第5章系统的稳定性

1、机械工程控制基础机械工程控制基础第五章第五章 系统的稳定性系统的稳定性20212021年年1111月月以上定义只适用于线性定以上定义只适用于线性定常系统。常系统。FFmabcde单摆系统稳定倒摆系统不稳定结论：结论：1)系统是否稳定，系统是否稳定，取决于系统本身（结构和参数），取决于系统本身（结构和参数），与输入无关。与输入无关。2)不稳定现象的存在是由于反馈作用。不稳定现象的存在是由于反馈作用。3)稳定性是指自由响应的收敛性。稳定性是指自由响应的收敛性。系统自由振荡输出的三种情况系统自由振荡输出的三种情况由系统的由系统的初始状态初始状态所引所引起的响应，若随时间的起的响应，若随时间的推移推移

2、逐渐衰减并趋向于逐渐衰减并趋向于零零，系统能恢复原来平，系统能恢复原来平衡状态，则称系统衡状态，则称系统稳定稳定。对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。 稳定程度稳定程度临界稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。则系统处于临界稳定状态。 a) 稳定稳定b) 临界稳定临界稳定c) 不稳定不稳定若系统不论扰动引起的初始偏差

3、有多大，当扰动取若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是系统是大范围稳定的大范围稳定的；否则系统就是；否则系统就是小范围稳定的小范围稳定的。 处于临界稳定，或接近临界稳定状态的稳定系统，处于临界稳定，或接近临界稳定状态的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的

4、备一定的稳定裕量稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳，以保证其在实际工作时处于稳定状态。定状态。 经典控制论中，经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。临界稳定也视为不稳定。系统的传递函数 设系统的传递函数的分母等于零，即可得系统的特征方程： 1oiXsG ssXsG s H s G s H s oXs iXs 10G s H s二二. 系统稳定性的条系统稳定性的条件件反馈控制系统式（52）2、稳定的条件稳定的条件 （P8384）假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号信号 ( (t t) )的作用，此时系统的输出为单位脉的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应

5、，冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题信号偏离平衡点的问题，显然，当，显然，当t t时，时，若：若：0)(limtxot系统（渐近）稳定。系统（渐近）稳定。 lim( )otxt 若则系统（渐近）不稳定。则系统（渐近）不稳定。 lim( )otxt若常量则系统（渐近）临界稳定。则系统（渐近）临界稳定。设设线性控制系统的闭环传递函数为线性控制系统的闭环传递函数为120121120121( )mmmmmnnnnnb sbsb sbsbG sa sa sa sasa闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为1201210nnnnna sa sa sa

6、sa特征方程式的根就是系统闭环传递函数的特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点极点。 系统稳定的充分必要条件充分必要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具有负实稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部。部。或者：或者：系统传递函数 的极点全部位于S复平面的左半部。 oiXsXs不稳定区不稳定区临界稳定稳定区稳定区s平面j 系统稳定系统稳定，则闭环系统的极，则闭环系统的极点全部分布在点全部分布在s平面的左半平平面的左半平面；面； 系统不稳定系统不稳定，至少有一个极，至少有一个极点分布在点分布在s平面的右半平面；平面的右半平面； 系统临界稳定系统临界稳定，在，在s平面上平面上的右半平面无极点，至少有

7、的右半平面无极点，至少有一个极点在虚轴上。一个极点在虚轴上。(注：临注：临界稳定从工程角度来看属于界稳定从工程角度来看属于不稳定，称为不稳定，称为工程意义上的工程意义上的不稳定。不稳定。 )1.直接计算或间接得知系统特征方程式（直接计算或间接得知系统特征方程式（52）的根。）的根。2.确定保证式（确定保证式（52）的根具有负实部的系统参数区）的根具有负实部的系统参数区域域应用第一种类型方法有二：应用第一种类型方法有二： 1）直接对系统特征方程求解）直接对系统特征方程求解 2）根轨迹法）根轨迹法应用第二种类型方法：应用第二种类型方法： 1）劳斯劳斯胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据 2）奈奎斯

8、特判据）奈奎斯特判据确定系统稳定性的方法有两种类型：确定系统稳定性的方法有两种类型：一. 系统的特征方程（52）可写成： (5-3)系统稳定的充要条件充要条件：1）式（53）的各项系数全部为正值，即ai0（i0，1，2，n）2）由各项系数组成的胡尔维茨胡尔维茨n阶行列式阶行列式中各阶子行列式 都大于零。 111010nnnnG s Hsa sasa sa12,n 含义：含义：1. 各项系数符号相同（即同号）；各项系数符号相同（即同号）；2. 各项系数均不等于各项系数均不等于0（即不缺项）（即不缺项）优点：优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判

9、别系统的稳定性。这是一种统的稳定性。这是一种代数判据代数判据，依据根与系统的关系来，依据根与系统的关系来判断根的分布。判断根的分布。胡尔维茨胡尔维茨n阶行列式阶行列式将系统特征方程的各系数排成如下行列式： (1)特征方程式的各项系数均大于零，即特征方程式的各项系数均大于零，即ai0(2)胡尔维茨胡尔维茨行列式中，主行列式及其对角线上各子行列式均具有正值。行列式中，主行列式及其对角线上各子行列式均具有正值。 432235100ssss432102,1,3,5,10aaaaa1310a3123241421 3250aaa aa aaa 由于由于 ，不满足，不满足20 3,4 2100,0,0aaa

10、321021300,0,0,0,0aaaaa aa a2232130420,0iaa a aa aa a 系统阶次越高，利用系统阶次越高，利用高阶的系统，可采用劳斯高阶的系统，可采用劳斯判据判别系统的稳定性。判据判别系统的稳定性。步骤如下步骤如下：(1)列出系统的特征方程：列出系统的特征方程： 其中其中 ，各项系数均为实数。，各项系数均为实数。(2)按系统的特征方程式列写劳斯表按系统的特征方程式列写劳斯表11100nnnna sasa sa0na 二二. 劳斯判据劳斯判据劳斯表劳斯表将系统的特征方程的系数分成奇、偶两组，排成两行，作为劳斯表的表将系统的特征方程的系数分成奇、偶两组，排成两行，作

11、为劳斯表的表头。头。. .01432143217531642321ssccccbbbbaaaaaaaassssnnnnnnnnnnnnaaaaabnnnnn312111aaaaabnnnnn514121aaaaabnnnnn716131bbaabcnn2131111bbaabcnn3151121.Routh判据：判据：第一列各元素第一列各元素an,an-1,b1,c1,.符号改变次数等符号改变次数等于具有正实部的特征根数目。若第一列各元素符号不同，于具有正实部的特征根数目。若第一列各元素符号不同，则系统不稳定。则系统不稳定。劳斯表劳斯表若第一列各数为正数，系统稳定；若第一列各数为正数，系统稳定

12、；若第一列各数有负数，系统不稳定，若第一列各数有负数，系统不稳定，第一第一列中数值符号的改变次数即等于系统特征列中数值符号的改变次数即等于系统特征方程含有正实部根的数目。方程含有正实部根的数目。n若劳斯表中某一行第一个数为若劳斯表中某一行第一个数为0，其余不全，其余不全为为0，这时可用一个很小的正数，这时可用一个很小的正数来代替这来代替这个个0。二二.劳斯判据劳斯判据，判断稳定性。例：系统特征方程：301119)(234sssssDdddscccsbbbsss32103211321234011130191,301132431aaaaab, 00101133ab,300130432aaaab,1

13、2303011130111112111bbbc, 00011113bbc, 0030013010113112bbbc,3001230301211212111ccbbcd, 00120301211313112ccbbcd003000120303001113019101234sssss第一列中，从第一列中，从1到到-30，符，符号改变一次，从号改变一次，从-30到到12，符号改变一次，所以系统符号改变一次，所以系统不稳定，有两个具有正实不稳定，有两个具有正实部的特征根。部的特征根。因为01,则3-(3/)0K0时，只有三阶或以上的闭时，只有三阶或以上的闭环系统才可能不稳定。环系统才可能不稳定。二、

14、二、 奈氏判据应用举例奈氏判据应用举例2. 开环传递函数含积分环节开环传递函数含积分环节(有有S0极点）极点） 此时需对开环幅相曲线作辅助曲线。此时需对开环幅相曲线作辅助曲线。辅助曲线作法：辅助曲线作法：从奈氏曲线的起始端从奈氏曲线的起始端(w=0(w=0+ +) )处，逆时针补画处，逆时针补画 V90 V90o o、半径为无穷大的圆半径为无穷大的圆与实轴相交。其中与实轴相交。其中V V为开环传递函数中含有为开环传递函数中含有积分环节的个数。积分环节的个数。在确定奈氏曲线包围在确定奈氏曲线包围(-1，j0)点的次数与方点的次数与方向时，向时，应将所做辅助线应将所做辅助线(常用虚线表示常用虚线表

15、示)与实与实际线连续起来看，整个曲线的旋转方向仍按际线连续起来看，整个曲线的旋转方向仍按W增大的方向增大的方向。（。（P94例例58）经过以上处理后，原奈氏判据仍可使用。经过以上处理后，原奈氏判据仍可使用。 对于最小相位系统，对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无其辅助线的起始点始终在无穷远的穷远的正实轴正实轴上。上。 =0 =0 =0+ReImI型系统 =0 =Re0 =0+ImII型系统 =0 =Re0 =0+ImIII型系统 对于对于非非最小相位系统，最小相位系统，辅助线的起始点则由其含辅助线的起始点则由其含有的不稳定环节的个数决定有的不稳定环节的个数决定。偶数个时，起于正实轴，。偶

16、数个时，起于正实轴，奇数个时起于负实轴。奇数个时起于负实轴。例例 一个单位反馈系统，开环传递函数为一个单位反馈系统，开环传递函数为 2( )(1)KG ss Ts试用试用Nyquist判据判定系统的稳定性。判据判定系统的稳定性。 （P95例例59）解解 系统的开环幅频曲线如图所示。系统的开环幅频曲线如图所示。 从从Nyquist曲线上看到，曲线顺时曲线上看到，曲线顺时针包围针包围(-1,j0)点一圈，点一圈， 即即N= -1，而开环传递函数在而开环传递函数在s右半平面的右半平面的极点数极点数P=0，因此闭环特征方程因此闭环特征方程正实部根的个数正实部根的个数故系统不稳定。故系统不稳定。 ImR

17、e(-1,j0)Z=P-2N=2例5-9:已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试确定使系统产生持续等幅振荡的K值，并求振荡频率。)42()(2sssKsGK解：使系统产生持续振荡，即系统临界稳定，开环频率特性曲线过点开环频率特性曲线过点(-1,j0)。则: 有：所以：k=8，w=2 01)4(2)(32jjKjGK)4(232jK043 为计算圈数方便，可通过开环幅相曲线在（为计算圈数方便，可通过开环幅相曲线在（-1,j0 ）左侧左侧穿穿越的次数来获取越的次数来获取N ：负穿越（负穿越（ N- ）：）：开环幅相曲线开环幅相曲线顺时针顺时针(即曲线由下而上即曲线由下而上)穿越穿越（ -1,j

18、0 ）左侧的负实轴，记一次负穿越；左侧的负实轴，记一次负穿越；正穿越（正穿越（ N+ ）：）：开环幅相曲线开环幅相曲线逆时针逆时针(即曲线由上而下即曲线由上而下)穿越穿越（ -1,j0 ）左侧的负实轴，记一次正穿越；左侧的负实轴，记一次正穿越；奈氏判据可写成：奈氏判据可写成：当当W从从0时，若开环频率特性曲线正穿时，若开环频率特性曲线正穿越的次数减去负穿越的次数等于越的次数减去负穿越的次数等于P/2时，则系统是稳定。时，则系统是稳定。(P为为开环右极点个数开环右极点个数)，即：即：N=N+-N- =P/2也即穿过也即穿过(-1,j0)右右侧时不称之为穿越。侧时不称之为穿越。+ + - Im R

19、e 2p 0-1abc例：例：+ + - Im Re 2p 0-1abca点、b点： 正穿越；正穿越； c点: 负穿越负穿越; (2-1)=1=p/2.闭环系统稳定。例：例： 0PImRe-1 0abK很小，负穿越一次，负穿越一次（不稳定）（不稳定） 0PImRe-1 0baK较大，负、正穿越各一次，负、正穿越各一次（稳定）（稳定） 0PImRe-1 0K更大，正穿越一次、，正穿越一次、负穿越二次（不稳定）负穿越二次（不稳定） 已知开环乃氏图，判断其闭环系统的稳定性已知开环乃氏图，判断其闭环系统的稳定性四、四、Bode判据判据Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的

20、频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为c。Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率，记为g。Bode图上的稳定性判据可定义为：图上的稳定性判据可定义为： 一个反馈控制系统一个反馈控制系统, 其闭环特征方程其闭环特征方程正实部根正实部根的个的个数为数为Z，可以根据开环传递函数可以根据开环传递函数S S右半平面极点的个数右半平面极点的个数P和开环对数幅频特性和开环对数幅频特性大于大于0dB的所有频率范围内的所有频率范围内，对对数相频曲线与数相频曲线与-180-1800 0线线的的正负穿越之差正负穿越之差N N = = N

21、 N+ +- -N N- -来确来确定定, 即即 :NPZ2若若Z=0，则闭环系统稳定；则闭环系统稳定；, 则闭环系统不稳定。则闭环系统不稳定。0ZZ Z为闭环特征方程正实部根的个数为闭环特征方程正实部根的个数例：如图所示的四种开环例：如图所示的四种开环Bode曲线，试用曲线，试用Bode稳定性稳定性判据判据, 判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。已知已知P=0，在在L()0的范围内，的范围内，1N1N0NNN02NPZ闭环系统稳定闭环系统稳定 。已知P=1 ，在L()0时 相频曲线有一次从负到正穿越-线 2/1N02NPZ闭环系统稳定 。若对数相频特性若对数相频特性一开始一开始就由就由-18

22、0-1800 0向下，则算负半次穿越；向下，则算负半次穿越；若对数相频特性若对数相频特性一开始一开始就由就由-1800向上，则算正半次穿越。向上，则算正半次穿越。 已知P=2, 在L()0的范围内, 2N1N112NNN02NPZ闭环系统稳定 五、延时系统稳定性的判别五、延时系统稳定性的判别(图5-16所示系统的特征方程)当当G1(s)e-s=-1系统为临界稳系统为临界稳定状态，则有：定状态，则有：5-4 稳定性裕稳定性裕量量根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚好满

23、足稳定性条件是不够的，作，刚好满足稳定性条件是不够的，还必须留有还必须留有余地。余地。因为一个虽然稳定，但一经扰动就会不稳因为一个虽然稳定，但一经扰动就会不稳定的系统是不能投入实际使用的。定的系统是不能投入实际使用的。稳定裕度可以稳定裕度可以定量定量地地确定一个系统的稳定程度。确定一个系统的稳定程度。它包括它包括相位裕度相位裕度(量量)和幅值裕度和幅值裕度(量量)。在讨论稳定裕量问题之前，在讨论稳定裕量问题之前，首先要假定开环系统是首先要假定开环系统是稳定的，或者说系统是最小相位系统稳定的，或者说系统是最小相位系统，也就是说，开，也就是说，开环传递函数在右半环传递函数在右半s平面没有极点和零点

24、，否则讨论平面没有极点和零点，否则讨论稳定裕量问题是没有意义的。稳定裕量问题是没有意义的。一、相位裕量和幅值裕量一、相位裕量和幅值裕量n系统的相对稳定性系统的相对稳定性 从从Nyquist稳定判据可推知：若稳定判据可推知：若P0的闭的闭环系统稳定，且当环系统稳定，且当Nyquist轨迹离点轨迹离点(-1，j0)越远，则其闭环系统的稳定性越高；开越远，则其闭环系统的稳定性越高；开环环Nyquist轨迹离点轨迹离点(-1，j0)越近，则其闭越近，则其闭环系统的稳定性越低。这便是通常所说的环系统的稳定性越低。这便是通常所说的系系统的相对稳定性统的相对稳定性，它通过，它通过Gk(jw)对点对点(-1，

25、j0)的靠近程度的靠近程度来表征，其定量表示为来表征，其定量表示为相位相位裕度裕度和和幅值裕度幅值裕度Kg。1. 相角裕量相角裕量 截止频率截止频率 c ：开环幅相曲线上，幅值为开环幅相曲线上，幅值为1的频率称为的频率称为截止频率。截止频率。 即即 |G(jwc)H(jwc)|=1。相位裕量相位裕量 ：定义为定义为加上加上Nyquist曲线上幅值为曲线上幅值为1点的相角，点的相角， = 180 + ( c)物理意义：若系统截止频率物理意义：若系统截止频率 c处的相位之后再增加处的相位之后再增加 ，系统处于，系统处于临界稳定。临界稳定。 稳定系统的奈氏曲线稳定系统的奈氏曲线 不稳定系统的奈氏曲线

26、不稳定系统的奈氏曲线 ReImGHgww 0wcwReImGHgww 0wcw由于()20lg()20lg10ccLA故在Bode图中，相角裕度表现为：L()=0dB处的相角(c)与-180度水平线之间的角度差。)-L)cKgg正幅值裕度正相位裕度)-gL)c负幅值裕度Kg负相位裕度称为负相位裕度。线下方，在对于不稳定系统，称为正相位裕度；线上方，在对于稳定系统，、相位裕度180,180,)(180)180()(1wwwwjwGjwGgcgccKwwKcReImGHgww 0wcwKG1800wg0wKGlg20cww0wKGlg20cwKG1800wgwReImGHgww 0wcw稳定系统稳

27、定系统不稳定系统不稳定系统2. 幅值裕量幅值裕量Kg 或或h相角交界频率相角交界频率 g：开环幅相曲线上，相角为开环幅相曲线上，相角为-180o点的频率称为点的频率称为相角相角交界频率。即交界频率。即argG(jwg)H(jwg)= -180o。幅值裕量幅值裕量Kg ： 开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量， 记为记为：物理意义：若系统开环增益增大到原来的物理意义：若系统开环增益增大到原来的Kg倍，系统处于临界稳定。倍，系统处于临界稳定。kgImRec g -1 )j(Gg 0ImRe-1c g kg)j(Gg 0 稳定系统的奈氏曲

28、线稳定系统的奈氏曲线 不稳定系统的奈氏曲线不稳定系统的奈氏曲线 )()(lg20)(1lg20lg20)()(12dBKwjGwjGKwjHwjGKKggKgKggggg记为，用分贝表示：、幅值裕度ReImGHgww 0wcwKg1KG1800wg0wKGlg20cww)(dBKg0wKGlg20cw)(dBKgKG1800wgwReImGHgww 0wcwKg1稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定系统相角交界频率相角交界频率 g：开环幅相开环幅相曲线上，相角为曲线上，相角为-180o点的频点的频率称为率称为相角交界频率。即相角交界频率。即argG(jwg)H(jwg)= -180o。物理意义：若

29、系统开物理意义：若系统开环增益增大到原来的环增益增大到原来的Kg倍，系统处于临倍，系统处于临界稳定。界稳定。称为负幅值裕度。，记为线以上，在对于不稳定系统称为正幅值裕度；，记为线以下，在对于稳定系统，0)(0)(, 1)(1, 1)(,0)(0lg20)(, 1)(1, 1)(dBKdBdBKwjGKwjGdBKdBKdBKwjGKwjGgggKggKggggKggKReImGHgww 0wcwKg1KG1800wg0wKGlg20cww)(dBKg0wKGlg20cw)(dBKgKG1800wgwReImGHgww 0wcwKg1稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定系统相角裕量相角裕量幅值裕量幅

30、值裕量为满足动态性能的要求，相角裕量在300600 幅值裕量在515dB控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。 只用增益裕度或相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时必须同时给出这两个量。注：以分贝值表示。00180()180()00ckcGj系统稳定系统不稳定1()20lg20lg()()20lg()()()0()0ggkggkggggkdBkGjH jGjH jkdBkdB 系统稳定系统不稳定0)(dBKg0二、二、判断判断(最小相位最小相位)系统稳定的又一方法系统稳定的又一方法)()(180

31、ccjHjG)()(log20ggjHjGh1Kg)()(1ggjHjGh或或（P100例511）( )(1)(0.11)kkG ss ssk=5和k=20判断系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量？(1)低频段: 1 k=5 L(1) = 20lg5 = 14dB -20dB/dec k=20 L(1) = 20lg20 = 26dB -20dB/dec(2)转折频率： 11 20dB/dec 210 20 dB/dec例)(L dB s/rad1100.12040-20-40-20-40-60 s/rad)( 度0.1110-900-1800-270014dB26dB3.16k=5时时-40c

32、1114dB0dB242144014140111.,dBlgdB)lg(lgccc 66012.60计算相角裕量：计算相角裕量：求穿越0dB线的c和(c)6168109011111.).()()(ccctgtg 04111801.)(c ( )(1)(0.11)kkG ss ss由：由：有：有：k=20时时-40c2126dB0dB474264026140122.,dBlgdB)lg(lgccc 77.4024.105191109011111.).()()(ccctgtg 05 .11)(1801c求穿越求穿越1800的的g0004180323418133317833.)(.)(.)(ggg

33、取g 3.2dB.).lg.(lgkkdB.).lg.(lgkkgg85474234020262422340521180109011).()()(gggtgtg 计算幅值裕量：计算幅值裕量：系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说稳定只能是近似的，当然，一阶或二阶系统在一定意义上说稳定只能是近似的，忽略了一些小的时间滞后，如果计及这些小

34、的滞后，则所谓的忽略了一些小的时间滞后，如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统也可能是不稳定的。一阶或二阶系统也可能是不稳定的。 1 对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。为使系统稳定，增益应当减少多少。一阶或二阶系统的增益裕度为多少？一阶或二阶系统的增益裕度为多少？说明：说明： 2 对于最小相位系统，对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度只有当相位裕度和增益裕度都都是正值时是正值时，

35、系统才是稳定的。，系统才是稳定的。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响。元件变化造成的影响。三、三、 二阶系统频域与时域的关系二阶系统频域与时域的关系二阶系统二阶系统开环频域指标与动态性能指标的关系开环频域指标与动态性能指标的关系二阶系统开环频率特性为二阶系统开环频率特性为 )2()(2nnjjjGn2arctan2)(开环幅频特性：开环幅频特性：开环相频特性：开环相频特性：222)2()(nnA1)2()(222nccncAcn14242解得2241arctan22arctan2)(24ncc二阶系统的相位裕度为：二阶系统的相位裕度为

36、： 242412arctan)(c在在=c 时，时， A(c )=1(P101，式，式5-19)(P101，式，式5-20)00.81.820102030405060708090典型二阶系统相位裕度典型二阶系统相位裕度与阻尼比与阻尼比关系曲张关系曲张 (P101，图，图5-18)422412arctg 对于典型二阶系统，相位裕度与阻尼比之间对于典型二阶系统，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示为的关系近似地用直线表示为 /100可见，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主可见，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态

37、响导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。可以应用这个公式。 3060由图可知：要求，由图可知：要求， 相当于相当于=0.280.6与与%都都只是阻尼比只是阻尼比的函数。的函数。242412arctan)(c21 e 增加时增加时%减小。减小。 相位裕度相位裕度可可反映时域中超调量反映时域中超调量%的的大小，是大小，是频域中的频域中的平稳性指标。平稳性指标。通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起的过程不至于振通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起的过程不至于振荡得太厉害，以及调节时间不致太长荡得

38、太厉害，以及调节时间不致太长 3060 补充：相位裕度补充：相位裕度与超调量与超调量%的关系的关系稳定性分析小结：稳定性分析小结：n开环稳定，闭环不一定是稳定的，反之开环不稳开环稳定，闭环不一定是稳定的，反之开环不稳定闭环有可能是稳定的。对于最小相位的开环传定闭环有可能是稳定的。对于最小相位的开环传递函数，并且开环增益大于零时，则只有三阶或递函数，并且开环增益大于零时，则只有三阶或三阶以上的闭环系统才可能不稳定。三阶以上的闭环系统才可能不稳定。n由于在系统分析、计算、实验、制造及工作环境由于在系统分析、计算、实验、制造及工作环境等存在误差或发生不可预测的变化，因此为保证等存在误差或发生不可预测

39、的变化，因此为保证系统能稳定可靠地工作，应有一定的稳定储备。系统能稳定可靠地工作，应有一定的稳定储备。稳定储备用相角裕量和幅值裕量来进行定量表示稳定储备用相角裕量和幅值裕量来进行定量表示。n相位裕量和幅值裕量应相位裕量和幅值裕量应同时同时进行考虑，其中一项进行考虑，其中一项达到要求并不能说明系统的稳定储备就满足了。达到要求并不能说明系统的稳定储备就满足了。5-5 根轨迹根轨迹简介简介n根轨迹即根的轨迹。这里指根轨迹即根的轨迹。这里指闭环系统闭环系统特征特征方程式的根（系统的闭环极点）在根平面方程式的根（系统的闭环极点）在根平面（s平面、复平面）上的轨迹。平面、复平面）上的轨迹。n “轨迹轨迹”

40、：指当系统参数的变化带来系：指当系统参数的变化带来系统闭环极点的变化，其变化的过程、趋势统闭环极点的变化，其变化的过程、趋势形成的轨迹。当参数确定时，在轨迹图上形成的轨迹。当参数确定时，在轨迹图上对应的一组点。对应的一组点。一、根轨迹一、根轨迹KssKsGsGs222)(1)()(2022)(12KsssG) 1(2) 1()(ssKssKsG当当K 从从0 时，用解析的方法可以求出的全部闭环特征根。时，用解析的方法可以求出的全部闭环特征根。做出闭环特征根在做出闭环特征根在s 平面上移动的轨迹，就是系统平面上移动的轨迹，就是系统 从从0变变化时的根轨迹。化时的根轨迹。某系统开环传递函数：某系统

41、开环传递函数：闭环传递函数：闭环传递函数：特征方程特征方程闭环极点闭环极点KsKs21121121（1） k：0 时 轨迹均在s 平面的左半部，系统稳定；（2） 0k0.5 时，闭环特征根为共轭复根，系统处于欠阻尼状态，响应有振荡，且 越大极点距实轴越远，振荡愈剧烈。上述分析与时域分析的结论完全相同。严格的定义：系统闭环极点在系统闭环极点在s平面上随系统参数变化的轨迹平面上随系统参数变化的轨迹图形称为系统的根轨迹图图形称为系统的根轨迹图。K=0， s1=0, s2=-2;k=0.5, s1=-1, s2=-1k=1, s1=-1+j s2=-1-jk=， s1=-1+j s2=-1-j jw0

42、s21-1-2K=0-1-2K=1K=1K=2.5K=0.5K K=0K K=2.5根轨迹作图根轨迹作图n根轨迹图表示了K变化时闭环极点所有可能的分布情况。n需要指出的是，需要指出的是， 绘制根轨迹时选择的可变参绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但实际中最常用数可以是系统的任何参量，但实际中最常用的是系统的开环增益。的是系统的开环增益。n根轨迹作图的思路： 依据系统的开环与闭环传递函数的确定关系，由开环的零、极点来寻找闭环极点的轨迹。系统闭环特征方程为：系统闭环特征方程为：1( )( )0G s H s1)()(11*njjmiipszsK或或( )( )1G s H s 所以所

43、以根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程实际上是一个向量方程，即：根轨迹方程实际上是一个向量方程，即：幅值条件方程幅值条件方程mjjniizspsK11*相角条件方程相角条件方程) 12()()(11kpszsmjniij二、根轨迹作图法则二、根轨迹作图法则其中：其中：K*是系统根轨迹增益，与是系统根轨迹增益，与开环增益开环增益K成正比；成正比；Zj是开环传是开环传递函数零点；递函数零点；Pj是开环传递函数是开环传递函数极点。极点。二、绘制根轨迹的基本法则二、绘制根轨迹的基本法则2) 根轨迹的对称性根轨迹的对称性 开环极点、零点或闭环极点都是实数或者成对出现的共轭复开环极点、零点或闭环极点都是实数或者

44、成对出现的共轭复数，它们在数，它们在s平面上分布对称于实轴，所以根轨迹对称于实轴。平面上分布对称于实轴，所以根轨迹对称于实轴。根据根轨迹的对称性，只需要作出上半根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨迹，然平面的根轨迹，然后利用对称关系，即可画出下半后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹。平面的根轨迹。1) 根轨迹的分支数根轨迹的分支数根轨迹在根轨迹在s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n 。因为因为n阶特征方程有阶特征方程有n个特征根，个特征根， n个特征根随个特征根随K变化时必然有变化时必然有n条根轨迹。条根轨迹。3) 根轨迹的起始点和终止点

45、根轨迹的起始点和终止点 根轨迹起于系统开环极点，终止于系统开环零点。如果开环根轨迹起于系统开环极点，终止于系统开环零点。如果开环零点数零点数m小于开环极点数小于开环极点数n，则有则有(n-m)条根轨迹趋向于无穷条根轨迹趋向于无穷远。远。4) 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和为奇数。实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和为奇数。 5) 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹有根轨迹有(n-m)条渐近线，但对称于实轴。条渐近线，但对称于实轴。mnzpmjjnii11) 1, 2 , 1 , 0(12mnkmnk渐近线与实轴相交点的坐标：渐近线与实轴相交点的坐标

46、：渐近线与正实渐近线与正实轴的夹角为：轴的夹角为：其中：其中：n为开环极点数，为开环极点数，m为开环零点数。为开环零点数。 6) 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角起始角起始角： 开环根轨迹在离离开开开环复数极点极点处的切线与正实轴的夹角，也称出射角出射角 11ijijimnpz pp pjjj i2p s(p -z )1z11p 03p 131(p -p )p 02z2p p 1z1z1jj1(p -p )212p s(p -z )1z11p 03p 131(p -p )p 02z2p p 1z1z1jj1(p -p )21终止角：终止角： 开环根轨迹在进入进入开环复数零点零点处的

47、切线与正实轴的夹角，也称入射角入射角 11ij ij inmzp zz zjjj i7) 分离点坐标分离点坐标根轨迹上的分离点根轨迹上的分离点：当有两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点。 分离点的坐标可由幅角条件试探求出；也可用对根轨迹增益求导数为零的方法获得。8) 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点，可以由闭环系统的特征方程根据Routh或Hurwitz判据确定。 9) 系统闭环极点之和为常数，系统闭环极点之和为常数，当当n-m2n-m2时，系统时，系统极点之和等于开环极点之和。随着开环增益的变化，一些闭环根如果向左移动，另一部分必向右移动，

48、这对判断根轨迹的走向很有用。三、计算机直接求根轨迹应用应用MATLAB绘制根轨迹图绘制根轨迹图n使用使用rlocus命令可以得到连续的单输入单输出系命令可以得到连续的单输入单输出系统的根轨迹。该命令有两种基本形式：统的根轨迹。该命令有两种基本形式： Rlocus（num，den）或）或rlocus（num，den，k） 其中，单输入单输出其中，单输入单输出SISO系统开环传递函数为系统开环传递函数为G(s)=num(s)/den(s)。在这些命令中，根轨迹图是自动生成的。如果第三在这些命令中，根轨迹图是自动生成的。如果第三个参数（矢量个参数（矢量k）是指定的，命令将按照给定的参）是指定的，命令将按照给定的参数绘制根轨迹图，否则增益是自动确定的。数绘制根轨迹图，否则增益是自动确定的。 例：已知系统的开环传递函数例：已知系统的开环传递函数22)