戴蒙德OLG模型

1、戴蒙德模型戴蒙德模型1、假定、假定与拉姆赛模型不同，戴蒙德模型假定人口是不与拉姆赛模型不同，戴蒙德模型假定人口是不断新老交替的，没有数量不变的长生不老的家断新老交替的，没有数量不变的长生不老的家庭。庭。为简化分析，假定时间为离散而非连续的，这为简化分析，假定时间为离散而非连续的，这意味着模型中的意味着模型中的t不是大于等于不是大于等于0的所有值，而的所有值，而是是t=0,1,2.。进一步的，一个人仅存在两期。进一步的，一个人仅存在两期。假定假定Lt个人在个人在t期出生，人口增长率为期出生，人口增长率为n，则则Lt =(1+n) Lt-1在在t期，有期，有Lt个人处于其寿命的第一期，个人处于其寿

2、命的第一期， Lt-1= Lt /(1+n)个人处于寿命的第二期，每个人在第个人处于寿命的第二期，每个人在第一期将劳动收入用于第一期的消费和储蓄，在一期将劳动收入用于第一期的消费和储蓄，在第二期，个人仅消费上期的储蓄和从储蓄中得第二期，个人仅消费上期的储蓄和从储蓄中得到的利息。到的利息。第二期消费的权数为正这一假定保证了，函数，则对回避系数不变的效用假定效用函数为风险相，我们仍然和取决于期出生的人，其效用一个费，因此其年轻人和老年人的消分别表示和令11, 0111111211121121ttttttttCCUCCUttCC拥有。，它由所有老年人平均初始资本存量为工资和真实利率分别为每单位有效劳

3、动的平均增长，从而以外生数率，数样。每个厂商的生产函对生产的假定与以前一01)()()()1 ()(KkfrkfkkfwAgAgALAKFYtttttttttttt。乘以每一年轻人的储蓄量期的年轻人数等于期的资本存量带入下一期，因此蓄分为消费和储蓄，将储动收入退出模型，年轻人把劳他们死亡并收入和现有财富，然后老年人同时消费其资本其边际产品资本和劳动的报酬都是被结合起来用于生产，和年轻人拥有的劳动期，老年人拥有的资本因此在tttttttCAwLtKtAw11102、家庭行为、家庭行为考虑一个考虑一个t期出生的人，其第二期的消费为期出生的人，其第二期的消费为赛模型中的欧拉方程。，这个方程类似于拉姆

4、，整理得，一阶条件为们构造拉格朗日函数为实现效用最大化，我现值。在此约束下，）加上一生劳动收入的（此处为费的现值等于初始财富这一条件表明，一生消/11112112112111121112111112)11(1111)11(1111011)(1 (tttttttttttttttttttttttrCCrCCCrCwACCLwACrCCAwrC上式表明，一个人的消费随着时间是递上式表明，一个人的消费随着时间是递增还是递减，取决于真实报酬率是大于增还是递减，取决于真实报酬率是大于还是小于贴现率。还是小于贴现率。仍然决定着个人的消仍然决定着个人的消费对费对r与与之差的反应程度有多大。之差的反应程度有多大

5、。tttttttttttttwArsCrrrsrswArCwACrC)(1 ()1 ()1 ()1 ()()(1)1 ()1 ()1 ()1 ()1 (11/ )1(/1/ )1(/ )1(1/1/111/1/ )1(11因此上式可以写成比例，则上式可表述为表示收入中用于储蓄的用期消费的比例。收入中用于第上式表明，利率决定了递减。随着，则递增，如果随着则，。因此如果得导数为对递增。年轻人的储蓄才会随着递增时，随着当且仅当表明，表达式有关收入中储蓄比例的rsrsrrrrrrrs11)1)(/)1()1 ()1 ()(/ )21(/ )1(/ )1(直观地讲，r的上升同时具有收入效应和替代效应，这

6、时两期消费之间的替代更有利于第二期消费，这一情况会增加储蓄（替代效应）。但是一定量储蓄能够带来更多第二期消费，这一情况会降低储蓄（收入效应）。如果个人很愿意在两期消费之间进行替代以利用报酬率的刺激（较低时），则替代效应占优。如果个人强烈偏好两期有相同的效应水平（ 较高时），则收入效应占优。在等于1时（对数效用），收入和替代效用相同，年起人的储蓄率与r无关。3、经济的动态学、经济的动态学k的变动方程的变动方程)()()()1)(1(1)()1)(1(1)(111111ttttttttttttkfkkfkfsgnwrsgnkwALrsKtt因此期年轻人的储蓄额，期的资本存量就是k的变化的变化对数效

7、用与科布对数效用与科布-道格拉斯生产函数道格拉斯生产函数tttDkkgnkkwkkfDCrrrs)1 (21)1)(1(1)1 ()()2/(1)1 ()1 ()1 ()(11/ )1(/1/ )1(，因此，则函数，。如果生产函数为比例为劳动收入中用于储蓄的，根据等于如果k0k1ktk1k*k*Kt+1k的动态学上图把上图把kt+1表示为表示为kt的函数，的函数，45度线表示二者相度线表示二者相等，除了等，除了kt等于等于0外，外，k有唯一的均衡水平，用有唯一的均衡水平，用k*表示。表示。k*是稳定的，不管是稳定的，不管k从何地开始，他都收敛于从何地开始，他都收敛于k* 。一旦经济收敛于平衡增

8、长路径，其特性就与处一旦经济收敛于平衡增长路径，其特性就与处于平衡增长路径上的索罗模型和拉姆赛模型相于平衡增长路径上的索罗模型和拉姆赛模型相同：储蓄率不变，每工人平均产量以速率同：储蓄率不变，每工人平均产量以速率g增增长，资本产量比不变等。长，资本产量比不变等。如果贴现率下降，使得年轻人将其劳动收入的如果贴现率下降，使得年轻人将其劳动收入的更大比例用于储蓄，由此更大比例用于储蓄，由此kt+1函数向上移动，函数向上移动，这使得平衡增长路径上的这使得平衡增长路径上的k值增大。值增大。因此在我们考虑的情形下，戴蒙德模型中贴现因此在我们考虑的情形下，戴蒙德模型中贴现率下降的影响与拉姆赛模型中贴现率的下

9、降的率下降的影响与拉姆赛模型中贴现率的下降的影响是一致的。也与索罗模型中储蓄率上升的影响是一致的。也与索罗模型中储蓄率上升的影响相同。贴现率的下降时的每工人平均资本影响相同。贴现率的下降时的每工人平均资本和平均产量随时间路径永久性上升，但是对这和平均产量随时间路径永久性上升，但是对这些变量的增长率却只造成暂时性增加。些变量的增长率却只造成暂时性增加。k0k1ktk1k*旧k*Kt+1贴现率下降的影响k*新一般情形下一般情形下k的变动的变动将将k的变动方程改为下面的形式：的变动方程改为下面的形式：)()()()()()1)(1(111tttttttkfkfkfkkfkfsgnk上述方程把上述方程

10、把t+1期每单位有效劳动的平均期每单位有效劳动的平均资本表述为四项之积：从右向左分别是资本表述为四项之积：从右向左分别是每单位有效劳动的平均产量、产量中劳每单位有效劳动的平均产量、产量中劳动报酬所占比例、劳动收入中储蓄所占动报酬所占比例、劳动收入中储蓄所占比例以及比例以及t期有效劳动的数量与期有效劳动的数量与t+1期有效期有效劳动的数量之比。劳动的数量之比。下图给出了下图给出了kt+1和和kt之间关系的几种可能之间关系的几种可能形式，这些形式与形式，这些形式与C-D函数形式的情形函数形式的情形不同。不同。abcdk1k2k3k1k2k1k2上图中的上图中的a图中，有多个均衡图中，有多个均衡k值

11、，但是只有值，但是只有k1和和k3是是稳定的，稳定的，k2不稳定，在不稳定，在k2的左边，的左边，k收敛于收敛于k1 ，在，在k2右右边，边，k收敛于收敛于k3。图图b中，中， kt+1永远小于永远小于kt ，因而无论，因而无论k的初始值如何，的初始值如何，k都将收敛于都将收敛于0。要使这种情况出现，要么产量中的劳动。要使这种情况出现，要么产量中的劳动收入所占比例趋于收入所占比例趋于0，要么劳动收入中的储蓄比例趋于，要么劳动收入中的储蓄比例趋于0，或者二者同时出现。，或者二者同时出现。图图c中，如果中，如果k的初始值足够低，则的初始值足够低，则k收敛于收敛于0，如果，如果k的的初始值足够高，则

12、初始值足够高，则k收敛于一个严格正值。收敛于一个严格正值。图图d中，中， kt+1并非唯一地由并非唯一地由kt决定，当决定，当k介于介于k1 k2之间时，之间时，有三个可能：如果储蓄使利率的减函数，则会出现这有三个可能：如果储蓄使利率的减函数，则会出现这种情况。如果个人预期种情况。如果个人预期kt+1值较高并因此预期值较高并因此预期r较低，较低，则储蓄会较高，如果个人预期则储蓄会较高，如果个人预期kt+1较低，则储蓄会较低。较低，则储蓄会较低。如果储蓄对利率反应敏感，且如果储蓄对利率反应敏感，且r对对k反应敏感，那么可反应敏感，那么可能有一个以上的能有一个以上的kt+1与一个给定的与一个给定的

13、kt对应，因此该经济对应，因此该经济的路径是未定的。的路径是未定的。因此假定世代交叠而非长生不老的家庭因此假定世代交叠而非长生不老的家庭存在着，就可能有重要的意义：比如持存在着，就可能有重要的意义：比如持续的经济增长可能无法实现，或者它可续的经济增长可能无法实现，或者它可能取决于初始条件的状态。能取决于初始条件的状态。同时戴蒙德模型没有比索罗模型和拉姆同时戴蒙德模型没有比索罗模型和拉姆塞模型更好的回答增长的基本问题。塞模型更好的回答增长的基本问题。4、动态无效率的可能性、动态无效率的可能性戴蒙德模型与拉姆塞模型的重要区别在于社会戴蒙德模型与拉姆塞模型的重要区别在于社会福利状态是否实现了帕雷托最

14、优。福利状态是否实现了帕雷托最优。在戴蒙德模型中，出生于不同时期的个人达到在戴蒙德模型中，出生于不同时期的个人达到的效用水平不同，因此评价社会福利的合适方的效用水平不同，因此评价社会福利的合适方式在模型中是不明确的，若把福利设定为各个式在模型中是不明确的，若把福利设定为各个时代效用的某种加权和，那么就没有理由期待时代效用的某种加权和，那么就没有理由期待分散化均衡最大化福利，因为我们赋予各个时分散化均衡最大化福利，因为我们赋予各个时代的权数是任意的。代的权数是任意的。戴蒙德模型甚至不必实现帕雷托最优，处于平戴蒙德模型甚至不必实现帕雷托最优，处于平衡增长路径上的资本存量甚至可以大于黄金分衡增长路径

15、上的资本存量甚至可以大于黄金分割率水平下的资本存量，因而消费的永久性增割率水平下的资本存量，因而消费的永久性增长是可能的。长是可能的。假定效用函数为对数型，生产函数为假定效用函数为对数型，生产函数为C-D函数，函数，g=0，则则下的资本存量。存量大于黄金分割率平衡增长路径上的资本，这意味着足够小，则若，特别是可能大于或小于给定，黄金分割率资本存量由为资本的边际产品)()()()()()2)(1(1)()1(2111(1)1/(1GRGRGRkfkfkfkfnkfnkfknk为弄清楚在平衡增长路径上的资本存量为弄清楚在平衡增长路径上的资本存量大于黄金分割率下的资本存量水平会导大于黄金分割率下的资

16、本存量水平会导致无效率，设想在戴蒙德模型中引入计致无效率，设想在戴蒙德模型中引入计划者，该经济处于划者，该经济处于k*大于大于kGR的平衡增长的平衡增长路径上。路径上。如果计划者没有做出改变如果计划者没有做出改变k的行动，则每的行动，则每个工人平均产量中可用于消费的部分为个工人平均产量中可用于消费的部分为产量产量f(k*)减去将减去将k维持在所需的新的投资维持在所需的新的投资 n k* ，如下图中的如下图中的X虚线表示的状态。虚线表示的状态。X（k保持在k*kGR）tt0每工人总消费Y在t将k降至kGR将将k降至黄金分割率水平如何影降至黄金分割率水平如何影响每工人平均消费的路径响每工人平均消费

17、的路径假定在假定在t0期，计划者将资源更多用于消费，储期，计划者将资源更多用于消费，储蓄减少，使得下一期的每工人资本存量为蓄减少，使得下一期的每工人资本存量为kGR，此后该计划者一直将资本存量保持在此后该计划者一直将资本存量保持在kGR，在在t0 期，每工人用于消费的资源为期，每工人用于消费的资源为f(k*)+(k* -kGR)-n kGR ，在随后的每一期，每工人平均产量中用在随后的每一期，每工人平均产量中用于消费的部分为于消费的部分为f(kGR)-n kGR。由于由于kGR最大化最大化 f(k)-nk，所以所以f(kGR)-n kGR f(k*)-n k* 。且由且由于于k*kGR，所以，

18、所以，f(k*)+(k* - kGR )-n kGR 甚至甚至比比f(k* )-n k* 要更大一些。在此政策下的总消要更大一些。在此政策下的总消费路径在上图中由费路径在上图中由Y线表示。与维持线表示。与维持k= k*的政的政策相比，这一政策使得在每一期有更多的资源策相比，这一政策使得在每一期有更多的资源可用于消费。既是如此，计划者每一期均在年可用于消费。既是如此，计划者每一期均在年轻人和老年人之间配置消费品以使每个世代的轻人和老年人之间配置消费品以使每个世代的境况都比上个世代要好就必然是可能的。境况都比上个世代要好就必然是可能的。因此戴蒙德模型的均衡可以是帕雷托无效率的。因此戴蒙德模型的均衡

19、可以是帕雷托无效率的。原因在于，世代的无限性使计划者拥有一条满足原因在于，世代的无限性使计划者拥有一条满足老年人消费的路径，而这条路经通过市场是得不老年人消费的路径，而这条路经通过市场是得不到的。在市场经济中，一个人要想在年老时消费，到的。在市场经济中，一个人要想在年老时消费，唯一的选择是持有资本，即使资本报酬率较低。唯一的选择是持有资本，即使资本报酬率较低。然而计划者无须使老年人的消费取决于其资本存然而计划者无须使老年人的消费取决于其资本存量及资本报酬率。相反，计划者可以任何方式将量及资本报酬率。相反，计划者可以任何方式将消费的资源在年轻人和老年人之间分配。比如计消费的资源在年轻人和老年人之间分配。比如计划者可以从年轻人那里拿走一单位的劳动收入并划者可以从年轻人那里拿走一单位的劳动收入并将其转移给老年人。若不希望有人因为这一变化将其转移给老年人。若不希望有人因为这一变化而境况变坏，计划者可以要求下一代年轻人在下而境况变坏，计划者可以要求下一代年轻人在下一期做同样的事情，并每期进行同一过程。一期做同样的事情，并每期进行同一过程。由于这种无效率与传统的无效率来源不同，且来由于这种无效率与传统的无效率来源不同，且来源于经济的跨期结构