第2章随机变量

1、第二章第二章 随机变量随机变量第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第四节随机变量函数的分布第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数.),(,)(, 随机变量随机变量称之为称之为上的单值函数上的单值函数得到一个定义在得到一个定义在这样就这样就与之对应与之对应有一个实数有一个实数中每一个元素中每一个元素如果对如果对空间为空间为是随机试验，它的样本是随机试验，它的样本设设eXXeXeE 定义定义2.1)(xXPxF 称为随机变量称为

2、随机变量X的分布的分布函数。函数。定义定义2.2 设设X是一随机变量，是一随机变量，x为任意实数，函数为任意实数，函数上一页上一页下一页下一页返回返回 ，有有实实数数是是右右连连续续的的。即即对对任任意意且且是是一一个个单单调调不不减减函函数数；xxFxFxFxFxFxx)3(; 1lim, 0lim, 10)2()1( xFxF 0证明：证明：:,)1(2121得得则则如如xXxXxx 21xXPxXP :分布函数的基本性质 21xFxF 上一页上一页下一页下一页返回返回 11(2) 01lim0lim01 2xnnnnnnF xF xF xF xFnAXnnAAA 由的定义易得。利用的单调

3、性为证，只要证。考虑事件，则，由概率的连续性得)(lim)(lim)(limnnnxAPnFxF 0)(1 nnAP的的类类似似证证明明极极限限1)(lim xFx上一页上一页下一页下一页返回返回 xFnxFn )1(lim110lim()lim()nnnnF xF xPAn xFxXP 由概率的由概率的连续性得：连续性得： 只只须须证证明明：的的单单调调性性，为为证证此此性性质质由由xF)3(，令令211 nnxXAn，则则11xXAAAnnnn 上一页上一页下一页下一页返回返回 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下

4、：X x1x2xkpkp1p2pk 如果随机变量所有的可能取值为有限个或可数无如果随机变量所有的可能取值为有限个或可数无穷多个，则称这种随机变量为穷多个，则称这种随机变量为离散型随机变量离散型随机变量。,.2 , 1 kpxXPkk 设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk (k=1,2,),事事件件 发生的概率为发生的概率为pk ,即即称为称为随机变量随机变量X的概率或分布律的概率或分布律。kxX 上一页上一页下一页下一页返回返回内的概率为内的概率为区间区间落入落入离散型随机变量离散型随机变量为实轴上一区间，那么为实轴上一区间，那么设设IXI IxiipIXP的的分分布

5、布函函数数的的计计算算公公式式量量由由此此可可得得离离散散型型随随机机变变X xxiipxXPxF 。跳跃的高度为跳跃的高度为处的处的在在的第一类间断点，而且的第一类间断点，而且是是，值值的可能的可能，的分布函数是阶梯函数的分布函数是阶梯函数离散型随机变量离散型随机变量iipxxFxFxxXX21分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一页上一页下一页下一页返回返回例例2.1 设一汽车在开往目的地的道路上需通过设一汽车在开往目的地的道路上需通过4盏信盏信号灯，每盏灯以号灯，每盏灯以0.6的概率允许汽车通过，以的概率允许汽车通过，以0.4的概

6、的概率禁止汽车通过（设各盏信号灯的工作相互独立）率禁止汽车通过（设各盏信号灯的工作相互独立）.以以X表示汽车首次停下时已经通过的信号灯盏数，求表示汽车首次停下时已经通过的信号灯盏数，求X的分布律的分布律. 解解 以以p表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然X的的可能取值为可能取值为0，1，2，3，4，易知，易知X的分布律为表的分布律为表2-2，或写成，或写成 机变量的分布情况。机变量的分布情况。随随布函数都能描述离散型布函数都能描述离散型分布律。用分布律和分分布律。用分布律和分的的的分布函数，也能确定的分布函数，也能确定已知离散型随机变量已知离散型随机变量XX上一

7、页上一页下一页下一页返回返回PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,3. PX=4=(1-p)4.上一页上一页下一页下一页返回返回表表2-2 X0 1 2 3 4pkP （1-p）p （1-p）2 p （1-p）3 p （1-p）4将将p=0.4,1-p=0.6代入上式，所得结果如表代入上式，所得结果如表2-3所示所示. 表表2-3 X0 1 2 3 4pk0.4 0.24 0.144 0.0864 0.12961.（01）分布）分布 若随机变量若随机变量X只可能取只可能取 0 与与 1 两值两值,它的概率分它的概率分布是布是则称则称X服从参数为服从参数为p的（的（01）分布。）分布。1 -

8、(01)1P X = 0=p p ,P X = p,当用当用x1代替代替0,x2代替代替1时（时（01）分布也叫两点分布。）分布也叫两点分布。简记为简记为X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一页上一页下一页下一页返回返回 , 1 , 0)1(nkppCkXPknkkn 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为2.二项分布二项分布其中其中0p0是一常数，是一常数，n是任意整数，是任意整数，设设npn=，则对任意一固定的非负整数则对任意一固定的非负整数k，有有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(时时，当当对对于于固固定定的的

9、nk证明证明knknnnknnk 111121111!11111121n111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1上一页上一页下一页下一页返回返回定理的条件定理的条件npn=，意味着意味着n很大时候很大时候pn必定很小。必定很小。因此当因此当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在实际计算中，当在实际计算中，当 时用时用 （=np）作为作为 的近似值效果很好。的近似值效果很好。而当而当 时效果更佳。时效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表可查。的值

10、有表可查。 ekppCkknnknknn!1lim从而从而上一页上一页下一页下一页返回返回例例2.4 某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有，如果每天有5000辆汽车辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率的概率.105000499905521211 (0.999)5(0.999)5 e5e1.0!1!kP XP XP Xk 解解 设设X表示发生交通事故的汽车数，则表示发生交通事故的汽车数，则Xb(n,p),此处此处n

11、=5000，p=0.001，令，令=np=5， 上一页上一页下一页下一页返回返回查表可得查表可得 21 0.006740.033690.95957.P X 3.泊松泊松(Poisson)分布分布1!000 eekekepkkkkkk上式给出的概率满足：上式给出的概率满足：pk=PX=k 0, 且且 设随机变量设随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,而取各值而取各值的概率为的概率为 , 2 , 1 , 0! kkekXPk 其中其中0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记的泊松分布，记为为X P( )。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2.6 由某商店过去

12、的销售记录知道，某种商品每月由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数的销售数可以用参数5的泊松分布来描述的泊松分布来描述.为了以为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？某种商品多少件？ 上一页上一页下一页下一页返回返回解解 设该商店每月销售这种商品数为设该商店每月销售这种商品数为X，月底进货为，月底进货为a件，则当件，则当Xa时不脱销，故有时不脱销，故有 0.95.P Xa由于由于XP(5),上式即为上式即为50e 50.95.!kakk查表可知查表可知580e 50.93190.95,!kkk590e

13、50.96820.95,!kkk于是，这家商店只要在月底进货这种商品于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件（假件（假定上个月没有存货），就可以定上个月没有存货），就可以95%以上的把握保证以上的把握保证这种商品在下个月不会脱销这种商品在下个月不会脱销.第三节第三节 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布0)()1( xf 1)()2(dxxf 21)()3(21xxdxxfxXxP（4）若）若x为为f(x)的连续点，则有的连续点，则有 xfxF 概率密度概率密度f(x)具有以下具有以下性质性质：定义定义2.3 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)，若存在非负若存在非负

14、函数函数f(x),使得对于任意实数使得对于任意实数x，有有 xdttfxF)(则称则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称f(x)为为X的概率密度函数，的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。简称概率密度或分布密度。上一页上一页下一页下一页返回返回由性质（由性质（2）知：）知：介于曲线介于曲线y=f(x)与与Ox轴之间的面积等于轴之间的面积等于1（见图（见图1）。）。由性质（由性质（3）知：）知： X落在区间（落在区间（x1,x2的概率等于区间（的概率等于区间（x1,x2上曲线上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图之下的曲边梯形的面积（见图2）。）。由性质（由性质（4）知：）知：若

15、已知连续型随机变量若已知连续型随机变量X的分布函数的分布函数F(x)求导得概率密求导得概率密度度f(x)。)(xfxO1图图)(xfxO1x2x图图上一页上一页下一页下一页返回返回(1)若若X为具有概率密度为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。的连续型随机变量。则有则有 xxxdxxfxxxxXxP00)(100如果如果x0为为f(x)的连续点，有的连续点，有 )(lim0000 xfxxxXxPx f(x)在在x0处的函数值处的函数值f(x0)反映了概率在反映了概率在x0点处的点处的“密密集程度集程度”，而不表示，而不表示X在在x0处的概率。设想一条极细处的概率。设想一条极细的无穷长的金属

16、杆，总质量为的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各，概率密度相当于各点的质量密度。点的质量密度。 00 aFaFaXP aXP （2）若）若X为连续型随机变量，由定义知为连续型随机变量，由定义知X的分布函数的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点取一个点a的的概率概率 为零，事实上为零，事实上 两点说明两点说明在计算连续型随机变量在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有间，即有 badxxfbXaPbXaPbXaP

17、bXaP)(事件事件X=a 并非不可能事件并非不可能事件概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为概率为1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是必然事件。 上一页上一页下一页下一页返回返回2111(1)( ),limlimxxFF xAxA20,0,( ),01,1,1.xF xAxxx试求：试求：（1）系数）系数A；（2）X落在区间（落在区间（0.3，0.7）内的概率；）内的概率；（3）X的密度函数的密度函数.例例2.9 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 上一页上一页下一页下一页返回返回解解 （1）由于）由于X为连续型随机变量，故为连

18、续型随机变量，故F（x）是连）是连续函数，因此有续函数，因此有上一页上一页下一页下一页返回返回20,0,( ),01,1,1.xF xxxx即即A=1，于是有，于是有 (2) P0.3X0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 , 的正态分的正态分布或高斯分布布或高斯分布,记为记为XN( , 2).X的分布函数为的分布函数为 dtexFxt 222)(21)( 则则令令tx 122121)(22 dtedxxft上一页上一页下一页下一页返回返回（1） 最大值在最大值在x=处，最大值为处，最大值为 ; 21（3）曲线）曲线y=f(x)在在 处有拐点；处有拐点； x正态分布的密度函数正态分

19、布的密度函数f(x)的几何特征：的几何特征： hXPXhP （2） 曲线曲线y=f(x)关于直线关于直线x= 对称，于是对于任对称，于是对于任意意h0，有有x（4）当）当 时，曲线时，曲线y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线 上一页上一页下一页下一页返回返回当当 固定，改变固定，改变 的值，的值，y=f(x)的图形沿的图形沿Ox轴平移而不轴平移而不改变形状，故改变形状，故 又称为位置参数。若又称为位置参数。若 固定，改变固定，改变 的的值，值，y=f(x)的图形的形状随的图形的形状随 的增大而变得平坦。的增大而变得平坦。 越小，越小，X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。)(xfxO

20、)(xfxO1h h 1 5 . 0 1 2 上一页上一页下一页下一页返回返回参数参数 =0， =1的正态分布称为标准正态分布，记为的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用其概率密度函数和分布函数分别用 和和 表示，即表示，即)(x )( x 2221)(xex dtexxt 2221)( 和和 的图形如图所示。的图形如图所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa 上一页上一页下一页下一页返回返回由正态密度函数的几何特性易知由正态密度函数的几何特性易知 )(1)(xx 一般的正态分布，其分布函数一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态

21、分布可用标准正态分布的分布函数表达。若的分布函数表达。若X , X的分布函数的分布函数F(x)为为),(2 NdtexFxt 222)(21)( 则则令令st )(21)(22 xdsexFxs因此，对于任意的实数因此，对于任意的实数a,b(ab)，有有 abaFbFbXaP)()()(x 函数函数 写不出它的解析表达式，人们已编制了它写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。的函数表，可供查用。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2.12 公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在碰头的机会在1%以下来设计的以下来设计的.设男子身高

22、设男子身高X服从服从 =170(cm), =6(cm)的正态分布，即的正态分布，即XN（170，62），），问车门高度应如何确定？问车门高度应如何确定？ 解解 设车门高度为设车门高度为h(cm)，按设计要求，按设计要求PXh0.01或或PXh0.99，因为，因为XN（170，62），故），故上一页上一页下一页下一页返回返回1701701700.99,666XhhP XhP 查表得查表得 （2.33）=0.99010.99. 故取故取 ，即，即h=184. 1702.336h第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 设设X是离散型随机变量，是离散型随机变量，Y是是X的函数的函数Y=g(

23、X)。那那么么Y也是离散型随机变量。也是离散型随机变量。 设设y=g(x)为一个通常的连续函数，为一个通常的连续函数，X为定义在概率为定义在概率空间上的随机变量，令空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么那么Y也是一个定义在也是一个定义在概率空间上的随机变量。概率空间上的随机变量。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2.14 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X -1 0 1 1.5 3pk 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1求：求：X2的分布律的分布律.解解 由于在由于在X的取值范围内，事件的取值范围内，事件“X=0”，“X=1.5”，“X=3”分别与事件分别与事件“X2=0”，“

24、X2=2.25”，“X2=9”等价，所以等价，所以 上一页上一页下一页下一页返回返回PX2=0=PX=0=0.1， PX2=2.25=PX=1.5=0.3， PX2=9=PX=3=0.1. 事件事件“X2=1”是两个互斥事件是两个互斥事件“X=-1”及及“X=1”的和，的和，其概率为这两事件概率和，即其概率为这两事件概率和，即PX2=1=PX=-1+PX=+1=0.2+0.3=0.5.于是得于是得X2的分布律如下表所示的分布律如下表所示.上一页上一页下一页下一页返回返回X20 1 2.25 9p0.1 0.5 0.3 0.1定理定理2.2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x

25、)。函数函数g(x)为（为（-，+）内的严格单调的可导函数，则）内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量，且也是一个连续型随机变量，且Y的概率密度函数为的概率密度函数为其其他他 yyhyhfyfXY0)( )()(当函数当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有：可导且为严格单调函数时，有：其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函数，的反函数， =min（g(-),g(+)）,=max（g(-),g(+)）。证明证明: 若若y=g(x) 严格单调增加，则其反函数严格单调增加，则其反函数x=h(y)存在存在且也严格单调增加。且也严格单调增加。Y=g(X)在区间在区间( ，) 内取值，内