量子力学习题答案

1、2.1如图所示%左诛艇右_0x设粒子的能量为-,下面就ft堀和堀两种情况来讨论由概率流密度公式入射（一）：脳跖的情形此时，粒子的波函数秒爭?所满足的定态薛定谔方程为反射系数临f 2 石严免:二0其中 2m透射系数（2）粒子从右向左运动13 2m r -护E嘉=尹时其解分别为左边只有透射波无反射波，所以为零（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以:横为零同理可得两个方程.3+5'=4rk辺毎9= 一£祖由波函数的连续性得.-二垒I 上I ix 也一 dx得严匸'-X反射系数解得透射系数反射系数（二）E 珀的情形令；. - 一，不变此时，粒子的波函数密:昭（I；

2、所满足的定态薛定谔方程为TT+fciVi= °透射系数hT = r=Oll（2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得方程其解分别为%（力=Ax+Aex 既（力二別“+肌如由在右边波函数的有界性得-为零（1）粒子从左向右运动fc«=D = felfcl由于全部透射过去，所以h=0反射系数；_二I透射系数节二2.2解得* TT 7" A入射域斫：如图所示在.一有隧穿效应，粒子穿过垒厚为 *戈的方势垒的透射系数为T -厂和:叩【；4-創女16E 仙 E)总透射系数相应的聖二2叱=T护飞R a 2mU0-ax-Edx因为正负号不影响其幅度特性可直接写成

3、由波函数归一化条件得2.3hM©|也二疋sin2yx) 二-一曲=穿以势阱底为零势能参考点，如图所示0a所以波函数显然輸二”二.oooo左改中仲黑时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为显然加二一 =13 2m 叶其解是頼竹血;液怒沁由波函数连续性条件得Afin(f)=OAsia+f) = Ok = (i:- i；)?r =nn软0时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为由波函数连续性条件得ka:严+单二 l#r +9=饨<10 a-*显然勁匸_在中间和右边粒子的波函数秽;圳:所满足的定态薛定谔方程为当汙和,为任意整数，勞陋则加一: :. - - ' -

4、 .- - .； .-.-：.；'当®:旬计：1，为任意整数，尸3叱其中:. - y .-则甩厂 -'-.其解为轧緘d南购餐n惑综合得留心铀離川蕊当.二_时，厂逾波函数蔽匕脑停对归一化后】-当二一，亠时，帶亠-波函数2.4如图所示oo归一化后常或:-卉（X）= 3rBK-J + 5ff_ki：x由在右边波函数的有界性得，稱为零隔話）：怒蚯対讥专）悍盘）-阴f再由连续性条件，即由得'订磁）F则总yKMLC=WL=：得A sinia） = Fff_klC «.（J）得故谟AS阻仇）=-直別f11 M. （M）0线2.5inn=4令:r-TI2mr5 _+

5、 2k阿*7 jmy心5気只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值,F1：JL对每个E,；如除确定VvM =盘抽伙园一咚归一化条件得A2弼乜曲严洛.1；广趟dz = W譽2十则上式可化成询除以得耐 cDt(fcte) = -ftjl1a = nT+cor_:±)再由公式皿吗二土时'一，注意到时于吟二辔tl+?令匚二:峽图中只画出了在器的取值范围之内的部分二-=:卑-卞=o护哙严=岸£-佥沏（13診詁（圖丄二 run鼻ajL rcna)! ”战工丄+rsn%边 2ft； i-i-haiJ 则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为£ +諾厂乩偽丄F

6、-丄馳！2其中- -.-.，:h '戈j：L不同n对应不同曲n=6=-mtu2(x则只有当爲有解r 1 严 /叶二 OJUm同理吟-9423.0%丽2.6和已知条件可得第三章3.1能量本征值方程为S. 一一即分离变量法，令-3 -:二*三-则有札區=Y一加专4筑BT沌4 )式中：、”二唁能级简并度为诩J.3.2角动量算符二.：二-'.-.-.在极坐标系下则n=uym = 04 J由能量本征值方程£-r)U=O令其解为由周期性呎:=閲刈得7归一化条件 : . - = .<-=.代时沪爲2m乔十严=0只考虑智?唧时令护=罟E + UJ i/= E其解分别为%們二加械

7、灯+创 励=咋"+引W由波函数有界性RmDIqD 池 V 00得Eb）二別一讣由波函数连续性瓯伉m二心:叽丸得A strike = IfeW则1 蝴二护和n2h2亦融3.4护jpH = L+U（r） = -ps+u（r）zmZm由能量本征值方程-二“令擁盘#:诩轆磁当"出 做点癒三怕拼命卿沪渤矗DlWlfei：二屉 MlfeCAk世阳前谭）-Xstn（fcLa） = -k皿別诳-£厂山此时附轿j满足的方程为石曲（kQ 二-k：再由公式曲舊注意到.打只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值,2tnyD对每个E,对” i思确定其中一二. 一.，；、；：；.

8、不同n对应不同曲线,心丫.二北:曲讥图中只画出了在和的取值范围之内的部分1-2a/uu )-.5A 00，具体求法见爲记約)二问>A1 M鼻鼻 吕X碉加 -£imE恤)=°同理扎小方差算符Jf耳*虹呂 m 、土 m 也丄 /* a a Jn v*% =("二】丄Jt二詁片打禺二出 A /A A 4 A A A> -ft M -A* 拆<A 拆.4i A A詁亦q梓卩二础（站-za+）-z1杆 / .卉 鼻Q、 1亦 鼻 2 1 -A -A A 1界lA 曲 盂U叫+乩）-詁丹1严切站-詁占如T IA 21 * A *1 A A A工 Ifll&g

9、t;归一化后的则n= OjLZ.S.n% 00=%1* A 2*Z|.1* |JM * 2l .=-<ta|4 +iy ifli>-<iffi|r-i2 |im>4.5本征方程的矩阵形式=能-硏=j(和歸S1由测不准关系代入，验证该式是成立的第四章4.1在动量表象中-，字TflPa + E上式阙陰.存在非零解的条件是即 _ _-一 _-一 _ _ _-一-.-解得2a+聲+贞面哥咼匸而顾齐爵而32m 2 Bp2-1 =2(2 +£+ 既+ (即-E疔+ 4朋代入山P.色耳-斗庄-庄(园-即+讶2b再由叮：'|汕；-丄a1 +cos'/=1当躺爲

10、，同样第六章1 (Sn)=26.3解:表象，Sn的矩阵元为snJi 02 JJi巾2 JSn1 cos;1 cos”：亠 i cos :, 2(1 cos )1 +cosY 1cos +i cosR(0 0J弦(1 +cos予)心cos - i cos i'+1(Sn)2W 0losY_i cos -0 丿 2 0 -1cos:0coscos: -i cos|-2 gosa +i cos P其相应的久期方程为cos1 cos上1 +2cos.篇川'i cos2(1 cos )4h-cos f 一九2k_一(cosa 十icos P) 2£(cosg -i cosP)2

11、hcos - 12=0cos2244 (cos2 a +cos2 0) =0'204(禾I用COS2爲" cos2 :cos2= 1)h同理可求得对应于sn的本征函数为2g)6.11 - cos2cos 二'i cos 12(1-cos )设卩整在"的表象下的本征函数为所以S的本征值为设对应于fts十的本征函数的矩阵表示为本征值为，在的表象下的本征函数为，本征值h' cos?cos。-i cosP 'aha '2&osd+icosP-cos了丿(b24= a(cos= " i cos J - b cos = b ,

12、cos + i cos Pb =1 + cos ；由%在的表象下的矩阵得方程有非零解的条件为由归一化条件，得det=0,2a+cos： i cos :1 cos2a2=1即 二 二，的本征值、本征函数有两个当.:J时，代入得.-则方程左边可分解为r > 1）!； _>匚：-三维表象下的三个方程,由波函数归一化条件得权p.:. EF:_：同理由.在的表象下的矩阵得s fff.1方程有非零解的条件为det-=0，即忖.妆.'L,，的本征值、本征函数有两个由波函数归一化条件得|计'，；|引；二1也他=$同理殉二第6.3节的证明题在中心场问题中（即氢原子中电子的状态）三个表

13、象下各自的波函数相乘即是-的本征函数。卜上表象下是阶连带拉盖尔多项式 述d，记作-算符的本征 值表象下的方程显示的对一的作用关系即是二算符是球谐函数 备印、巒1,是字与在的共同本征函数.表象下是.其本征函数为主量子数-门獵：角量子数 I = 0xl2f «fl-l轨道量子数M肚:娥;加，自旋量子数-此一二二（2）当存在自旋动量距与轨道动量矩的耦合电子的哈密顿量为兰HS=-+U（r）4（r）LS同样求其本征值时转化为球坐标系下的方程 .二-”-二i（i）当无自旋动量距与轨道动量矩的耦合（即存在 符的相乘项）电子的哈密顿量为戸 亠一 一S=一+/（衿逾诂一忑3_算符与算卜表象下也是址$；

14、：阶连带拉盖尔多项式-缶j-: - - 表象下的方程显示的对一的作用关系即是总动量矩算符；-.:是属于不同自由度的，站 & 二分别为其分量类似于在轨道角动量矩的性质求其本征值时转化为球坐标系下的方程 .一-一一.，具有共同本征函数下面先求的本征函数由汽:，产g求得（以下只要记住就行）-的本征函数为球谐函数如他 亦 本征值为税札«=li ±1, ±2±11 - 2.的本征函数为|-7 -clk- 则的本征函数为.一-，本征值为初+ wis）h二 li显然的简并度为属于本征值爲j的本征函数可表示为1二r时通过 厲二N ，确定们b可得忡艮 表象下的本征

15、函数主量子数盒：.=患龟口角量子数 1二0血 mfl-1磁量子数'础:二一.一二-.-一二-J22%二色我y出每碍y哥*<9*3 o J n- 2” 區 r 巴 3 -n 2=LX +Ly +LC +片 +令 + 务 +严* 营.A JB-A A 2LX r Sx+Lj-Sy- Lj 曲孕AM/A 4A A鼻鼻.二 L+S1 + 禺 + 书* 右Sj在一 一表象下卜丹（中;|喘水琲-J）4 氐+与 -Lx 量子力学全书重点1.量子力学三大作用：奠基作用、渗透作用、设计作用2.量子力学中粒子的特点单一粒子具有波粒二象性多粒子体系具有全同性3.量子力学的三大原理:态叠加原理：若波函数

16、執；長口 :：轧,是描述粒子的一 些可能态，则这些波函数线性叠加得到的 一 -.一也是描述粒子的可能态性质：连续性，有界性，单值性，归一性厄米算符线性条件：櫛冷卜阿口 |勲临略测不准原理：对于任意两个不可对易的力学量算符二一-,设其满足 - l-'f:二-二 则有对于时间与能量 E扯全同性原理：全同系的状态不因交换两个粒子而改变，其运 动状态只能用对称或反对称的波函数来描述厄米条件：血汀二I /'本征函数：正交归一性、完备性具有完备的共同本征函数：两算符必须对易 力学量的完备集合1. 力学量的数目至少等于系统的自由度4.2. 这一组力学量必须两两对易量子力学的三大概率3. 这一组力学量必须相互独立分布概率跃迁概率散射概率8.常见力学量算符9.力学量的表象与矩阵力学P1225.-fl