“五法”搞定空间距离

1、“五法”搞定空间距离郾城试验高中 李春枝空间距离包括点到面、异面直线间、线到面、面到面的距离等多种情况，因此，求空间距离的方法也很多。现将五种常用的方法归纳如下：一、 定义法。求空间距离,有时我们可按照定义求垂线段或公垂线段的长度。所以，只要能找出或作出垂线段或公垂线段，然后利用解三角形等方法就可求出其长度。例1、 平面内有RtABC，C=90°，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC，P到平面ABC的距离为40cm,AC=18cm,求点P到BC的距离。分析：求点到直线的距离，一般可直接或结合三垂线定理等作出垂线段。P解：如图作PO平面ABC，垂足为O。PA=PB=PC，则AO=B

2、O=CO。OO为ABC的外心。AB又C=90°，O点落在AB边的中点，即PO的长就是DC作ODBC，由三垂线定理知PDBC，PD就是点P到BC边的距离，又ODAC且OD=AC，OD=9，在RtPOD中，PD=41P到BC的距离为41cm。二、 转化法。在求空间距离时，有时可根据需要进行各种距离之间的相互转化，即：线线距离线面距离面面距离点面距离，从而打开思路，或使解题思路和解题过程简化。例2、 如图，正方形ABCD边长为1，过D作PD平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB、BC的中点，求直线AC到平面PEF的距离。分析：要想求直线AC到平面PEF的距离，可在AC上找一点到，求其到

3、平面PEF的距离或到平面PEF上一直线（或一点）的距离即可。P解：ACEF，AC平面PEF，设AC与BD交于点O,AC与平面PEF的距离，就是点O到平面PEF的距离。EFBD，EFPD，EF平面PBD，平面PEF平面PBD，交线为PG，过O作OHPG于H点，DC则OH平面PEF，OH就是O点到平面PEF的距离。OHF在RtPDG中，OHPG，PDGOHG，GEBA，而PD=1，OG=，PG=，OH=。即直线AC到平面PEF距离是。本例的关键是把线面的距离转化为点线距离，再通过解三角形来求解，类似地求面面距离也是转化为点面距离；另一方面求点到面距离还可以转化另一点到平面的距离。读者可在解决问题时

4、认真体会其妙处。三、 等积法。点到面的距离，往往可以用等体积法来解。如例2、设O到平面PEF距离为h，则由VO-PEF=VP-OEF得h·SPEF=PD·SOEF ，h=。等积法关键在于把点到平面的距离看作一个棱锥的一个底面上的高，再将此棱锥用另外的底面及相应的高求出体积即可。四、 向量法。利用向量法来求距离常用的方法又有两种，其一是建立直角坐标系，其二是直接利用向量的运算来求解。例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，求异面直线AA1和BD1的距离。分析：充分利用“向量数量积为0向量垂直”这一结论。解法一（向量法）：取AA1的中点M，连结MD1、MB，设O为

5、BD1的中点。D1C1B1A1，OMD，BAC，=（）=0，MOBD1。又=0，MOAA1。MO是 AA1 与BD1的公垂线段。2=z=，故AA1和BD1的距离是。D1C1A1解法二（坐标向量法）如图建立空间直角坐标系。则A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），B1D1（0，0，1），=（0，0，1），=（-1，-1，1），DCBAy设=（x,y,z）是与的公垂线的方向向量，x由得z=0，x= -y。取=（1,-1,0）又=（0，1，0），则d=两种方法均利用向量法求解,但思路却不一样.方法一以向量为工具达到了两个目的,一是找出公垂线段,二是用向量的模得到公垂线段的长度.整体用的还是定义法的思路.方法二同样以向量为工具,但利用公式d=（即在方向上的射影长度）求出距离,思路更加新颖,计算也更加简单。此法可用于求点到面、和异面直线间的距离。其中，求点到平面距离时，可求点到平面上任一点构成的向量在平面法向量上的射影长度。求异面直线距离时，可求异面直线各一点构成的向量在异面直线公垂向量上的射影长度。五、函数法。求距