第9讲三次数学危机与悖论欣赏

1、第9讲三次数学危机与悖论欣赏一、前言何谓悖论？一种理论系统中出现的逻辑矛盾就是悖论。它与谬论不同，谬论可以从已有的理论中指出它错在哪里，而悖论尽管是自相矛盾的，但从它所在的理论体系中却不能阐明其错误的原因。什么叫悖论？有人认为悖论有3种主要形式：一个论断看起来好象肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；一个论断看起来好象肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；一系列推理看起来好象无懈可击，可是却导致了逻辑上的自相矛盾。这些关于悖论的说法未免失之过宽，它是以“人的直觉和日常经验”为标准的。而且，这很可能造成悖论与正确之间的混淆，前者对其错误之所在是没有明确判断的，而且对于由直觉得出的结论和日常

2、经验作出的判断，其正确与否还难以作出。日本数学百科辞典说：“一个论断能够导出与一般判断相反的结果，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论”。这里，关于“很难给出正当的根据”这句话过于含糊。在一定条件下“很难给出”与“能否给出”的含义是不一样的。奥地利学者班格特·汉生认为，一些常见的悖论，除了非直谓的原因之外，其性质就和数学上的方程没有解一样。在算术中，这类问题是靠引进新数、扩大数系来解决的。例如，在正整数系里无解，扩大到有理数系便有解了；，在实数系里无解，而扩大到复数系时有解了。悖论的发生常常是与人们在相应的历史条件下的认识水平有密切关系的。例如，伽利略关于“自然数并不比

3、平方数多”的悖论，在有了集合论之后，在有了无穷基数概念之后，这个悖论产生的原因和解决的办法就都有了。我们甚至不难设想，对于今天还不知道无穷基数概念的人来说，伽利略悖论可能仍然是一个悖论，但事实上它是已经被消除了的，只是他不知道而已。所谓悖论与一定的历史条件相联系，其实质在于悖论是相对于某个理论体系而言的。面对悖论，人们也就努力去探寻或建立新的理论，使之既不损害原有理论的精华，又能消除悖论。因此，客观上，悖论推动了理论的研究与发展。数学中的悖论推动了数学的发展。另一方面，在悖论未消除之前，就是存在某种危机，理论的危机。数学史有所谓3次危机，都是与悖论有关的。其实，悖论何止3个，危机何止3次。然而

4、，造成重大的全局影响的可算是这样3个或3次。二、第一次数学危机第一次数学危机发生的时间最早，而危机根本上被消除花费的时间又最长。古希腊数学认为，在数学中，算术比几何是更基本的。算术以数为基础，数则由整数组成（分数不过是两整数之比）。一切几何量都可由数表示，亦即可由整数和可比数表示。几何线段的长当然也都可以由整数和可比数表示了。后来，发现了，（即边长为1的正方形对角线和正五边形对角线长）不是可比数。这就引发出了第一次数学危机：按当时的理论，一切数都是可比数，然而，即出现了一个（乃至更多）不可比数。在当时的理论体系下没法解释。谁的危机呢？当然不是今天数学理论的危机了，而是古希腊数学理论的危机。这场

5、危机从公元前一直拖到公元后19世纪才完全解决。所谓完全解决，就是说，新的理论建立起来了，在新的理论体系下，数系扩张了，被认为是“异物”的东西成了这个体系合理的“存在物”。为什么危机拖了这么久并未从根本上影响数学的发展呢？事实上，影响是存在的。例如，算术的基础地位动摇了，几何的地位上升。几何的地位支撑数学的发展。此外，虽然在理论上还无法解释这种数的时候，也无可奈何地跟它打交道，只不过把它们称为“无理数”罢了。可真不容易，一直到19世纪才有了办法，而且好象蒸笼里的一个馒头熟了其他几个馒头就都熟了一样，几种办法都出来了。戴德金有一个办法比起另一些办法来更易直观理解一些。他把有理数集任作一划分，或者说

6、分成两个集与，使中的每个数（或点）小于中的每个数。就叫做一个有理分割。若中有最大数或中有最小数，那么，这个数当然是有理数，此时便说确定了一个有理数，或者干脆就说是个有理数。然而，中无最大数且中无最小数的情形肯定是存在的，例如，由所有平方小于2的有理数组成集，所有平方大于2的有理数组成集，那么中无最大数，中无最小数，但我们也称确定了一个数，就叫实数，或者干脆说是一个实数。因为若把有理数视为是实数的一部分，那么，就可以统一地说，每个有理分割即一实数。如果把直线的点都理解为有理点，肯定是有缝隙的，戴德金实数理论一建立，便可填满整个直线而无空隙了。当然，具体问题还很多，但新的理论建立起来了，危机解决了

7、，悖论消除了，具体问题再进一步研究去。三、第二次数学危机牛顿的微积分发现无疑是一件划时代的事件。然而，第二次数学危机就发生在微积分身上，所以带来的震动不亚于第一次数学危机。牛顿的微积分使用的是流数法，的流数记为（它相当于今日微积分教科书上的改变量）。下面，我们按照流数法来计算一下的微分：.这样算起来也很简单，很快就得到了的导数（或微商）。这种算法不仅简单，而且有效。所以受到数学家特别是物理学家的欢迎。但是上述算法中也存在着逻辑上的漏洞。例如，上面那个式子中有3个等号，第二个等号成立的必要条件是，然而，第三个等号成立的条件必须是。怎样解释这一点呢？解释不清楚。这就是微积分之初的一个悖论，并称之为

8、贝克莱悖论。因为大主教兼哲学家的贝克莱也看出了这一漏洞并特别地攻击了微积分，他称这个时而为0、时而又不为0的无穷小量为“鬼魂”。他说，你们那些相信这种“鬼魂”的数学家们，有什么理由怀疑上帝的存在呢？牛顿17世纪建立了微积分之后，虽然发生了悖论，但像第一次数学危机那样，这次危机出现后，也没有阻止微积分的继续前进，从17世纪到19世纪跨越两个世纪的漫长日子里，一方面是微积分广泛地运用于非数学领域，尤其是物理学、力学，天文学，另一方面与微积分有关的以它为基础的许多新兴数学分支涌现出来。这种前进的步伐表明，似乎人们全然没有顾及那个悖论一样。18世纪依然是在微积分基础上繁荣发展的世纪，其间还出现了象欧拉

9、那样高产的大数学家。然而，微积分在逻辑上存在的问题毕竟是数学家的一个心病。总得想法解决这个问题。19世纪，这个问题终于解决了，微积分的逻辑基础建立起来了。这主要得益于严格的极限理论（康托尔、柯西等人所建立）。有了极限，前面用流数法计算的那个式子，可以改写为以下式子：.这一串式子中就没有矛盾了。这里，关于符号“”的严格叙述确实不是很容易把握的。这个概念与“”的严格叙述在性质上是一样的。最基本的是“”，亦即无穷小量的叙述，这就是贝克莱所说的那个“鬼魂”。由于实数理论的完整建立是依赖于极限概念的，所以，第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在19世纪消除。新的理论体系有了更大的包容量，原有的悖论在新

10、的体系下可以圆满地予以消除。四、第三次数学危机17世纪，18世纪，19世纪，都是近代数学蓬勃发展的世纪，但特点有所不同。前两个世纪可说是迅猛前进，广为开拓的世纪；后一个世纪（19世纪）则可说是走向理；更加成熟的世纪，重大理论成果累累的世纪。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的公理、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为鲜明，等等和。然而，人们还在思索：整个数学的基础在哪里呢？正是在这个时候,19世纪之末，集合论出现了。集合论为何引起广泛关注呢？因为人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数

11、为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。然而，算术的对象可说是以整数、分数等组成的集合为对象；微积分可说是以函数等组成的集合为对象；几何可说是以点、线等组成的集合为对象。这样一来，都是以集合为对象了。集合成了更基本的概念。从正整数出发，由一个正整数对（例如把表成可以表示有理数；由有理数对（序列）可以表示实数（如有理数对作成区间套）；由实数对可以表示复数；有了解析几何，又可以由数来表示形。因此全部数学似乎都可归结为正整数了，或者说，全部数学都可以算术为基础了，就相当于解决了整个数学的基础性问题。数学家弗雷格就做了这样的工作，他在集合论的基础上写了一本研究算术的书，名字就叫算术基础。可是，正

12、当弗雷格即将出版算术基础一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。顷刻之间，算术基础动摇了，整个数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带来的震撼是空前的，许多为集合论兴高采烈的数学家发出了哀叹：我们的数学就是建立在这样的基础上的吗？罗素的悖论在当时是无可辩驳的，这确实导致了一场深刻的危机。1919年，科学家罗素提出如下的理发师悖论：“村子里仅一名理发师，且村子里的男人都需要刮胡子，理发师约定：给且只给自己不给自己刮胡子的人刮胡子。”有好事者问理发师：“理发师先生，你自己的胡子谁来刮？”理发师无言以对。因为如果理发师说“我自己的胡子自己刮”，那么根据他与大家的约定，理发师不能给自己刮胡子的人刮胡子，即这里

13、他不该给自己刮胡子；如果理发师说：“我的胡子不自己刮”，那么根据他与大家的约定，理发师应给自己刮胡子。可见理发师怎么回答也不行！上述理发师悖论可以稍微数学化地来表述，设集合稍微数学化地来表述，设集合自己刮胡子的人若理发师，即理发师是自己刮胡子的人，但由“约定”，他不该给理发师刮胡子，即理发师，矛盾！若理发师，即理发师不自己刮胡子，由“约定”，他应给自己刮胡子，即理发师，矛盾！罗素进一步把上述悖论变成下面的一个数学悖论，称为罗素悖论：“设，问还是？”显然；若，由的定义，由是中一元素，应有性质，矛盾！若，由的定义，矛盾！于是这里发生了无论如何摆脱不了矛盾的荒唐局面！在罗素表述悖论时，字字句句都未违

14、反康托尔朴素集合论的观点，为什么出现了自相矛盾的事呢？要害是允许写，即谈某些集合自己是自己的元素，为了排除罗素悖论，保卫自己已建成的大厦，数学家策墨罗(Zemelo)、弗兰克尔(Fraenkel)等抛出一套所谓公理集合论的公理系统，按他们的公理规定，禁谈，从而解除了第三次数学危机。第三次数学危机出现的前夕，数学界一派升平乐观气氛，1900年，庞加莱在第二次国际数学家大会上自信而兴奋地宣称：“我们可以说，现在的数学已经达到了绝对的严格。”过不了几年，罗素悖论犹如晴天霹雳，使数学界一片哗然，希尔伯特惊呼：“在数学这个号称可靠性与真理性的模范里，每个人所学、所教、所用的概念及结构的推理方法，竟导出不合理结果；如果数学思考也失灵的话，那么我们到哪里