点直线与圆的位置关系(中考复习教案)

1、学习必备欢迎下载点、直线与圆的位置关系（中考复习教案）一、复习目标：1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆；3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题；二、复习重点和难点：复习重点：1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。复习难点：1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。三、复习过程：（一）知识梳理：1. 点与圆的位置关系 : 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设

2、圆的半径为r ，点到圆心的距离为d，则点在圆外d r 点在圆上d=r 点在圆内d r 2. 直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离设圆的半径为 r ，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆相交dr ；直线与圆相切d=r ；直线与圆相离d r3. 切线的性质和判定(1) 切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线(2) 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径(3) 切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(4) 切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。注意： 证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个

3、公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（ 2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半径，简称 “作垂线，证半径”学习必备欢迎下载（二）典例精析：例 1、如图，直线PA过半圆的圆心 O，交半圆于 A，B 两点， PC切半圆与点 C，已知 PC=3，PB=1，则该半圆的半径为【分析】 连接 OC，则由直线 PC是圆的切线，得OCPC。设圆的半径为x，则在 RtOPC中， PC=3， OC= x， OP=1 x，根据地勾股定理，得22OP=OC22224。PC，即（ 1x）= x 3 ，解得 x=4。即该半圆的半径为【学过切割线

4、定理的可由2PC=PA?PB求得 PA=9，再由 AB=PAPB求出直径，从而求得半径】例 2、如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形， BCOA，P 分别与 OA、OC、BC相切于点 E、D、B，与 AB交于点 F已知 A（ 2，0），B（ 1，2），则 tan FDE=【分析】 连接 PB、 PEP分别与 OA、 BC相切于点 E、 B， PBBC，PEOA。BCOA， B、 P、E 在一条直线上。A（ 2， 0）， B（ 1，2）， AE=1， BE=2。 tanABEAE1。BE2 EDF=ABE， tan FDE= 1 。2例 3、（ 1）如图，已知 O 是以数轴的原点O 为

5、圆心，半径为 1的圆， AOB45 ,点 P 在数轴上运动，若过点P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点 ,设OP x ，则 x 的取值范围是 (C)A 1 x 1 B2 x 2C0 x 2D x 2（2）如图，在 Rt中，C= 90°，B= 30°，BC= 4 cm ，以点C为ABC圆心，以 2 cm 的长为半径作圆，则C与的位置关系是（）ABA相离B相切 C 相交D相切或相交例 4、如图所示， AC为O的直径且 PAAC， BC是O 的一条弦，直线PB交直线 AC于点 D， DBDC2DPDO3（ 1）求证：直线 PB是O 的切线；（ 2）求 cosBCA的值【分析】

6、 （ 1）连接 OB、 OP，由 DBDC2 ，且 D= D，DPDO3根据三角形相似的判定得到BDC PDO，可得到BCOP，学习必备欢迎下载易证得 BOP AOP，则 PBO=PAO=90°。（2）设 PBa ，则 BD=2a ，根据切线长定理得 到 PA=PBa ， 根 据 勾 股 定 理 得 到 AD=22a ， 又 BCOP， 得 到 DC=2CO， 得 到DC CA12 2a2a ，则 OA2 a ，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定22义即可求出cosBCA=cosPOA 的值。【答案】 （ 1）证明：连接OB、OP DBDC2 且 D= D， BDC PDO。

7、DPDO3 DBC=DPO。 BC OP。 BCO=POA ， CBO=BOP。OB=OC，O CB=CBO。 BOP=POA。又 OB=OA， OP=OP， BOP AOP（ SAS）。 PBO=PAO。又 PAAC， PBO=90°。 直线 PB是O 的切线 。（2）由（ 1）知 BCO=POA。设 PBa，则 BD= ，2a又 PA=PBa ， AD=22a 。又 BCOP ， DC2。 DC CA12 2a2a 。 OA2 a 。 OP6 aCO222 cosBCA=cosPOA= 3 。 3例 5（内蒙古包头 12 分） 如图，已知 ABC=90°， AB=BC直

8、线 l 与以 BC 为直径的圆 O相切于点 C点 F 是圆 O上异于 B、C 的动点， 直线 BF 与 l 相交于点 E，过点 F 作 AF 的垂线交直线 BC与点 D（1）如果 BE=15， CE=9，求 EF 的长；（2）证明： CDF BAF； CD=CE；（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使 BC= 3 CD，请说明你的理由【分析】（ 1）由直线 l 与以 BC为直径的圆 O相切于点 C，即可得 BCE=90°，BFC=CFE=90°， 则可证得 CEF BEC， 然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 EF 的长。（ 2）由

9、FCD+FBC=90°， ABF+FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得 ABF=FCD，同理可得 AFB=CFD，则可证得 CDF BAF。学习必备欢迎下载由 CDF BAF 与 CEF BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得CDCE ，BABC又由 AB=BC，即可证得CD=CE。（3）由 CE=CD，可得 BC= 3 CD= 3 CE，然后在RtBCE中，求得tan CBE的值，即可求得 CBE的度数，则可得F 在O的下半圆上 .解：（ 1）直线l 与以 BC为直径的圆O相切于点C， BCE=90°，又 BC 为直径， BFC=CFE=90

10、6;。 CFE=BCE。 FEC=CEB， CEF BEC。CEEFBE。ECBE=15， CE=9，即： 9EF ，解得： EF=27 。1595（ 2）证明： FCD+FBC=90°， ABF+FBC=90°， ABF=FCD。同理： AFB=CFD。 CDF BAF。 CDF BAF， CFCD 。BFBA又 CEF BCF， CFCE 。 CDCE 。BFBCBABC又 AB=BC， CE=CD。2（3）当 F 在O的下半圆上， 且 BF=3BC时，相应的点 D 位于线段 BC的延长线上，且使BC= 3 CD。理由如下：CE=CD， BC=3 CD= 3 CE。在

11、RtBCE中， tan CBE= CE1 ，BC3 CBE=30°， CF所对圆心角为60°。2 F在O的下半圆上，且BF=BC。3例 6、（ 2010?安顺）如图，O是 ABC的外接圆，且AB=AC，点 D 在弧 BC上运动，过点D作 DEBC， DE交 AB的延长线于点 E，连接 AD、 BD（1）求证： ADB=E；（2）当点 D运动到什么位置时， DE是O 的切线？请说明理由学习必备欢迎下载（3）当 AB=5， BC=6时，求O 的半径。方法点拨：（ 1）根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，等量代换即可得到 ADB=E；（ 2）当点 D运动到弧 BC的中点时，

12、DE是O的切线，利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（ 3）连结 BO、AO、并延长 AO交 BC于点 F。据题意可得 AFBC，然后在 RtOBF中根据勾股定理即可求得O 的半径为 25/8 。例 7、在平面直角坐标系中，直线y kx b（k为常数且 0）分别交x轴、y轴于点 、kAB， O半径为5 个单位长度如图甲，若点A 在 x 轴正半轴上，点B 在 y 轴正半轴上，且 OA=OB求 k 的值；若 =4，点P为直线y kxb上的动点， 过点P作 O的切线、，切点分别为、 ，bPC PDC D当 时，求点P的坐标PC PD1，直线 ykx b 将圆周分成两

13、段弧长之比为1 2，求 b 的值（图乙供选用）若 k2yyBPCDxOOAx乙甲【答案】根据题意得：B的坐标为（ 0，b），= =，A的坐标为（， 0），代入OA OB bby kx b 得 k 1.过P作x轴的垂线，垂足为，连结.FOD PC、PD是 O的两条切线， CPD=90°， OPD= OPC= 1 CPD=45°，2学习必备欢迎下载 PDO=90°， POD=OPD45°， ODPD 5 ， OP= 10 . P 在直线 y x 4 上，设 P（ m， m 4），则 OF=m， PF= m 4，222 PFO=90°， OF PFPO，22（102 m ( m 4)） ，解得 m=1 或 3， P 的坐标为（ 1， 3）或（ 3， 1）分两种情形， y 1 x 5 ，或 y 1 x 5 。2424直线 ykx b 将圆周分成