图信号流图研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外，还必须定量分析系统的动、静态（稳态）过程，才能从本质上把握住系统的基本性能。描述系统性能的数学表达式，称为系统的数学模型（mathematical model）。描述系统动态及稳（静）态性能的数学表达式分别称为动态及稳（静）态模型。经典控制理论中常用的数学模型有时域（time d

2、omain）模型微分方程；复频域（complex frequency domain）模型传递函数、动静态框图；频域（frequency domain）模型频率特性、bode图等。这些数学模型一般都是可以相互转换的。它们是经典控制理论中常用的时域分析方法、频域分析方法等研究系统的数学工具。 通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程，同时，它建立起来的系统慨念、指标体系等易于人们理解和使用。但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解的影响的一般规律。因

3、而，使得控制系统的分析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立频域和时域之间的联系来达到，通过频域法间接地达到分析和校正控制系统的目的。 系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型，即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型。用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过于复杂，则会导致分析计算上的困难。一般应在精度

4、许可的前提下，尽量简化其数学模型。本章只讨论解析法建立系统的数学模型。 21 系统的微分方程的编写系统的微分方程的编写一、微分方程的建立一、微分方程的建立 控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。 建立系统微分方程的一般步骤或方法：建立系统微分方程的一般步骤或方法：1分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量）

5、，并根据需要引入中间变量。 2根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，忽略次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列写微分方程。 常用定律：电路系统的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律和热力学定律等 3消去中间变量，得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。 4. 将微分方程写成标准形式举例举例 电气系统电气系统 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。像电阻、电感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，像运算放大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有源器件或电

6、源，就称为有源网络。 )()()(0tututridtdili代入上式dtducti0)(rcl)(ti)(tui)(0tu)(tiiuudtdurcdtudlc 00202)()(00220221tutudtdutdtudtti 2,1iqcud qdqlrqudtdtc若利用则微分方程为 机械系统机械系统 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。22dtxdmfff 阻阻弹弹22)(dtxdmdtdxfkxtfdtdxffkxf 阻阻弹弹 ； )(22tfkxdtdxfdtxdm 比较例2-

7、1和例2-2可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。l-m;r-f;1/c-k;ui-f等意义:利用电路或其他简单系统研究复杂系统)(22tfkxdtdxfdtxdm 21id qdqlrqudtdtc机电系统机电系统 图示为一他励直流电动机电枢控制。图中，n为电动机转速，mc为折算到电动机轴上的总负载力矩（nm），ua为电枢电压（v）。设激磁电流恒定，并忽略电枢反应。反电势常数。反电势常数。式中电枢反电势式中电枢反电势电枢回路电压方程电枢回路电压方程eeaaaaaaac

8、nceueirdtdil)82()72( ( )( )(29)m amm tc i tc电磁力矩方程转矩常数。转转动动惯惯量量。程程电电机机轴轴上上的的转转矩矩平平衡衡方方jmmdtdnjc)102( jtkckccjrtrltmdtdmtkukndtdntdtndttmmeumeamaaaccamaumma 1;)112()(22传递系数传递系数机电时间常数机电时间常数式中：电磁时间常数式中：电磁时间常数 若上例电动机处于平衡状态，则各变量的各阶导数为零，代数方程： 静态数学模型 uamcnk uk m000uamcnk uk m000aaacccuuummmnnn代入原方程， 则20000

9、002()()()()()()cca mmuaam amccd nnd nnd mmtttnnk uuk tk mmdtdtdt22()ca mmuamacd mdnd ntttnkuk tmdtdtdt 在平衡状态附近的增量化表示式 n为什么要线性化为什么要线性化?直流发电机的输出电势与磁通成正比，在一定范围内与励磁电流成正比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈现一种连续变化的非线性函数关系。设：x励磁电流， y发电机的输出电势。 y=f(x)设原运行于某平衡点（静态工作点）a点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0)b点：当x变化 x， y=y0+ y函数在（

10、x0 , y0 ）点连续可微，在a点展开成泰勒级数，即202200)()(! 21)()()(00 xxdxxfdxxdxxdfxfyxxxx0 x0 x0+xy0y0+yyab略去高次项，)()(000 xxdxxdfyyxxxky0)(xxdxxdfk略去增量符号，则函数y=f(x)在工作点（x0 , y0 ）附近的线性方程为 ykx控制系统的数学模型微分方程)()(.)()()()(.)()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn 线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式 线性定

11、常微分方程求解微分方程求解方法微分方程求解方法 1 1 复数有关概念复数有关概念 （1 1）复数、复函数）复数、复函数 复数复数复函数复函数 js )()()(sfsfsfyx 例例1 1 jssf 22)(（2 2）模、相角）模、相角 22yxffsf xyffsfarctan （3 3）复数的共轭）复数的共轭 yxjffsf )(（4 4）解析）解析 若若f(s)在在 s 点的各阶导数都存在，则点的各阶导数都存在，则f(s)在在 s 点解析。点解析。 模模相角相角 2 2 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 拉氏变换是将连续（时间）函数这样的实变函数经过积分变换运算变换为拉氏变换是将连续（时间）

12、函数这样的实变函数经过积分变换运算变换为复变函数的过程。复变函数的过程。00( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )tstsf tttf sf t e dtf sf tlaplacesf sl f tl f tf sf t e dt 有函数，为实变量且0，若以下线性积分：存在，则称此积分为函数的变换简称拉氏变换或像函数。变换得到的新函数即积分则是复变量（ = +j ）的函数，记作或，即有： )()(tfsf像像原像原像（1 1）阶跃函数）阶跃函数3 3 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换0( )00atf tt ssesdtetlstst110111100 称a为阶跃

13、函数的阶跃值。当a1时，称为单位阶跃函数，记作1（t）。101( )( )00ttf ttr (t)a 阶跃函数斜坡函数又称为速度函数，数学描述定义为r (t) 0，t 0定义：r (t) = bt，t 0 斜坡函数的微分为阶跃函数，它表示斜坡函数的速度变化，故称b为斜坡函数的速度阶跃值。当b1时，称为单位斜坡函数。拉普拉斯变换为 ：r(t) btt 图3.2 斜坡函数（2 2）斜坡函数）斜坡函数0( )1(0)00ttf tttt 2011stltt edtsha0， (t 0,th) ，( 0 t h )定义：r(t) =r (t)th 脉冲函数ha 其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于a，r

14、(t)图形见上图。若对脉冲的宽度h取趋于零的极限，则有 ，t = 0 r (t) = 及 0 ，t 0 adttr )(当a=1（h0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作(t) 。 理想单位脉冲函数的拉普拉斯变换为： 1)(tl（3 3）脉冲函数）脉冲函数（4 4）指数函数）指数函数atetf )( dtedteetfltasstat 00)( as)(aseasa)t(s 110110( ), ( )?atf ttel f t（5 5）正弦函数）正弦函数 0sin00t t t f(t) dteeejdtetf(t)lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j

15、 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 22222211121 ssjjjsjsj（1 1）线性性质）线性性质4 4 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2）微分定理）微分定理 (s)fb(s)fa(t)fb(t)fal2121 0fsfstfl 00左tdfedtetfstst 00001221 nn-n-n-nnfsffsfssfstf dtetfs-fst 000 右0 fssf st-stdetftfe 00证明：证明：0 0初条件下有：初条件下有： sfstflnn 例例2 2 求求 ?)( tl 解解. . t1t tltl1 例例3 3 求求 ?)

16、cos( tl 解解. . tt nsi1cos tltl nsi1cos 01ss101 221 ss22 ss（3 3）积分定理）积分定理 0111-fssfsdttfl 零初始条件下有：零初始条件下有： sfsdttfl 1进一步有：进一步有： 0101011211nnnnnnfsfsfssfsdttfl 个个例例4 4 求求 lt=?=? 解解. . dttt 1 dttltl1例例5 5 求求解解. . dttt 220222111 ttsss?22 tl0111 ttsss21s dttltl2231s （4 4）实位移定理）实位移定理证明：证明：例例6 6解解. . )( 1)(

17、 1)(atttf )(1)(1)(attltfl )()(00sfetfls f(s) ,at 0at 0 10t 0tf 求求 sesas11 seas 1dtetfst 00)( 左令令 0t defs 00)()( defess 00)(右 （5 5）复位移定理）复位移定理证明：证明： )()(asftfelta dtetfestat 0)(左令令sas dtetfts 0)()(sf 右 dtetftas 0)()()(asf ate l telt-5cos3 例例7 7例例8 8 22533 ss3225 ssss atetl 1asss 1as 1（6 6）初值定理）初值定理证明

18、：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sfstfst )0()()(0fsfsdtedttdft s 21)(ssf 例例1010 )0()(lim)(lim0fsfsdtedttdfst ss 0lim)(0 dtedttdft ss左 0)0()(lim fsfss)(lim)(lim)0(0sfstffst ttf )(lim)0(sfsfs 01lim2 sss（7 7）终值定理）终值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sfstfst )0()()(0fsfsdtedttdft s )(1)(bsasssf 例例1111（终值确实存在时）（终值确实存在

19、时） )0()(lim)(lim000fsfsdtedttdfst ss dtedttdft ss 00lim)(左 0)(tdf tttdf0)(lim )0()(limftft )0()(lim0fsfss 右右 abbsasssfs11lim0 22ssf ttfsin例例12120lim220 sss1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsfts（2 2）单位阶跃）单位阶跃2 2 常见函数常见函数l变换变换)(tfs1（5 5）指数函数）指数函数ate )(1as )(sf)( 1 t（1 1）单位脉冲）单位脉冲1)(t （3 3）单位斜坡）单位斜坡21 st（4

20、4）单位加速度）单位加速度31 s22t（6 6）正弦函数）正弦函数t sin)(22 s（7 7）余弦函数）余弦函数t cos)(22 ss拉氏变换小结 拉氏变换小结 （2 2）微分定理）微分定理3 3 l变换重要定理变换重要定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质）线性性质（3 3）积分定理）积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理 (s)fb(s)fa(t)fb(t)fal2121 0fsfstfl 0111-fssfsdttfl )()(0sfetfls )()(asftfelta )(lim)(lim0sfstfs

21、t )(lim)(lim0sfstfst 拉氏反变换拉氏反变换 jjstdsesfjtf )(21)(（1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）试凑法试凑法系数比较法系数比较法留数法留数法a)s(sa)-s(saf(s) 1a)s(sf(s) 1例例1 1 已知已知，求，求?)( tf解解. . ateaf(t) 11 assa111用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：)(.)()()(011011mnasasabsbsbsasbsfnnnnmmmm 设设)()(.)(21011nnnnnpspspsasasasa 0)(

22、 sai. 当当 无重根时无重根时 niiinnpscpscpscpscf(s)12211 nitpitpntptpinecececectf12121)().f(s)p(scipsii limipsi(s)ab(s)c 342)(2 ssssf例例2 2 已知已知，求，求?)( tf解解. .3131221 scsc)(s(ssf(s)2131213121lim11 )(s(ss)(scs2113233123lim32 )(s(ss)(scs321121 ssf(s)tteef(t)32121 3455)(22 sssssf例例3 3 已知已知，求，求?)( tf解解. .34)2()34(2

23、2 sssssf(s)3)(1(21 ssstteetf(t)32121)( 223)(2 ssssf例例4 4 已知已知，求，求?)( tf解一解一. .jjj)j)(s(ssj)(scjs221131lim11 jij)j)(s(ssj)(scjs221131lim12 tjtjejjejjf(t)1()1(2222 解二：解二：jsc-jscj)-j)(s(ssf(s) 1111321 jtjttejejej )2()2(21 ttjejtsin4cos221 ttetsin2cos 22113 )(ssf(s)t etef(t)ttsin2cos 22221112111 )(s)(ss

24、221121 )(ss0)()()(1 npspssaii. 当当 有重根时有重根时nnmmm-m-mms-pcs-pcs-pc)(s-pc)(s-pcf(s) 11111111( (设设 为为m m重根，其余为单重根，其余为单根根) )1p1111111s-pc)(s-pc)(s-pclf(t)m-m-mm .f(s)p(sdsd)(m-c .f(s)p(sdsdjc .f(s)p(sdsdc.f(s)p(scmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11lim!1lim! 11lim11nnmms-pcs-pc tpmm-mm.ectct)(mct

25、)(mc1!2!112211 tpnmiiiec 1nnmmm-m-mms-pcs-pcs-pc)(s-pc)(s-pcf(s) 11111111mmpsc.f(s)p(s 11lim111212111 mm-m-mm)(s-pc)(s-pc)(s-pccf(s)(s-pnmnmmms-p)(s-pcs-p)(s-pc1111 2111211)()1()(20mmmmpscmpscc.f(s)p(sdsd 111lim! 11m-mpsc.f(s)p(sdsd 3112122)()2)(1(200mmmpscmmc.f(s)p(sdsd 21221lim! 21m-mpsc.f(s)p(sds

26、d )3()1(2)(2 sssssf例例5 5 已知已知，求，求?)( tf解解. .31143122 scscsc)(scf(s)(s)s(ss)(scs3121lim2212 )(s)s(ss)(sdsdcs3121lim! 112211)(s)s(sss.cs312lim203 31121132114311212 s.s.s.)(s.f(s)ttteetef(t)3121324321 )(s)s(ssscs312)3(lim234 2131121 )(221)3(3)2()3(lim ssssssss43 32 121 用拉氏变换方法解微分方程用拉氏变换方法解微分方程步骤步骤: :(1

27、)(1)方程两边取拉氏变换方程两边取拉氏变换, ,并代入初始条件并代入初始条件; ;(2)(2)写出输出量的拉氏变换写出输出量的拉氏变换c(s);c(s);(3)(3)取拉氏反变换求出取拉氏反变换求出 c(t)c(t)。)( 1)()()(21ttyatyaty ssyasas1)()(212 l变换变换0)0()0( yy)(1)(212asasssy )(1sylty 系统微分方程系统微分方程l-1变换变换22 传递函数传递函数( )( )( )( )( )l c tc sg sl r tr s)()()(srsgscg(s)控制系统微分方程式的一般形式为：设r（t）、c（t）初始条件为零

28、，并对上式进行laplace变换，经整理得： m（s）传递函数的分子多项式；n（s）传递函数的分母之多项式。1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )()nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdtnm 1111011011101110() ( )() ( )( )( )( )( )( )nnmmnnmmmmmmnnnna sasasa c sb sbsbsb r sb sbsbsbc sm sg sr sa sasasan s 111101111011()( )()(1 , 2)

29、(1 , 2)mjmmjmmnnnnniijimnszbsdsd sdg skascsc scspzjmp inbka传函极点和零点：为传递函数的零点；为传递函数的极点；=为传递函数表示为零、极点形式时的传递系数。传函零极点分布图1111011101111(1)( )(1)11,;()()mjmmjmmnnnnniijijimjjniisbsdsd sdg skascsc scskzpzkkp 式中 称为时间常数称为传递系数(也称为放大系数） 1222122 212()()2(1)(1)21ppspspsstst st sts、 为一对复数极点，相应的二阶因子表示为1111或若系统存在共轭复数

30、根,如n如果传递函数中有 个等于0的极点，并考虑到既有实数零点、极点，又有共轭复数零点、极点时，上面两种表达式为： v121211221122)2()()2()()(njnlllljmimkkkkivgsspssszssksg122111221221) 12() 1() 12() 1()(njnlllljmkkkkmiivstststssssksg 下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。传递函数。 )()(tritudttdiltu)()(dttictu)(1)(rsisusz)()()(lssisusz)()()(cssisusz1)()()(

31、元件名称电路形式元件微分方程阻抗传递函数电阻r 电感l电容c uir1r1u0-+r2ksrscsg )()()(021( )( )( )iusrg sku sr12iouurr)()(tkrtcdtdct 1)()()( tsksrscsgt-时间常数时间常数 k -比例系数比例系数 2120212( )( )1/1/( )1( )( )11ioiu susrcsrrcsusrg su srr cskts 例：一阶运放 dttrktc)()( )1( )( )( )( )kc skc sr sg ssr sstst积分时间常数00( )( )1/( )11( )( )iiu su srcsu

32、 sg su srcsts积分调节器uirr1u0-+c)()()(2)(222tkrtcdttdctdttcdt 22( )( )( )2101c skg sr st stst时间常数阻尼比，且222( )21nnnng ssst或，为无阻尼振荡频率。21 nnj两两个个极极点点为为：scslrscsusui11)()(0 11)()()(20 rcslcssususgircl)(ti)(tui)(0tu2222)(nnnsssg 或或lcrlcn21 其中其中。的条件，就属振荡环节只要满足100)()( tdttdrktc( )( )( )1/11usrrcssog suscs rrcss

33、i0)()()( ttrdttdrktc 1122122121212112,1( )(1)( )1( )1,oirzzrrcszrusk tsg szzrktsu srrcsrktrcrr2222 2( )( )( )2( )( )21d r tdr tc tkr tdtdtg sksssesrscsg )()()(11g(s)2211112!ssss 当 很小时e传递函数的求取 1.直接计算法 对于元件或简单系统，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求得元件或系统的传递函数。2.求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求取更

34、为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。 )()(tritudttdiltu)()(dttictu)(1)(rsisusz)()()(lssisusz)()()(cssisusz1)()()(元件名称电路形式元件微分方程阻抗传递函数电阻r 电感l电容c 3.利用动态框图求取传递函数 对于复杂系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态框图和框图运算法则，可方便地求解系统的传递函数。该方法将在后面讨论。4.利用梅逊公式求取传递函数 该方法将在后面讨论。 在推导电网络的传递函数时，对于无源元件电感l、电容c和电阻r，分别用它们的复阻抗求解往往是比较简便的。令z1=r+ls，为电阻和电感

35、的复数阻抗之和；z2=1/cs 为电容的复数阻抗。则1111)()()(2212rcslcscslsrcszzzsususgiorcl)(ti)(tui)(0tutssscrscrszszsusui11)()()()(2122120 r011110( )1( )(236)( )( )( )( )(237)eerfu srg skusrususus 运放其中221( )12( )(2 38)( )u ssg su sts 运放)392()()()(223 ksususga功功放放crtcr 23 式中式中)412()()()( fffksnsusg测测速速发发电电机机03200000012(1)

36、( )( )( )()urmamffuksn ssu sr tt t sr tt sr tk ksk kkr k k式中 2( )0( )(2 40)( )1ucuam amkn smg su st tst s直流电机时23 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换 把一个系统的各个环节全用函数方块表示，并且根据各环节信号的相互关系，用信号流线和相加点把各个函数方块连接起来，这样形成的一个完整图形就是系统的动态结构图。下图是一个负反馈系统的结构图。 步骤a. 列出描述每个元件的拉普拉斯变换方程。b. 以构成结构图的基本要素表示每个方程，并将各环节的传递函数填入方块图内；将信号的

37、拉普拉斯变换标在信号线附近。c. 按照系统中信号传递的顺序，依次将各环节的结构图连接起来，以构成系统的结构图。 举例绘出如图所示两级rc网络的结构图。解 （1）列写运动方程 （2）将上面各式取拉氏变换。取零初始条件，并整理成因果关系式 iruu1121iii1111udtic111)()()(rsususi)()()(21sisisiscsisu1111)()(2121)()()(rsysusi scsisy221)()( 221iryu ydtic221（3）作出相应的方块图，如下图所示。（4）将各元件方块图按信号流向联结起来，便得到两级rc网络的方块图，如图(b)所示。为求得整个系统的传递

38、函数，进行简化简化，相当于在结构图上进行代数运算，常有：环节合并；环节合并；信号分支点或相加点的移动。信号分支点或相加点的移动。 基本原则：基本原则：变换前后系统的输出量、输入量之间变换前后系统的输出量、输入量之间数学关系保持不变数学关系保持不变（一）环节的合并（一）环节的合并:包括三种基本连接方式包括三种基本连接方式12( )( )( )g sg s g s12( )( )( )g sg sg s( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )1( )( )c sg s e se sr sb sb sh s c sc sg s r

39、 sh s c sc sg ssr sg s h s( ) 1( )( )( )( ) 1( )h sc sg ssr sg s( )( )( )( )1( )( )c sg ssr sg s h s(二二)相加点和分支点的等效移动相加点和分支点的等效移动1.相加点移动相加点移动n后移后移:相加点由传递函数为相加点由传递函数为g的方块图之前移至该的方块图之前移至该方块之后，如下图所示，需要在方块之后，如下图所示，需要在x2信号流向线上信号流向线上加一个传递函数为加一个传递函数为g的方块。的方块。2.分支点移动分支点移动n前移前移:相加点由传递函数为相加点由传递函数为g的方块图之后移至该方块的方

40、块图之后移至该方块之前，如下图所示，需要在之前，如下图所示，需要在x2信号流向线上加一个传递信号流向线上加一个传递函数为函数为1/g的方块。的方块。n后移后移:分支点由传递函数为分支点由传递函数为g的方块之后移至该方块之的方块之后移至该方块之前，如下图所示，需要在分支点引出线上加一个传递函前，如下图所示，需要在分支点引出线上加一个传递函数为数为1/g的方块。的方块。3.信号相加点的互换以及分支点的互换信号相加点的互换以及分支点的互换n前移前移:分支点由传递函数为分支点由传递函数为g的方块之后移至该方块之前，的方块之后移至该方块之前，如下图所示，需要在分支点引出线上加一个传递函数为如下图所示，需

41、要在分支点引出线上加一个传递函数为g的方块。的方块。n相邻分支点的互换：不需做传函变换相邻分支点的互换：不需做传函变换n相加点的互换：不需做传函变换相加点的互换：不需做传函变换n相邻信号相加点和分枝点位置不能随意互换相邻信号相加点和分枝点位置不能随意互换总结总结:上面这些规则都是根据下列两条原则得到上面这些规则都是根据下列两条原则得到 的的,即即 变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变；必须保持不变； 变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。保持不变。例例1：化简下列结构图：化简下列结构图63215

42、432321)(1)()(gggggggggggsrsc 例例2：化简下列结构图：化简下列结构图（2）再与b点交换（1）将相加点a移至g2之后（3）因 g4与g1g2并联， g3与g2h是负反馈环（4）上图两环节串联，函数相乘后结果为)()()(1)()()()()()(3243321shsgsgsgsgsgsgsgs所以，系统的传递函数为例例3 用方框图变换法求用方框图变换法求rc网络的传递函数。网络的传递函数。r1r2u(s)i1(s)i2(s)i(s)c2c1ui(s)u0(s)1）列写系统微分方程）列写系统微分方程2）零初始条件下进行拉氏变换）零初始条件下进行拉氏变换3）画出系统方框图

43、）画出系统方框图4）化简方框图）化简方框图归纳规律：归纳规律：通过上述三个例子，可以看到如果满足以下两个条件：所有回路两两相互接触；所有回路与所有前向通道接触。m1传递函数之积前向通道各串联环节的分子n11环函数）每一局部反馈回路的开（分母nms111)(环函数）每一局部反馈回路的开（传递函数之积前向通道各串联环节的则可以得到以下几条简化结构图的规律：闭环系统传递函数是一个有理分式； ，负反馈取“+” 正反馈取“”即式中， m是前向通道的条数，n是反馈回路数。例例 简化下图，求出系统的传递函数。 有两条前向通道：有两条前向通道： g g4 4g g3 3 g g1 1g g2 2g g3 3反

44、馈回路开环传递函数反馈回路开环传递函数g g2 2g g3 3h h前向通道与反馈回路两两接触前向通道与反馈回路两两接触所以所以)()()(1)()()()()()(3232143shsgsgsgsgsgsgsgs 121212( )( )( )1( )( )1( )ggc sc ssgg hsr sgg hr s 时，？名词：前向通道传递函数：名词：前向通道传递函数：g1g2 开环传递函数：开环传递函数：g1g2h 系统偏差：系统偏差：e (s)=r (s)-b (s)系统的偏差传递函数系统的偏差传递函数 ( )( )( )ee ssr s1212( )1( )( )11( )( )( )(

45、 )1eee ssr sgg he ssr sr sgg h 单位反馈单位反馈121212( )11( )1( )1eggsggssgg ( )2( )1( )1 2( )1( )1 2( )gc ssng g hn sc sg g hsnn s 时，？ ( )2( )1( )1 22( )( )11 2g he ssneg g hn sg he sn sg g h )(1)(1)()()()()(2122121snhgggsrhggggsnssrsscn )(1)(11)()()()()(21221snhgghgsrhggsnssrsseene 以上四种闭环传递函数具有共同分母：以上四种闭环

46、传递函数具有共同分母：)(1)()()(121sgshsgsgk闭环系统的特征多项式0)(1sgk闭环系统的特征方程。其根称为闭环 系统的根或闭环系统的极点。 24 信号流图信号流图n梅逊公式及应用梅逊公式及应用 00210210 xdxcxbxxax例例)612(102201 dxcxxbxaxx )622(11102201 xbxbaxxdxdcx g1g3g2h2h1)(1sg3( )g sr(s)c(s)4( )g s2( )g s( )h s例例. . )(1sg3( )g sr(s)c(s)4( )g s2( )g s( )h see1e2)(1sg3( )gsr(s)c(s)4(

47、 )gs2( )gs( )h see1e2r(s)1e1e2c(s)1 1g g( (s s) )2 2g g ( (s s) )3 3g g ( (s s) )4 4g g ( (s s) )h h- - ( (s s) )e1 二二.梅逊公式及应用梅逊公式及应用11nkkkpppk 第第k条前向通路的增益条前向通路的增益直接求从输入节点到输出节点的总传输：直接求从输入节点到输出节点的总传输：p 总传输总传输n 从输入节点到输出节点的前向通道总从输入节点到输出节点的前向通道总数数称为系统特征式称为系统特征式 - l1+ l2-l3+(-1)m lm1=所有不同所有不同回路增益回路增益之和之和

48、;l1 l2 所有两个互不接触回路增益乘积之和所有两个互不接触回路增益乘积之和;lm 所有所有m个互不接触回路增益乘积之和个互不接触回路增益乘积之和.k 第第k条前向通路特征式的余子式条前向通路特征式的余子式k求法求法:中除去与第中除去与第k条前向通路接触的回条前向通路接触的回路后所求的特征式路后所求的特征式流图特征式，计算公式：流图特征式，计算公式：)(1)()(332211 pppsrsc272142543225462721414721546154321hgghghgggghggghgghg1)hg(1gggggggggggg n=2 pk1= a12a23a34a45a56；pk2= a

49、14a45a56 la= a23a32+a34a42+a45a54 lb lc= a23a32a45a54ld le lf= 0=1-(a23a32+a34a42+a45a54)+a23a32a45a54k1=1；k2=1-a23a3212233445561445561445562332233234424554233264112251541111()nkkka a a a aa a aa a a a aa aa aa axppaxapaap -h2(s)h3(s)c(s)r（s）g1(s)g2(s)g3(s)g4(s)h1(s)解解. 例例. . 试求如图所示系统对应的传递函数。试求如图所示系

50、统对应的传递函数。r(s)1c(s)1 1g(s)g(s)2 2g (s)g (s)3 3g (s)g (s)4 4g (s)g (s)2 2h h- (s)- (s)11 1h h- (s)- (s)3 3h h- (s)- (s)解解.n=1pk1= g1g2g3g4 la= -g2g3h2 g3g4h3-g1g2g3g4h1=1 +g2g3h2+g3g4h3+g1g2g3g4h111123412341232343( )1( )1c sppr sg g g gg g g g hg g hg g hr(s)1c(s)1 1g g( (s s) )2 2g g( (s s) )3 3g g( (s s) )4 4g g( (s s) )2 2h h- - ( (s s) )11 1h h- - ( (s s) )3 3h h- - ( (s s) )1=111-1-1-h1(s)h3(s) g4(s) h1(s)h3(s) g1(s) g2(s) g3(s)r(s)c(s)l1= g1 h1l2= g3 h3l3= g1g2g3h3h1l4= g4g3l5 = g1g2g3l1l2= (g1h1) (g3h3) = g1g3h1h3l1l4=(g1h1)(g4g3)=g1g3g4h