简单曲线的极坐标方程课件(选修4-4)

1、1.31.3简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f( , )=0有如下关系有如下关系()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少所有坐标中至少有一个有一个)符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解为坐标的点都在曲的所有解为坐标的点都在曲线上。线上。 则曲线的方程是则曲线的方程是f( , )=0 。 求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样建系建系 （适当的极坐标系）（适当的极坐标系）设点设点 （设（设M M（ ，) )为要求方程的曲线上任意一点）

2、为要求方程的曲线上任意一点）列等式（构造列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于，利用三角形边角关系的定理列关于M M的等式）的等式） 化简化简 （此方程此方程f(,)=0即为曲线的方程）即为曲线的方程）探 究( ,0)(0)( , )aC aa 如图，半径为 的圆的圆心坐标为你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满足的条件吗？xC(a,0)OA），（M的圆的极坐标方程。为半径圆心在就是所以，aaaCa),0)(0 ,(cos2例例1、已知圆、已知圆O的半径为的半径为r，建立怎样的极坐，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM5 3cos5si

3、n已知一个圆的方程是 求圆心坐思考：标和半径。3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为所以圆心为半径为）此圆过极点圆的极坐标方程为半径为（圆心为Oaaaa)cos(2)0)(,(练习以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC新知一：新知一： 圆的极坐标方程圆的极坐标方程( () )圆心在极点，半径为圆心在极点，半径为a a；( () )圆心在圆心在( (a a,0),0)，半径为，半径为a a；( () )圆心在圆心在( (a,a, / /2)2)，

4、半径为，半径为a a； a a 2acos 2acos 2asin 2asin 1:,A(85.,),3变式在极坐标平面上 求圆心半径为 的圆的方程cos()41、极坐标方程所表示的曲线是（ ） A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆D？圆心坐标和半径是什么表示的圆的、曲线的极坐标方程sin42)3, 5(、C)32, 5(、D310cos()3、圆 的圆心坐标是（ ）)0 , 5( 、A)3, 5(、BC(2,),r=22圆心坐标是半径是5 3cos5sin转化成直角坐已知标的思考：方程一个圆的方程是 如何再求圆心坐标和半径。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355

5、 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 两边同乘以 得即化为直角坐标为即所以圆心为半径是新知二：新知二：41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：cos()4把极坐标方程转化为直角坐标系下的方程方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin414)2(22 yx2(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化为直角坐标系为即2123:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以

6、两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC 极坐标方程分别是极坐标方程分别是cos和和sin的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少 22例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 oMx4 分析：分析：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/ 4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为(0)4 引例引例1、求过极点，倾角为

7、、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程。坐标方程。54 5(0)4 新知三新知三 过极点的直线极坐标方程过极点的直线极坐标方程2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或0 ()4R 或或5()4R (0)()R 表示极角为 的一条射线。表示极角为 的一条直线。例题例题2、求求过点过点A(a,0)(a0)，且，且垂直垂直于极轴的直线于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任意一点，连接意一点，连接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMM

8、OAOA即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。平行于极轴的直线。、求过点练习)4, 2(1AOHMA)4, 2( , )(2,)42 sin24sin ,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直线 上任意取点在中，即所以，过点平行于极轴的直线方程为的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2)3 , 2(2A程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲线是、极坐标方程)(31sin3RA、两条相交的直线、两条相

9、交的直线B、两条射线、两条射线C、一条直线、一条直线D、一条射线、一条射线所以是两条相交直线两条直线即所以得可得解：由已知042:, 042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直线关于直线 对称的直线方程为、 ( )B2sin22化为极坐标方程为即的对称直线的问题关于线解：此题可以变成求直yxyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125、直线的极坐标方程是的，则过圆心与极轴垂直一个圆的方程为、在极坐标系中，已知DCBA( )C4cos, 4cos2cos, 2sinsin46、直线的方程是相切的一条

10、、在极坐标系中，与圆DCBA( )B2cos24)2(04sin42222化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的即的化为直角坐标方程是解：圆xyxyyx在圆心的极坐标为在圆心的极坐标为A(4，0)，半径为，半径为4的圆中，求过极点的圆中，求过极点O的弦的中点的弦的中点的轨迹的轨迹【变式变式1】解解设设M(，)是轨迹上任意一点连接是轨迹上任意一点连接OM并延长交圆并延长交圆A于点于点P(0，0)，则有，则有0，02.由圆心为由圆心为(4，0)，半径为，半径为4的圆的极坐标的圆的极坐标方程为方程为8cos ，得得08cos 0.所以所以28cos ，即即4cos .故所求轨迹方程是故所求轨迹方程是4cos .它表示以它表示以(2，0)为圆心，为圆心，2为半径的圆为半径的圆小结：小结：直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点2、过轴上某定点，