实验一极限与微分

1、实验一实验一 函数极限和微分运算的函数极限和微分运算的MATLABMATLAB实现实现一、实验目的一、实验目的p熟悉熟悉MATLAB软件中关于极限和微分运算的基本软件中关于极限和微分运算的基本命令，掌握利用命令，掌握利用MATLAB软件进行求极限和微分软件进行求极限和微分运算的方法运算的方法。二、相关知识二、相关知识p在高等数学中，我们曾经学习了求函数的极限和微在高等数学中，我们曾经学习了求函数的极限和微分的运算，那时我们根据微积分的原理，学习了一分的运算，那时我们根据微积分的原理，学习了一整套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在整套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在我们尝试用软件来

2、解决这样的问题。我们尝试用软件来解决这样的问题。p在在MATLAB中，常用的初等函数表示方法如下：中，常用的初等函数表示方法如下： 函数名函数名功能功能MATLABMATLAB命令命令幂函数幂函数求求x x的的a a次幂次幂xaxa求求x x的平方根的平方根sqrt(x)sqrt(x)指数函数指数函数求求a a的的x x次幂次幂axax求求e e的的x x次幂次幂exp(x)exp(x) 函数名函数名功能功能MATLABMATLAB命令命令幂函数幂函数求求x x的的a a次幂次幂xaxa求求x x的平方根的平方根sqrt(x)sqrt(x)指数函数指数函数求求a a的的x x次幂次幂axax求

3、求e e的的x x次幂次幂exp(x)exp(x)对数函数对数函数求求x x的自然对数的自然对数log(x)log(x)求求x x的以的以2 2为底的对数为底的对数log2(x)log2(x)求求x x的以的以1010为底的对数为底的对数log10(x)log10(x)对数函数对数函数求求x x的自然对数的自然对数log(x)log(x)求求x x的以的以2 2为底的对数为底的对数log2(x)log2(x)求求x x的以的以1010为底的对数为底的对数log10(x)log10(x)三角函数三角函数正弦函数正弦函数sin(x)sin(x)余弦函数余弦函数cos(x)cos(x)正切函数正切函

4、数tan(x)tan(x)余切函数余切函数cot(x)cot(x)正割函数正割函数sec(x)sec(x)余割函数余割函数csc(x)csc(x)三角函数三角函数余弦函数余弦函数cos(x)cos(x)正切函数正切函数tan(x)tan(x)余切函数余切函数cot(x)cot(x)正割函数正割函数sec(x)sec(x)余割函数余割函数csc(x)csc(x)反三角函数反三角函数反正弦函数反正弦函数asin(x)asin(x)反余弦函数反余弦函数acos(x)acos(x)反正切函数反正切函数atan(x)atan(x)反三角函数反三角函数反正弦函数反正弦函数asin(x)asin(x)反余弦

5、函数反余弦函数acos(x)acos(x)反正切函数反正切函数atan(x)atan(x)反余切函数反余切函数acot(x)acot(x)反正割函数反正割函数asec(x)asec(x)反余割函数反余割函数acsc(x)acsc(x)绝对值函数绝对值函数求求x x的绝对值的绝对值abs(x)abs(x)pMATLAB提供的命令函数提供的命令函数limit()可以完成极限运算，可以完成极限运算，其调用格式如下：其调用格式如下：p limit(F,x,a,left)p该命令对表达式该命令对表达式F求极限，独立变量求极限，独立变量x从左边趋于从左边趋于a，函数中除函数中除F外的参数均可省略，外的参数

6、均可省略，left可换可换成成right。举例如下：。举例如下： 反三角函数反三角函数反正割函数反正割函数asec(x)asec(x)反余割函数反余割函数acsc(x)acsc(x)绝对值函数绝对值函数求求x x的绝对值的绝对值abs(x)abs(x)pMATLAB提供的命令函数提供的命令函数limit()可以完成极限运算，可以完成极限运算，其调用格式如下：其调用格式如下：p limit(F,x,a,left)p该命令对表达式该命令对表达式F求极限，独立变量求极限，独立变量x从左边趋于从左边趋于a，函数中除函数中除F外的参数均可省略，外的参数均可省略，left可换可换成成right。举例如下：

7、。举例如下： p例例1：求极限：求极限 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear pF=sym(1+a/x)x) plimit(F,x,inf,left)xxxaS)1 (limp结果为结果为exp(a)。其中，语句。其中，语句F=sym(1+a/x)x)表示表示定义符号表达式定义符号表达式p也也可用以下的语句来完成：可用以下的语句来完成：p例例1：求极限：求极限 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear pF=sym(1+a/x)x) plimit(F,x,inf,left)xxxaS)1 (limxxa1p结果为结果为exp(a)。其中，语句。其中，

8、语句F=sym(1+a/x)x)表示表示定义符号表达式定义符号表达式p也也可用以下的语句来完成：可用以下的语句来完成：pclear;psyms x %这里是把这里是把x先说明成符号。先说明成符号。pF=(1+a/x)x %这里的定义形式和前面不同。这里的定义形式和前面不同。plimit(F, x, inf, left) %这里的这里的x本身就是符号，因本身就是符号，因 p 此不需要单引号。此不需要单引号。xxa1p例例2 求极限求极限 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclearpsyms x apclear;psyms x %这里是把这里是把x先说明成符号。先说明成符号。pF

9、=(1+a/x)x %这里的定义形式和前面不同。这里的定义形式和前面不同。plimit(F, x, inf, left) %这里的这里的x本身就是符号，因本身就是符号，因 p 此不需要单引号。此不需要单引号。tantanlim(0)2xxxp例例2 求极限求极限 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclearpsyms x apF=(tan(x)-tan(a)/(x-a)plimit(F,x,a)p结果为：结果为：1+tan(a)2 tantanlim(0)2xxxp例例3 求极限求极限 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclearpsyms xpF=(tan(x

10、)-tan(a)/(x-a)plimit(F,x,a)p结果为：结果为：1+tan(a)2 32322lim2xxxp例例3 求极限求极限 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclearpsyms xpF=(3*x+2)(1/3)-2)/(x-2)plimit(F)p结果为：结果为：-1/2*2(1/3)+1 32322lim2xxxp例例4 求极限求极限 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclearpsyms npF=(3*x+2)(1/3)-2)/(x-2)plimit(F)p结果为：结果为：-1/2*2(1/3)+1 21lim12xnnnp例例4 求极限求

11、极限 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclearpsyms npF=n*(1-sqrt(2*n-1)/(2*n)plimit(F,n,inf)p结果为：结果为：1/4 p从这几个例子，我们看到，从这几个例子，我们看到，MATLAB可以求出各可以求出各种类型的极限。种类型的极限。21lim12xnnnpMATLAB提供的函数提供的函数diff()可以完成对给定函数求可以完成对给定函数求导函数的运算，其调用格式如下：导函数的运算，其调用格式如下： diff(fun,x,n)p其意义是求函数其意义是求函数fun关于变量关于变量x的的n阶导数，阶导数，n为为1时时可省略。这里的可省略

12、。这里的fun用上例的后一种方式来定义较用上例的后一种方式来定义较为妥当。我们看下面的例：为妥当。我们看下面的例： pF=n*(1-sqrt(2*n-1)/(2*n)plimit(F,n,inf)p结果为：结果为：1/4 p从这几个例子，我们看到，从这几个例子，我们看到，MATLAB可以求出各可以求出各种类型的极限。种类型的极限。pMATLAB提供的函数提供的函数diff()可以完成对给定函数求可以完成对给定函数求导函数的运算，其调用格式如下：导函数的运算，其调用格式如下： diff(fun,x,n)p其意义是求函数其意义是求函数fun关于变量关于变量x的的n阶导数，阶导数，n为为1时时可省略

13、。这里的可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较用上例的后一种方式来定义较为妥当。我们看下面的例：为妥当。我们看下面的例： p例例5：求函数：求函数 的一阶和三阶导数。的一阶和三阶导数。2ln1xyxp解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear;psyms xpy=log(x+2)/(1-x);pdy=diff(y,x)p为妥当。我们看下面的例：为妥当。我们看下面的例： p例例5：求函数：求函数 的一阶和三阶导数。的一阶和三阶导数。2ln1xyxp解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear;psyms xpy=log(x+2)/(1-x);pdy=diff(y

14、,x)pdy3=diff(y,x,3)ppretty(dy3)p这里用到的另一个函数：这里用到的另一个函数：pretty()，其功能是使它，其功能是使它作用的表达式更符合数学上的书写习惯。作用的表达式更符合数学上的书写习惯。 p例例6 设设 ，求，求 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear;psyms xpdy3=diff(y,x,3)ppretty(dy3)p这里用到的另一个函数：这里用到的另一个函数：pretty()，其功能是使它，其功能是使它作用的表达式更符合数学上的书写习惯。作用的表达式更符合数学上的书写习惯。 p例例6 设设 ，求，求 。p解：可用以下程序完成：

15、解：可用以下程序完成：pclear;psyms xpy=log(1/x/x+exp(1/x)+arctan(1-x*x);pdy=diff(y,x)p结果为：结果为：(-2/x3-1/x2*exp(1/x)/(1/x2+exp(1/x)-2*x/(1+(-1+x2)2) 1221ln()arctan(1)xyexxdydxp例例7 设设 ，求，求 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear;psyms xpy=log(1/x/x+exp(1/x)+arctan(1-x*x);pdy=diff(y,x)p结果为：结果为：(-2/x3-1/x2*exp(1/x)/(1/x2+ex

16、p(1/x)-2*x/(1+(-1+x2)2) 31arctan(2)ln1xyxxdydxp例例7 设设 ，求，求 。p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear;psyms xpy=arctan(x*x*x+2)+log(sqrt(x-1)/(x+1);pdy=diff(y,x)p结果为：结果为：3*x2/(1+(x3+2)2)+1/2/(x-1)*(x+1)*(1/(x+1)-(x-1)/(x+1)2)31arctan(2)ln1xyxxdydxp例例8 设设 ，求，求 p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear;psyms xpy=arctan(x*x*x

17、+2)+log(sqrt(x-1)/(x+1);pdy=diff(y,x)p结果为：结果为：3*x2/(1+(x3+2)2)+1/2/(x-1)*(x+1)*(1/(x+1)-(x-1)/(x+1)2)22(sin )xxyx ex22d ydxp例例8 设设 ，求，求 p解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：pclear;psyms xpy=x*x*exp(-x)+(sin(x)(2*x)pdy=diff(y,x,2)p结果为：结果为：pdy=2*exp(-x)-4*x*exp(-x)+x2*exp(-x)p+sin(x)(2*x)*(2*log(sin(x)+2*x*cos(x)/s

18、in(x)2p+sin(x)(2*x)p *(4*cos(x)/sin(x)-2*x-2*x*cos(x)2/sin(x)2) 22(sin )xxyx ex22d ydx三、实验内容三、实验内容 p1求下列极限，将完成实验的程序写到文件求下列极限，将完成实验的程序写到文件sy31.m中：中： 1） 2） 3） 4） 5） xxFxarctanlim10 xxxxF1011lim220sin)1ln(lim3xxxFxarctan4limxxFx31115lim()11xFxx1.求极限clearsyms x f1=atan(x)/x;f2=(1+x)/(1-x)(1/x);f3=x*log(1+x)/sin(x2);f4=atan(x)/x;f5=1/(1-x)-1/(1-x3);F1=limit(f1,x,0)F2=limit(f2,x,0)F3=limit(f3,x,0)F4=limit(f4,x,inf)F5=limit(f5,x,1)运行结果：F1=1；F2=exp(2)；F3=1；F4=0；F5=NaN(无穷大)p2求下列函数的导数，将完成实验的程序写到文求下列函数的导数，将完成实验的程序写到文件件sy32.m中：中：p1） p2） p3）p4） ，计算，计算 p5） ，计算，计算p3完成实