第3章_弹性地基梁理论

1、第第3 3章章 弹性地基梁理论弹性地基梁理论u 概述u 弹性地基梁的计算模型u 弹性地基梁挠度曲线微分方程式及其初参数解u 弹性地基短梁、长梁及刚性梁3.1 概述概述l 弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。l 弹性地基梁与普通梁的区别弹性地基梁与普通梁的区别p普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基梁是无穷多次超静定结构。p普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。3.2 弹性地基梁的

2、计算模型弹性地基梁的计算模型l 局部弹性地基模型局部弹性地基模型p 温克尔假设温克尔假设：kpy p 把地基模拟为刚性把地基模拟为刚性支座上一系列独立支座上一系列独立的弹簧。的弹簧。p 缺点缺点：局部弹性地基模型没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。l 半无限体弹性地基模型半无限体弹性地基模型弹性地基梁的受力和变形p 假设假设把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体。p 优点优点反映了地基的连续整体性，同时从几何上、物理上对地基进行了简化。p 缺点缺点 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； 均质假设没有反

3、映土壤的不均匀性； 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； 数学处理上比较复杂。3.3 弹性地基梁挠度曲线微分弹性地基梁挠度曲线微分方程式及其初参数解方程式及其初参数解l基本假定基本假定p地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；p由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；p地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。l弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的微元分析0 Y)(xqkydxdQ 0 AMdxd

4、MQ 考察 微段的平衡有：化简得：省略二阶微量化简得：合并二式得：)(xqkydxMd 22dxdy 22dxydEIdxdEIM 33dxydEIdxdMQ 根据材料力学有：代入化简得到挠曲微分方程：)(xqkydxydEI 44l对应齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解044 kydxydEI0 )(xq令挠曲微分方程中 ，得到对应齐次微分方程： xAxAexAxAeyaxax sincossincos4321 axshaxBaxshaBaxchaxBaxchaxBysincossincos4321 )(),()(),(42421332221121212121BBABBABBABBA

5、且令：通解为：利用双曲函数关系：shaxchaxeshaxchaxeaxax ,得到另一通解：l初参数解初参数解p初参数法初参数法)sincos()cossin(sincossincosaxshaxaxchaxBaxshaxaxchaxBaaxshaxBaxshaxBaxchaxBaxchaxBy 214321 )sincos()cossin(axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxBEIQ 2132 )sincos()cossin(axchaxaxshaxBaxchaxaxshaxB 43)cossincossin(axchaxBaxchaxBaxshaxBaxshaxBEIM43

6、2122 )cossin()sincos(axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxB 43把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。意义来寻求简化计算的途径。p用初参数表示积分常数用初参数表示积分常数弹性地基梁作用的初参数00000000QQMMyyxxxx 梁左端边界条件：02403030302012141214121MEIBQEIBQEIByB 得到积分常数： 44EIkb 其中：1040320202010430320320430104040320201022214222221 QMbkbky

7、QQMbkbkyMbkQbkMybkQbkMyy 用初参数表示的齐次微分方程的解：axshaxaxchaxaxshaxaxshaxaxchaxaxchaxcossinsincossincos 4321 其中：微分关系为：12412 dddd34232 dddd弹性地基梁已知初参数 A端边界条件 待求初参数自由端M0=0Q0=0M0=-mQ0=-P1MA=0QA=0MA=0QA=P20y00y0简支端M0=0y0=0M0=m1y0=0MA=0yA=0MA=m2yA=00Q00Q0实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值固定端0=0y0=00=0y0=0A=0yA=0A=0yA=0M0Q

8、0M0Q0弹性固定端y0=0yA=00=M00M0Q0l弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解p集中荷载作用下的特解项集中荷载作用下的特解项集中力作用于地基梁a.a. 集中力集中力Pi作用下的特解项作用下的特解项OA和AB段挠曲微分方程分别为：04042442414414 ydxydydxyd 2214032020101 bkQbkMyy- Pyyy 12)()()()(pApApApApxxbkQxxbkMxxxxyy 413212111221iAAAApQMy 11110, 04444 PPydxyd 由A点的变形连续条件和受力情况有：当 时，特解项为零。pxx

9、)()()()(ppppxxiPxxiPxxiPxxiPPQPMbkPbkPy- 12324212 pxx当 时，b.b. 集中力偶集中力偶Mi作用下的特解项作用下的特解项集中力偶作用于地基梁 mxximxximxximxxmxxmQmMbkmbkmymmmm- )()()()( 41233222mxx 当 时，取特解项为零。p分布荷载作用下的特解项分布荷载作用下的特解项分布荷载作用于地基梁分布荷载可分解成多个集中力，分布荷载可分解成多个集中力，按集中力求解特项。按集中力求解特项。 xxdubkaqyauxq)( - 4荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为：)(uxybkaqdud- 42 x

10、截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：a.a. 均布荷载均布荷载 )()()()(aaaaxxqxxqxxqxxqqQqMbkbkqy- 222412221baxxx 荷载均布与ab段,xxa（积分限（积分限 ） )()()()()()()()(ababababxxxxqxxxxqxxxxqxxxxqqQqMbkbkqy- 223324411222bxx ,baxx（积分限（积分限 ） 当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有： 232412221 qQqMbkbkqyqqqq-b.b. 三角形分布荷载三角形分布荷载三角形荷载作用于地基梁qxxxuqabau -xxuxuqadubkqy )(

11、 4微段上荷载引起的挠度附加项为： )()()()()()(aaaaxxabqxxabqxxabqxxaabqxxqQxxqMbkxxqxxxxkqy- 32231221411121 baxxx 当 时，积分限是 ，,xxa )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(abbabbabbabbxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxqQxxxxqMxxxxkqxxxxkqy 33244321142212122122121-bxx 当 时，积分限是 ，,baxx 32431224121 lqQlqMkbl

12、qxkblqyqqqq-当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：c.c. 梁全跨布满梯形荷载的特解项梁全跨布满梯形荷载的特解项梯形荷载作用于地基梁只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加即可。 23241324312222124121 qQqMbkbkqylqQlqMkblqxkblqyqqqqqqqq-p 共同作用下挠曲微分方程的通解共同作用下挠曲微分方程的通解qqMpQMyii 、0000 综合荷载作用于地基梁302201022 bkMyy)()(21211 -xbklqbkq )()(mpxxixxibkmbkPbkQ- 324402 302203104022 bkQbkMy)(1

13、412 - bklqbkq)()(mpxxixxibkmpbk- 233222 )(pxxiPQMbkbkyM- 220104303202242 433242 lqqmmxxii)( -)(pxxiPQMbkbkyQ- 110403202022 322422 lqqmmxxi)( -当 时， 项取值为零。mbxxxx ,iimp ,3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁弹性地基短梁、长梁及刚性梁l弹性地基梁的分类弹性地基梁的分类（a）短梁 （b）无限长梁 （c）半无限长梁 （d）刚性梁换算长度换算长度al l长梁的计算长梁的计算p无限长梁作用集中力无限长梁作用集中力Pi的计算的计算无限长梁作用集中

14、力的计算采用梁挠曲方程齐次解式，即：)sincos()sincos(axAaxAeaxAaxAeyaxax4321 0 xy由 有：021 AA由对称条件 有：0 xdxdy AAA 43考虑地基反力与外载的平衡条件：iaxPdxaxaxekbA )sin(cos02kbaPAi2 化简得到：其中：)sin(cosaxaxekbaPyaxi 2无限梁右半部分有：65827242 iiiiPQPMkbPkbPy 其中：axeaxaxeaxeaxaxeaxaxaxaxsin)sin(coscos)sin(cos 8765 对于梁的左半部分，只需将式中 和 改变负号即可。Q p无限长梁在集中力偶无限

15、长梁在集中力偶mi作用下作用下的计算的计算无限长梁作用集中力偶的计算2000ixxmMy 反对称条件：0321 AAAbkmAi24 代入齐次微分方程通解得：无限长梁右半部分的变形及内力为：76538222 iiiimQmMkbmkbmy 对于左半部分，只需将上式中y与M变号即可。p半无限长梁半无限长梁作用初参数作用初参数的计算的计算半无限长梁作用的初参数0 xyaxshaxBaxshaBaxchaxBaxchaxBysincossincos4321 将 代入：得到：004231 shaxBchaxBshaxBchaxB0000QQMMxx ,再由：20220301222 EIMBEIMEIQ

16、B 得到：如梁端作用有初参数 ,则可得到 与 之间的关系：00 ,y00 ,y00QM ,80507080607025060221222 MQQMQMMQkMQbky )()()(最终有：)()(0020000222MQbkMQbky p半无限长梁在梯形荷载半无限长梁在梯形荷载作用下作用下的计算的计算000 QMbklqqbklxbkqy 故任一截面的变形与内力为：bkxqy)( 是齐次微分方程的一个特解。)(xqkydxydEI 44梯形荷载作用于半无限长梁l刚性梁的计算刚性梁的计算xqqxkxxkyQxqqxxkxkyMxyy 22162621020323020000 刚性梁的计算按静定梁

17、的平衡条件，得到刚性梁的变形与内力为：3.5 算例算例两端自由的弹性地基梁，长 ，宽 ， ，地基的弹性压缩系数 ，求梁1、2、3截面的弯矩m4 mb20. 23101333mNEI 341004mkNK/. p例子例子1 1(1)(1)判断梁的类型判断梁的类型)/(.mEIbk11067144 考虑Pi集中载距右端为1m， 故属于短梁。752. (2)(2)计算初参数计算初参数梁左端条件：梁右端条件：0000 QM00 QM 022202242022231302200333232403302 )()()()()()()()()()( qpbkybkQqpbkybkMii代入共同作用下挠曲微分方

18、程的通解得：将各数值代入后得：041299291304160104927810343322380000 . yy解得：)(.)(.radm)()()()()()(33232403323022013212403123021242266242 ipbkybkMmNqbkybkM号号号号）（3 3）计算各截面的弯矩）计算各截面的弯矩)()()(34242403423023242 ipbkybkM号号 ）（mNq 813520332332)()( 020432432 )()( q长度及弹性特征系数，作用荷载如图，如果 和 均 ，求i截面的p例子例子2 2DACE752. 。和和、iiiiQMy （1）由于故为无限长梁。752. DA752. CE（2）求出每一荷载单独作用下地基梁的内力和变形，