全概率公式与贝叶斯公式

1、5§ 1.4全概率公式与贝叶斯公式教学对象：数学专业本科生教学目标：让学生掌握全概率公式与贝叶斯公式的应用课型：新授课课时：1课时重点与难点：全概率公式与贝叶斯公式的应用背景、 相互的联系与区别以及在实教学方法：教学安排：际中的应用讲授法，情境问题法（1）课堂导入（2）讲授新课、举例（3）拓展与思考（4）思考（5） 布置作业教学过程:（一）给出引例，导入新课在前面的学习中，我们已经熟悉了求概率的几种方法： 频率方法、古典方法 和几何方法，对较简单的事件，这些方法是很好用的，但是当事件比较复杂时， 这些方法用起来就显得力不从心了。引例 小王要去外地出差几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾

2、。若已知 如果几天内邻居记得浇水，花存活的概率为 0.8,如果几天内邻居忘记浇水，花 存活的概率为0.3,假设小王对邻居不了解，即可以认为他记得和忘记浇水的概 率均为0.5,问：几天后他回来花还活着的概率。讨论：这个问题可以用我们以前所学过的方法求解吗？【评析】对此类较复杂的概率问题，用我们以前的知识就解决不了了。（二）讲授新课在上例中，事件“花活着”有两种情况可以导致它发生：记得浇水和忘记浇 水，而“记得浇水”和“忘记浇水”把样本空间划分成了两个互不相容的部分， 称为一个划分，具体的定义如下：1.划分定义1设B,B2,，Bn ",且满足n - Bi（完全性）；i =1 对-i, j

3、，Bj -：（互斥性）。则称BB2, ,Bn构成门的一个划分。【课堂提问】 能举出日常生活中划分的例子吗？ 最简单的划分是怎样的？ 仔细观察上图，当Bi,B2,，Bn构成门的一个划分，Bi,B2,，Bn是否也将任一个事件A划分成了若干个互不相容的部分？它们如何表示？【评析】 一块玻璃摔在地上破碎了，各个碎片就是原来玻璃的一个划分。 最简单的划分就是B和B. 当Bi,B2,，Bn构成门的一个划分，Bi,B2,，Bn也将任一个事件A划分成了若干个互不相容的部分，它们分别表示为AB,AB2,，ABn，当然，它们中间可能有的是门。2.全概率公式在上例中，设b= “记得浇花” ，b= “忘记浇花”，则b

4、和b就构成了门的一个划分，设事件A= “花还活着”，则A也被B和B划分为两个互不相容的部分：ab,ab。由前面概率的性质知道： P(A)二P(AB AB)二P(AB) P(AB)=P(A| B) P(B) P(A|B) P(B)=0.8 0.5+0.3 0.5 =0.55。性质BB2,，Bn，如果P(Bi)0,i =1,2/ ,n，则对任一事件A有nP(A)P(Bi)P(A|BJ.i#证明：略【例题1】 某保险公司把被保险人分为3类：谨慎的”、一般的”、冒失 的”。统计资料表明，这3种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15和0.30; 如果 谨慎的”被保险人占20%, 一般的”占5

5、0%，冒失的”占30%，一个被保 险人在一年内出事故的概率是多大？解：设Bi= “他是谨慎的” ，B2= “他是一般的” ，B3= “他是冒失的”，则Bi,B2,B3构成了门的一个划分，设事件A= “出事故”，由全概率公式：P(A)八 P(BJP(A|BJi J= 0.05 20%0.15 50%0.30 20%=0.125。3贝叶斯公式在“浇花”的例子中，我们反过来思考这样一个问题：假若小王回来，发现 花还活着，那么，邻居记得浇花的概率是多大？即已知结果，要求这个结果是由某种原因所导致的概率，这就是贝叶斯公式 解决的问题。性质 设Bi,B2 / ,B n是样本空间门的一个划分，则P(Bi |

6、 A)二P(Bi)P(A|BJn,i =1,2, ,n.、P(Bj)P(A|Bj)j 4证明：略回到上面的例子中，可以求出当发现花还活着，邻居记得浇花的概率P(B| A)二P(B)P(A| B)P(B)P(A|B) P(B)P(A| B)0.5汉 0.80.5 0.8 0.5 0.3= 0.7271.【例题2】某地区居民的肝癌发病率为 0.0004,现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表 明，化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病）， 而没有患有肝癌的人其化验结果 99.9%呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳 性，问他真的患肝癌的概率是多大？【猜猜看】师：评大家的直觉

7、，此概率大概为多少？生：师：我们用贝叶斯公式计算一下，看看谁猜得更接近些。解：记事件B二“被检查者患有肝癌”，A二“检查结果成阳性”，由假设，P(B) =0.0004 , P(B) =0.9996, P( A | B) = 0.99, P(A| B) = 0.001，由贝叶斯公式,得P(B|A)P(B)P(A| B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 9990.0004 0.990.9996 0.001=0.284.【思考】这个结果多少让人觉得惊讶，既然检查结果成阳性真的患肝癌的概率 只有0.284,如何确保诊断的无误呢？对！方法就是一一复诊！复诊时，此人患肝癌的概率不再是 0.0004,而是0.284。 这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患病的概率进行了修正，因此将由贝叶斯 公式求出的概率成为修正概率。假若第二次检查还是呈阳性，我们类似可以计算出他患肝癌的概率P(B|A)二P(B)P(A|B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.284x0.990.284 0.990.716 0.001= 0.997.上式表明：如果第二次复查结果仍然呈阳性，那么他患病的概率就达到了 99.7%, 此例说明了复查可以提高诊断的准确性。（三）课堂小结全概率公式一一由因求果，贝叶斯公式一一执果寻因 关键点：什么