动量和机械能考点疑难解析

1、动量和机械能考点疑难解析一、对几个重要概念的深入理解冲量、动量、功、动能是重要的物理概念.为了加深对它们的理解， 我们作不面的对比和讨论.1. 冲量、功与动量、动能的比较(1) 冲量(i=f t)和功(w=fss是沿力f方向位移，下同)是力的作 用的累积，当我们说冲量或功时，必须明确是哪个力(或某几个力的合力)的.动量(p = mv)和动能(ek = jmv2)是物体运动状态的描述，当我们说动量或动能时，必须明确是哪个物体的.(2) 冲量和功是跟某个过程和对应的，这个过程是指某段时间t或发 生在空间的某段位移s.动量和动能则是与某个时刻相对应的，一般来说，物体的速度是变化的，因此，不同的吋刻物

2、体的动量或动能一般来说是 不同的.冲量和功这类物理量可称为“过程量”，动量和动能这类物理量 可称为“瞬时量”，过程量是不能与瞬时量直接相等的.(3) 在牛顿力学范围内，力、时间、物体的质量都与选择的参考系无 关，但位移和速度则是与参考系有关的量.因此，冲量是与参考系无关 的，而动量、功、动能都与参考系的选取有关.我们约定，凡不具体指 明参考系的，都是指以地面为参考系.2. 冲量与动量、功与动能间的联系动量定理和动能定理分别表示冲量与动量变化的关系和功与动能变 化的关系，用公式表示分別是：zi= a p = mv2 mvj,s w = aek = mvg_ 2 mv卜这两个关系式也是表示力与运动

3、关系的式子，但它们与牛顿第二定 律(sf=ma)不m,即它们都是过程关系，等式中的p和w是过程量，等 式右边是末、始两个时刻的动量或动能的差，它也是与这一过程相对应 的.就是说，动量定理与动能定理是表示某一过程中力与运动的关系，而牛顿第二定律则是表示某一时刻力与运动的关系.冲量和动量都是矢量，动量定理是矢量关系式；功和动能都是标量，动能定理是标量关系式.矢量求和与求差，都遵守平行四边形定则，与 标量运算规则不同，这是要特别注意的.屮学阶段关于动量及动量变化 的问题，只限于一维的简单情况，对这类问题，常把矢量的方向用正、负号表示，从而把矢量运算变成代数运算.例1 一个质量为0.2kg的小木块从光

4、滑斜面的顶端由静止开始滑下，己知斜面倾角为37° ,滑到底端时速度大小为3m/s.取g=10m/s2，求这个过程中重力对木块的冲量大小及重力对木块做的功.解：木块在倾角为37°的斜面上滑行时的加速度大小为a=gsin37° =6m/s.根据运动学公式可求出下滑过程所用时间和发生的位移322a 2x6m = 0.75m.根据冲量和功的定义，可求出重力的冲量及对木块所做的功i=mgt=ln s,w=mgssin37° = 0.9j.说明：以上我们解题的依据是冲量及功的定义，为此先要求出t及s， 比较麻烦.下面我们试着用动量定理和动能定理来解：根据动量定理i&

5、#39; = ap=mv0=0.6n s,根据动能定理, 1 9wz = aek =-mv2-0 = 0.9j. k 2对比以上两种解法，发现功的数值和同，而冲量的数值不相同，原 因何在？哪一个正确呢？对于求功，两种解法都正确，这是因为木题中 木块只受两个力作用，其中支持力不做功，只冇重力做功，重力做的功 即为合外力做的功，因此用动能定理求出的结果正确.但支持力对木块 的冲量却不为零，利用动量定理求出的冲量t是合外力对木块的冲量， 也可以说是外力对木块的冲量的矢量和，因此它不等于1(矢量和的数值 可以比分量的数值小)，因此后面的解法不对.例2水平转台上离转轴中心0.2m处放一木块，质量m=10

6、0g,7t它随转台以u =y/s匀速转动.(1) 求在它转半周的时间内摩擦力的冲量大小；若转台开始加速转动，转半周后角速度变为o' =y/s,求摩擦力在这过程中做的功.解：(1)木块做匀速圆周运动，速度大小不变但方向时刻在变，在它 转半周的过程中，末速与初速的方向恰好和反，这过程中的动量变化量 大小为2mv.根据动量定理1= a p=2mw r=0.02 冗 n s.这是合外力的冲量，但因木块的重力与支持力相平衡，这个合外力 的冲量就等于静摩擦力的冲量.(2) 根据动能定理w= aek =m(o ' r)2_去m(or)2 = 0.25 n 2j.这是合外力对木块做功，但在这过

7、程屮重力和支持力都不做功，因 此它就是静摩擦力对木块做的功.说明：(1)本题的两问都不能利用冲量和功的定义式求解，原因是在 这里摩擦力是变力.在第一问的情况下，木块做匀速圆周运动，静摩擦 力就是向心力，它的大小不变但方向吋刻在变，也是变力.在第二问的情况下，木块做变速圆周运动，所受的静摩擦力更是变力，对于变力， 公式i=ft及w=fs都不能用.（2）在第一问的情况下，木块做匀速圆周运动，静摩檫力始终指向圆 心，与速度方向垂直，是不做功的，但在第二问的情况下，木块做加速 圆周运动，它的合外力（此时即为静摩擦力）的方向不指向圆心，把它正交 分解，除了有指向圆心的分力（向心力）以外，还有另一个与速度

8、方向一致 的分力（称为切向力），正是由于切向力的存在，才对木块做功，使它动能 增大.例3如图3 1所示，q为一个带有半圆形轨道的物体，固定在地 面上.轨道位于竖直平面内，端点a, b等高.小金属块p从h高处自由 不落，滑过q的轨道，从a端上升的最大高度为h/2.再落下来在轨道 中滑行，则（不计空气阻力）a. 恰能到达b点b. 能冲出b点再上升一定高度c. 不能到达b点即返回d. 不能确定是以上哪种情况解：根据题意，第一次从左边落下滑过轨道，机械能有损耗，说明p与轨道间有摩擦，第一次滑过轨道过程中克服摩擦力做功恰为jmgh.再次落下，第二次滑过轨道的过程中，由于速度要小于第一次 滑过轨道时的速度

9、，因此向心力要小于第一次，从而p与轨道间的相互 作用的弹力要小于第一次，作用于它们间的滑动摩擦力也是第二次小于 第一次，这样第二次克服摩擦力做的功小于第一次的|mgh，因此应能冲出 b点再上升一定高度，正确答案是b.说明：本题p在轨道内的运动是变速圆周运动，每一时刻的速率、 所需的向心力（注意这里的向心力不是合外力，而是合外力指向圆心方向 的分力）、轨道对p的支持力、滑动摩擦力都是变量，这里说第二次比第 一次小，应理解为对应吋刻相比较，例如刚接触轨道的时刻、滑过最低 点的时刻、滑过轨道上某一点的时刻等等.通过本题应明确，同一物体沿一曲面运动，滑动摩擦力的大小是与 运动速度的大小有关的.二、功是

10、能量变化的量度功是能量变化的量度，这句话内涵丰富，下面三个方面是经常遇到的.1. 保守力做功等于相应势能的减少所谓保守力，是指那些做功与路径无关，而只由始、末位置决定的 力.只有保守力，才能引入由位置决定的势能.保守力做功的一个合理 的推论就是从某一点出发，沿任意一条路径又回到原位置，这过程中做 的功一定为零.中学阶段学习过的保守力及和应的势能有：重力 重力势能；万有引力引力势能；弹簧弹力一一弹性势能；分子力一一分子势能；静电场的电场力一一电势能.用公式表示保守力做功与相应势能间的关系是 w保守力=aep.其中重力做功与重力势能间的关系应用最多，即 wg=_ ep=mghmgh2,用语言描述就

11、是重力对物体做的正功，等于物体重力势能的减少量.其他几种保守力做功，除匀强电场中电场力做功的公式比较简单， 都是变力做功，直接计算变力做的功比较困难，相应的势能表达式也比 较复杂，屮学阶段不要求掌握和进行计算.2. 动能定理和机械能定理外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量，即动能定理.除重 力、弹簧弹力外的外力对物体做功的代数和等于系统机械能的增量，称 为机械能定理，分别用公式表示为zw=aek,ew其他=ae-前者是对某个物体而言，中学阶段所说的物体，是指质点，质点受 的力都是外力.后者是对物体和弹簧（还有地球）组成的系统而言的，物体 受到的重力和弹簧弹力是内力，而且是保守力，它们做功引

12、起的相应势 能与动能之间的转化，是机械能内部的转化，因此要强调“除重力、弹 箫弹力外”.2lu囝3-2囝3-3例4两个底面积都是s的圆筒，放在水平面上，屮间有一细管相 连，先把细管处的阀门关闭，分别给两管注入一些水，水面高度分别是 111和112,如图32所示.己知水的密度为p.现把阀门a打开，最后 两简内水面高度达到相等，求这过程中重力对水做的功.解：打开阀门后，左边水要有一部分流入右边，直接利用功的定义 求重力功很网难，但利用重力做功与重力势能变化的关系求解则非常方 便最后平衡后两筒内液面位于图3-3中的c处.由于两筒底面积都是 s,因此c恰为原来两液面a, b的正中，即左边液面下降的高度

13、与右边液而上升的高度都是我们可以等效地认为是阁中标斜线区域的水移到右边标竖线的区域.这样，我们计算重力做功， 就可以转化为计算这部分水的重力势能的减少量，即1w = mg -(h,-h2),而其中水的质量p (h,h2) s,w = |pgs(h-h2)2.i，丄，“ 囝 3-4例5如图3-4所示，一根轻杆长为2/,它的左端0为固定转动轴， 可绕0轴在竖直平面内无摩擦转动.杆的中点及右端各固定一个小球a 和b,两球质量分别为m及2m，重力加速度为g.现用外力使杆处于水 平位置，由静止释放，求杆从开始转动到转到竖直方向的过程中，杆的 作用力对b球所做的功.解：设没有a球，只有右端的b球，则在转运

14、过程中，杆的弹力总 沿杆方向，对b球不做功，只冇重力对b球做功，机械能守恒，b球到 达最低点时的动能ej<i =2mg 2/=4mgl.现在杆中点有a球，整个系统的机械能守恒，即a，b两球减少的 重力势能等于它们的动能之和.又由于a, b两球固定在同一轻杆上， 转动过程中两球的角速度一定相同，a的速度为b的速度的一半，a的动能等于b的动能的设b转至最低点时的动能为ek2,则满足omgl + 2mg 2/ = |ek2+ek2,.40ek2=ymgl.杆对b球做的功即为这两次动能之差，即 4w = ek2-eki =-mgl.说明：弹力是由于物体发生弹性形变而产生的.没有a球时，杆只有两边

15、端点处受外力作用，这时杆发生的是拉伸形变，即杆被稍稍拉长， 它产生的弹力是沿杆并指向收缩方向的，这时的弹力在运动方程中不做 功.有a球时，杆除了仍发生拉伸形变外，还同时发生弯曲形变，即中 间稍向卜*弯而两端稍向上翘，正是由于这种弯曲形变，使a, b两球受 到“切向力”作用，b球受到的这种切向力与运动方向相同，对b球做 正功，而a球受到的切向力方向与运动方向和反，对a球做负功，这个 负功的绝对值与对b球做的正功数值相等，它们共同作用的结果是使得 有一部分机械能从a球向b球转移，读者可以自己计算一下杆的作用力 对a球做功的值，以验证上面的结论.3. 关于摩擦力做功的问题(1) 摩擦力对一个物体做功

16、的问题对于某一个物体而言，它受到的摩擦力(乜括静摩擦力和滑动摩擦力) 既可以做正功，也可以做负功或不做功.当摩擦力对某物体做正功吋， 物体的动能要増加，那么物体增加的动能是由什么能量转化来的呢？要 解决这个问题，需进一步讨论一个相互作用的摩擦力对两个物体做功的 问题.(2) 对相互作用的摩擦力做功的问题如果两物体间存在着相互作用的静摩檫力，当这对静摩擦力分别对 两个物体做功时，一定是一个力对某物体做正功，它的反作用力对另一 个物体做负功，而且它们的代数和一定为零.这一对静摩擦力做功的总 的结果，是使得一部分机械能从一个物体向另一个物体转移，机械能的 总量保持不变，没有机械能向内能的转化，即不会

17、生热.如果两物体间有滑动摩檫力存在，这一对滑动摩擦力做功的情况共 有三种可能：对一个物体做正功，对另一个物体做负功；对一个物 体做负功，对另一个物体不做功；对两个物体都做负功.这三种情况 的共同特点是它们的代数和总为负值，这一对滑动摩擦力做功的总的结 果是使得一部分动能从一个物体向另一个物体转移，而另有一部分能则 转化为内能，即摩擦生热.b图3-5例6如图3 5所75，一块长木板a，质量为m，以速度v()沿光滑水平面匀速运动.某时刻在它的右端放上一个质量为m的小物体b,b的初速为零，它将在a上滑行一段距离后与a保持相对静止.求：在 和对滑动的过程中，滑动摩擦力对a和b各做多少功？产生多少热？h

18、si囝3-6解：设在相对运动结束时，a发生的位移为sp b发生的位移为s2,而b相对于a滑行的距离为/，如图36所示.由于木板a与地面间没有摩擦，a, b组成的系统水平方向不受外力，总动量守恒.即mv()=(m+ni)v,.mv0 v =m + m2-t2a, b间的滑动摩擦力大小设为f,它对b做正功wb = fs21 0mmmv' 0 = 92 2(m + m广它对a做负功，它的绝对值为mm(2m + m)v0 2(m + m)2-生成的热q = wx-wb =4mv(2)_4(m+m)v2 = mmv() v a b 20 2v 2(m + m)说明：(1)本题用实例一对相互作用的

19、滑动摩擦力在对一个物体做正 功，对另一个物体做负功的情况下，负功的绝对值一定大于止功，它们 总的结果的确是使一部分动能从a向b转移，还有一部分转化为内能.(2) 滑动摩擦力f与相对滑动路程/的乘积，等于摩檫生热的量，但 不要把f/称为摩擦力的功，因为它不是以地面为参考系的功.(3) 机械能向内能转化的数量，是由一对滑动摩擦力分别对两个物体 做功共同决定的，即它等于这一对功的代数和(取绝对值)，即q=f/=|fs1_fs2|.我们也可以换一个角度看问题.改为以a为参考系，则这一对滑动 摩擦力中只对b做负功，其绝对值就是f7,即是生热的数量(这时的a是 做变速运动的，因此它不是惯性参考系，在“摩擦

20、生热”的问题上，可 以转化为任何参考系讨论问题，但这种方法不能随意推广).例7如图37所示，倾斜的传送带开始处于静止，一木块从顶端 以一定的初速度匀速滑下，如果木块滑到中途时传送带开始沿顺时针方 向转动，那么与传送带静止时相比a. 木块滑到底端所用的时间将延长b. 木块在滑到底端的过程中，摩擦力的冲量将变大c. 木块在滑到底端的过程中，木块克服摩擦力所做的功将变大d. 木块在滑到底端的过程中，转化为内能的机械能将变大解：木块原来匀速运动，即受力平衡.现皮带开始运动，但并不改 变木块的受力情况，因此它仍按原速度做匀速运动，a，b两选项都不正 确.c选项讨论木块克服摩擦力所做的功，当然是指以地面为

21、参考系的 功，由于摩擦力及对地的位移在两种情况下是相的，因此它克服摩檫 力做的功也不变化，c选项不正确.d选项讨论的是转化为内能的机械 能，即生成的热，它等于滑动摩擦力与相对运动的路程的积，现在皮带 向上运动，木块在皮带上滑动的路程变大，因此生热变多，d选项正确.例8如图3-8所示，小球p与斜面体q间有摩擦，q与水平地面 间接触光滑.开始时悬挂p的细线保持竖直方向.用水平外力f推动q， 使它匀速向左运动，而p则以0为圆心在竖直平面内做圆周运动，直到 细线与斜面平行为止.在这个过程中a. 支持力对p做正功b. 摩擦力对p做正功c. p对q做的功与f对q做的功绝对值相等d. f对q做的功与q对p做

22、的功绝对值相等解：首先对p作受力分析，取p在运动过程屮的任意一个位置，这 时它共受4个力作用，受力示意图如图3-9所示，其中重力g竖直向下, 支持力n垂直于斜面向上，绳的拉力t沿绳方向，滑动摩擦力f与“相 对运动方向相反”，即沿斜面向下，而此时刻p的运动速度方向垂直于绳 （圆的半径）.由图上不难看出，n及f与v的夹角都小于90° ,因此都做 正功，a, b选项正确.由于q沿水平面做匀速运动，运动过程中机械能保持不变，因此外 力对它做功的代数和应为零，对q做正功的是推力f,对q做负功的是 物体p，因此c选项正确.q对p的作用力有弹力和滑动摩擦力，它们共同做功的结果是增加 p的机械能，但

23、滑动摩擦力对p做的功与对q做的功绝对值并不相等， 两者之差就是生热的量.f对q做的功，应该增加q的机械能，但这些 能量一部分转给了 p，另一部分则转化为内能，因此d选项不正确.说明：p对q的作用力与q对p的作用力是相互作用的力，总是大 小相等、方向相反的，但它们做的功却不一定相等.对于压力和支持力这一对弹力，由于不考虑物体的形变，没有势能的变化，w力做功的绝 对值总是相等的.对于静摩擦力，由于没有相对位移，它们做的功的绝 对值也总是相等的，对于滑动摩擦力，由于两物体间有相对位移，因此 两力做功的绝对值总是不相等的，而且一定是负功的绝对值大于正功.例9水平传送带上各点的速度均为v，并保待不变.现

24、将一小工件 放到传送带上，并使它具有与传送带运动方向相反的初速度，速度大小 也是v，它将在传送带上滑动一段距离后才与传送带保持和对静止.设 工件质量为m,在这相对滑动的过程中，滑动摩檫力对工件所做的功及 产生的热量各是多少？囝 3-10解法一：首先分析运动过程，如图3 10所示.设工件刚放到传送 带上时与传送带的a点接触，这时传送带与工件的速度大小都是v,但 方向和反.由于工件与传送带间有摩擦力，工件将做匀减速运动，至图 中虚线所示的位置速度减为零，然后从静止开始向右做匀加速运动，直 到速度增加到v.由于这两段运动的加速度相m，运动具奋“对称性”， 可知速度再增加到v时的位置仍是图屮实线所示的

25、位置.即在工件相对 滑动过程的始、末，位置相同，位移为0,因此滑动摩擦力对工件所做 的功为零.工件向左减速至零所用的时间与向右加速至v所用的时间相等，都 等于at.因此这相对运动过程的总时间是t 2 a t.设工件与传送带间的动摩擦因数为u，则工件运动的加速度大小为 a= ug.wg在这段时间里，传送带一直以速度v做匀速运动，a点移到了 a' 点，发生的位移2v2s = vt=.pg摩擦生热的量等于滑动摩擦力与相对运动路程的乘积，即2v2，q = fs = u mg = 2mv_ pg解法二：应用动能定理解答此题更为简便.滑动摩擦力对工件所做的功，等于工件动能的增量，即 w=a ek=

26、0.滑动摩擦过程所产生的热，等于以皮带为参考系滑动摩擦力对工件 所做的功，也就等于工件以皮带为参考系时动能的变化量.以皮带为参 考系，工件的初速度大小为2v,方向向左，末速度为零.则q = -m(2v)2 0 = 2mv2.说明：本题在相对滑动过程的始、末状，工件的机械能没有变化， 而皮带则始终做匀速运动，机械能也没有变化，但没有热量产生，显然 这不符合“摩擦生热的量等于系统机械能的减少”的结论，这是因为由 皮带和工件组成的系统不是“孤立系统”，皮带之所以在相对滑动的过程 中仍能保持做匀速运动，是由于奋外部机件的带动，从能量的观点看， 是外部输入的能量通过一对滑动摩擦力做功转化为内能.三、物体

27、相互作用过程中的动量和能量1. 两个守恒定律两物体相互作用的过程中，如果不受外力作用，则总动量守恒，这 就是动量守恒定律.两个物体组成的系统动量守恒的实质是：两物体在 相互作用过程屮，各自的动量变化量大小相等、方向相反，即：apj = -ap2.关于机械能守恒定律，实际上应分为三个层次去理解：(1) 只有重力对物体做功，物体的机械能守恒.这里说“物体”的机 械能守恒，是一种简化的说法，实质上应是指由物体和地球组成的系统， 因为重力势能是物体和地球这个系统共有的，但为了简便，我们把地球 略去不说.(2) 在只有重力和弹簧弹力做功的条件下，物体和弹簧组成的系统(还 包括地球)机械能守恒.弹簧弹力做

28、功的过程，是弹簧的弹性势能和物体 的动能相互转化的过程，但系统的总机械能守恒.(3) 对于更广泛的由相互作用的物体组成的系统来说，机械能守恒的 条件是：没有外力做功，没有内力中的滑动摩擦力做功.在满足机械能 守恒的条件下，系统内各物体间可以有能量的传递，也可以有动能、重 力势能、弹性势能间的相互转化.2. 碰撞问题碰撞是两个物体常见的一种相互作用形式.它的特点是相互作用时 间极短，而相互作用力(内力)很大.因此，两物体的碰撞过程，都满足动 量守恒的条件，即使是在碰撞过程中还受到外力(例如地面给的摩擦力等)作用，也巾于内力外力，从而可以近似认为总动量守恒.碰撩过程中的能量关系则比较复杂，弹性碰撩

29、的特点是碰后两物体 都能完全恢复原状，碰撞过程机械能完全不损失；完全非弹性碰撩的特 点是碰后两物体不再分开，具有相同的速度，两物体产生非弹性形变， 碰撞过程中机械能的损失最大；介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的 称为非弹性碰撞，碰后两物体要分开，但碰撞过程屮有机械能损失.单纯的碰撩过程，由于没有其他能量向机械能转化，总机械能不可 能增加.爆炸、火箭的发射等过程，都有其他能(如化学能)向机械能转化， 使得系统的机械能增加，这些过程一般也遵守动量守恒定律，但不属于 碰撞.例10甲、乙两物体沿同一水平光滑直轨道向同一方向运动，甲在 后，乙在前，已知它们的动量分别是p甲=5kg -m/s, p乙= 7

30、kg *m/s.甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙的动量变为pz乙=10kg*m/s.两物 体的质量关系正确的是下面的哪几种？a. m 乙=m rpb. m乙=2m甲c. m乙=4m甲d. m乙=6m甲解：动能与动量的关系式是两物体不论是哪种碰撞，都符合动量守恒的条件，因此可求出碰后 甲的动量p'甲=（p 甲+p 乙）p'乙=2kg*m/s.如果两物体的碰撞是弹性碰撞，碰撞前、后的总动能应相等，即满 足! 2 / 2pqi p乙 _ p 甲 p 乙2me|,2m 2mip 2m6代入数据并可解出m甲 7m乙17 如果两物体的碰撞是完全非弹性碰撞，则碰后两者速度相同，即满 足p&#

31、39;甲_ p'乙 m甲m乙,代入数据可解出m中 1 m乙-r由于两物体的碰撞只能介于上述的两种碰撞之间，即w者质量关系 一定满足5 ma 17因此，本题只有c选项正确.说明：（1）同一物体，动量和动能的关系，即下面两个式子也是会经 常遇到的.（2）两个物体发生碰撞，弹性碰撞和完全非弹性碰撞是两个极端的情 况，真实的碰撞绝大多数都是介于两者之间的.例11如图3 11所示，小木块a位于光滑的斜面上，斜面体b位 于光滑的水平桌面上.没有其他外力作用，在a沿b的斜面下滑的过程 中a. a, b组成的系统总动量守恒b. a，b组成的系统总机械能守恒c. 这个过程中除重力外没有其他力做功d. 这

32、个过程中木块a的重力势能减少量等于它的动能的增加量解：a和b组成的系统（严格地说，还包括地球），除y系统a各物体间的相互作用力以外，还有桌面对b的支持力，这个力是系统受到的 外力，因此系统不满足动量守恒的条件，a选项错误.但这个外力（桌面 对b的支持力）不做功，内力中也没有摩擦力做功，因此满足机械能守恒 的条件，b选项正确.这里的机械能守恒，是指a, b组成的系统而言的.如果单对木块 a来说，它的机械能不守恒，因为在a下滑的过程中，b要向后退，如 图312所示，a移到a'的位置，不难看出，b对a的支持力n虽然 垂直于斜面，但不垂直于a的位移s,因此支持力n要对木块a做负功, 对木块a来

33、说，不满足机械能守恒的条件，a的机械能不守恒.在这个过程中，n的反作用力，即a对斜面的压力n'（图屮未标出） 对b耍做正功，而且这两个功的绝对值相等，它们共同作用的结果是使 一部分机械能从a向b转移.这个过程中系统的总机械能守恒，具体地 说，是a的重力势能的减少量等于a和b的动能增加量之和.因此选项 c、d都不对.说明：（1）这个过程中，a，b组成的系统动量不守恒是因为受到桌 面的支持力，但这个力是沿竖直方向的，而沿水平方向并没有受到外力 作用，因此这个系统在水平方向的动量是守恒的.（2）这个过程屮，？4和川这一对弹力做功的代数和为零，是因为a, b两物体都认为是刚性物体，即认力它们不

34、发生形变，从而也没有弹性 势能，这样，在运动过程中，a与b的位移沿垂直于斜面方向的分量总 是相等的.因此正功和负功的绝对值也总是相等的，从能量的观点看， 只引起机械能的转移而没有发生机械能向内能的转化.vob a3mm图 3-13例12如图3 13所示，a，b两物体的质量分别为m和3m，用一 根细线拴住，中间还夹有一个被压缩的轻弹簧，在水平光滑地面上以速 度vq匀速运动.某时刻剪断细线，弹簧弹开，a物体离开弹簧后的速度 变为v=2v0.求：这个过程屮弹簧对两物体各做多少功？有多少弹性势 能转化为动能？解：a，b和弹簧组成的系统满足动量守恒的条件.设b离开弹簧 后的速度变为v'，则ma

35、v0+mb v0=ma v + mb e v，可解出两物体动能的变化都是由于弹簧弹力做功引起的，可根据动能定理 求弹力的功mvm2.2b v05mv62()整个系统满足机械能守恒的条件，a和b的总动能的增加量即为弹 簧弹性势能的减少量，因此bm112+2 v 2 0 aivmm112 2 13ii ii112说明.在本例题中，弹簧对a的作用力与对b的作用力总是大小相 等、方向相反的，但两力所做的功的绝对值却不相等，这是因为弹簧的 形变不能忽略，造成a, b两物体在这个过程中的位移不和等.这一对2弹簧弹力对两物体做功的代数和不为零，而是正值（恰等于它表示这一对力做功的总的结果，除了把一部分动能从

36、一个物体向另 一个物体转移以外，还使得系统的总动能增加了，这当然是由弹簧的弹 性势能转化而来的.对比本例题和前面的例11以及例6,可以体会到，分析一对弹力或 摩擦力对两个物体做功，可以对能量的转移与转化有进一步的认识.乙甲-囝 3-14例13如图3 14所示，木板甲放在光滑的水平地面上，木块乙位 于甲的右端，幵始时都处于静止状态.已知甲的质量是乙的质量的2 倍.现用恒定的水平拉力f向右拉动甲，经过时间tp乙恰好经过甲的正中，并且此吋甲的速度是乙的速度的4倍.此时撤去拉力f，又经过 时间t2,乙恰好滑到甲的左端，并且与甲的速度大小和同.已知乙与甲 的前半段的动摩擦因数为乙与甲的后半段的动摩擦因数

37、为p 2,求u 1与u 2及u与的比值各是多少.解：乙在甲上滑动的过程分成两段，第一段有恒定的外力f作用，历吋tp这期间甲和乙都做匀加速运动，只是两者的加速度大小不同.第二阶段没奋外力作用，只宥相互间的滑动摩檫力作用，符合动量守恒的 条件，最后达到共同的速度.设刚撤消力f时乙的速度为v，则甲的速 度为4v，乙滑到甲左端时的共同速度为v',则满足2m 4v + m v=3m v，v' =3v.囝 3-15为了分析问题的方便，我们作出甲、乙两物体的速度一时间图象， 如图3-15所示.其中木板甲在前一段时间内在恒力f和摩檫力的共同 作用下做匀加速运动，末速度达到4v,后一段吋间内只在摩檫力的作用 卜做匀减速运动，直到速度减为3v.木块乙在两段时间n都是在滑动摩 擦力的作用下做匀加速运动，但由于两段木板与木块的动摩擦因数不同, 因此加速度大小不同.在图3 17中，aoab的“面积”表示第一阶段甲与乙的相对运动 的位移，它等于木板甲长度的一半，而aacb的“面积”表示第三阶段两者的相对运动的位移，也等于木板甲长度的一半，b卩aoab与aacb 的“面积”相等.从图上看出，这两个三角形的底(即ab边)相同，说明 它们的高也应该相等，即q=t2,或ti : t2=l : 1.再看乙