高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.3 平均值不等式一训练 北师大版选修45

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 51.31.3 平均值不等式（一）平均值不等式（一）一、选择题1.若 log4(3a4b)log2ab，则ab的最小值是()a.62 3b.72 3c.64 3d.74 3解析先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得ab0，ab0，3a4b0，所以a0，b0.又 log4(3a4b)log2ab，所以 log4(3a4b)log4ab，所以 3a4bab，故4a3b1.所以ab(ab

3、)4a3b73ab4ba723ab4ba74 3，当且仅当3ab4ba时取等号，故选 d.答案d2.要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()a.80 元b.120 元c.160 元d.240 元解析设底面矩形的一条边长是xm，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积v4 m3，高h1 m，所以底面积s4 m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是4xm， 又设总造价是y元， 则y204102x8x80202x8x160，当

4、且仅当 2x8x，即x2 时取得等号.答案c3.函数ylog2x1x15(x1)的最小值为()a.3b.3c.4d.46 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4

5、 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5解析x1，x10，ylog2x1x15log2x11x16log2(26)log283.答案b4.若a，b，c0 且a(abc)bc423，则 2abc的最小值为()a.31b.31c.232d.232解析a(abc)bc423a(ab)(ab)c(ab)(ac)423.而 2abc(ab)(ac)2（ab） （a

6、c）2423232.当且仅当abac，即bc时等号成立.答案d5.若不等式x22xay22y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是()a.a0b.a1c.a2d.a3解析x22xay22y，对任意实数x、y都成立，则ay22yx22x2(x1)2(y1)2恒成立，而 2(x1)2(y1)22，a2.答案c6.在下列函数中，最小值是 2 的是()a.yx55x(xr r 且x0)b.ylgx1lgx(1x10)c.y3x3x(xr r)d.ysinx1sinx0 x2解析a 中的函数式，x5与5x都不一定是正数，故可排除 a；b 中的函数式，lgx与1lgx都是正数且乘积为定值，运用基本不

7、等式取等号的条件是 lgx1lgx，即x10 与 1x0，3x13x0，运用基本不等式取等号的条件是 3x13x，而x6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4

8、 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 50 成立，故选 c.d 中，0 x1，sinx1sinx.答案c7.若a是 12b与 12b的等比中项，则2ab|a|2|b|的最大值为()a.2 515b.24c.55d.22解析由题意得a2(12b)(12b)14b2.即a24b21.a24b22 4a2b2，得|ab|14且1|ab|4，2ab|a|2|b|

9、4a2b2a24|ab|4b24a2b214|ab|41a2b24|ab|41|ab|224436424.答案b二、填空题8.某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买x吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为_吨.解析每年购买次数为400 x次.所以总费用400 x44x26 400160.当且仅当1 600 x4x，即x20 时等号成立.答案209.若正数a，b满足a2b3，且使不等式12a1bm0 恒成立，则实数m的取值范围是_.解析不等式12a1bm0 恒成立，即 312a1b3m恒成立.又正数a，b满足a2b3，(a2b

10、)12a1b12abba292，当且仅当ab1 时取“”，所以实数m的取值范6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d

11、b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5围是，32 .答案，32三、解答题10.已知a，b(0，)，求证：(ab)1a1b4.证明a0，b0，ab2ab0，当且仅当ab时，取等号.1a1b21ab0，当且仅当1a1b，即ab时取等号.，得(ab)1a1b2ab21ab4，当且仅当ab时，取等号.11.如图所示，将一矩形花坛abcd扩建成一个更大的矩形花坛ampn，要求b在am上，d在an上，且对

12、角线mn过c点，已知|ab|3 米，|ad|2 米.(1)要使矩形ampn的面积大于 32 平方米，则an的长应在什么范围内？(2)当an的长度是多少时，矩形ampn的面积最小？并求最小面积；(3)若an的长度不少于 6 米， 则当an的长度是多少时， 矩形ampn的面积最小？并求出最小面积.解设an的长为x米(x2)，矩形ampn的面积为y.|dn|an|dc|am|，|am|3xx2，s矩形ampn|an|am|3x2x2(x2)(1)由s矩形ampn32 得3x2x232，x2，3x232x640，即(3x8)(x8)0，2x8，即an的长的取值范围是2，83 (8，).6 e d b

13、c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5(2) 令y3x2x23（x2）212（x2）12x2 3(x 2) 12x21223（x2）12x21224，当且仅当 3(x2)12x2，