排队论及其应用

1、排队系统的符号表述描述符号：/ 各符号的意义： 表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M表示到达的过程为泊松过程或负指数分布； D表示定长输入； EK表示K阶爱尔朗分布； G表示一般相互独立的随机分布。表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。表示服务台(员)个数：“1”表示单个服务台，“s”(s>1)表示多个服务台。 表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，则，0<K<，当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。K=时为等待制系统，此时一般省略不写。K为有限整数时，表示为混合制系统。表示顾客源限额，分有限与无限两种，表示顾客

2、源无限，一般也可省略不写。表示服务规则，常用下列符号FCFS：表示先到先服务的排队规则；LCFS：表示后到先服务的排队规则；PR：表示优先权服务的排队规则。二、排队系统的主要数量指标 描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有： 1队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。队长和排队长一般都是随机变量。 2等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。等待时间是个随机变量。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。 3. 忙期和闲期 忙期是指从顾

3、客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。与忙期相对的是闲期,即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。4数量指标的常用记号 (1)主要数量指标L平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数 的期望值；Lq平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值；W平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；Wq平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。(2)其他常用数量指标 s系统中并联服务台的数目； 平均到达

4、率；1平均到达间隔； 平均服务率；1/平均服务时间；N稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）；U任一顾客在稳态系统中的逗留时间；Q任一顾客在稳态系统中的等待时间；服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，般有=(s)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当趋近于0时，表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务台有大量的空闲时间；如服务强度趋近于1，那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。我们一般都假定平均服务率大于平均到达率，即/<1,否则排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。李特尔公式 在系统达到稳态时，假定平均到达率

5、为常数，平均服务时间为常数1/，则有下面的李特尔公式： L= W Lq= Wq W= Wq +1/ L= Lq +/排队系统运行情况的分析 排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标： 系统中顾客数(队长)的期望值L； 排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； 顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W； 顾客排队等待时间的期望值Wq。第三节 MM1模型模型的条件是：1、输入过程顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；2、排队规则单队，且队长没有限制，先到先服务；3、服

6、务机构单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布 。第四节      M / M / S 模型l 此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台，各服务台的工作相互独立，服务率相等，如果顾客到达时，S个服务台都忙着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。l 整个系统的平均服务率为s，*/s，（*<1）为该系统的服务强度。几个连续型分布定长l 定长分布（记为D）若顾客到达间隔时间（或服务时间）为一常量a，此时称输入（服务）分布为定长分布，用T表示此时间，则P(T=a) = 1用分布函数表示有F(t) = P(T£t) =

7、 0 t<a 1 t³al 概率特征：方差为0l 主要应用： 周期性到达事件 定长服务系统（例如ATM网络）几个连续型分布负指数几个连续型分布负指数l 无记忆性 P(T>t+x| T>t) = P(T>x)l 定理1.1负指数分布具有无记忆性.即设T是随机变量,服从负指数分布,参数为l >0,设t,x>0,则P(T>t +x| T>t) = P(T>x) = e-lxl 定理1.2设随机变量T是非负的连续型变量，它的分布具有无记忆性，则T服从负指数分布l 连续型随机变量分布中，只有负指数分布具有无记忆特性几个连续型分布爱尔兰l 定

8、理1.3 爱尔兰分布和负指数分布的关系 设T1,T2,Tk,是独立同负指数分布的随机变量，参数为l，则 T =T1+T2+Tk,服从 k 阶爱尔兰分布l 主要应用 描述多级服务系统 描述平滑（规则）随机事件流 几个离散型分布l 离散时间的排队理论在计算机通讯中有着广泛的应用。因为机械动作是间断的，用离散理论可以得到更精确的结果。l 排队论中常用的最重要的离散分布是几何分布和负二项分布，实际上可以把它们看作是负指数分布、爱尔兰分布离散化而得到的分布，因此它们也应具有负指数分布、爱尔兰分布的类似性质。 几个离散型分布几何l 几何分布可以用来描述某一顾客的到达间隔或服务持续时间 每单位时间执行一次贝

9、努力试验，“失败”则继续，成功则完成 首次“成功”之前需要持续的时间就可以看成是相应的到达间隔或服务持续时间几个离散型分布几何l 定理1.4几何分布具有无记忆性，即P(T>n+m | T>n)=P(T>m)或P( T=n+m | T>n )=P( T=m )l 定理1.5在离散型分布中，几何分布是唯一具有无记忆性的分布 几个离散型分布负二项l 定理1.5负二项分布与几何分布的关系设T1，T2，Tk是独立同几何分布的离散型随机变量，则T=T1+T2+Tk服从负二项分布 （参数为k）二项分布二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生

10、与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。2概念二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用表示随机试验的结果。 二项分布公式如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是应用条件1各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。2已知发生某一结果（阳性）的概率为，其对立结果的概率为1-，实际工作中要求是从大

11、量观察中获得比较稳定的数值。二项分布公式3n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。泊松分布1命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以1819 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族的

12、一个人描述过。就像当代科学史专家斯蒂芬·施蒂格勒（Stephen Stigler）所说的误称定律（the Law of Misonomy），数学中根本没有以其发明者命名的东西。2分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布的期望和方差均为 特征函数为 3关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中为np。通常当n10,p0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。

13、4应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P()。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。5应用示例泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。1 观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：称为泊松分布。例如采用0.05J/紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因