第二章平面力系

1、第二章第二章平面力系平面力系平面汇交力系的合成与平衡平面力系平面力偶系的合成与平衡平面任意力系的合成与平衡共点力系共点力系力偶系力偶系21 21 力系的基本类型力系的基本类型共点力系共点力系各力均作用于同一点的力系。各力均作用于同一点的力系。力力 偶偶作用线平行、指向相反而大小相等的作用线平行、指向相反而大小相等的 两个力。两个力。力力 偶偶 系系若干个力偶组成的力系。若干个力偶组成的力系。平面任意力系平面任意力系各力的作用线都在同一平面内的各力的作用线都在同一平面内的 力系。否则为空间力系。力系。否则为空间力系。22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法1 1、合成的几

2、何法：、合成的几何法：A AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3表达式：表达式：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AF F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4 为平面共点力系：为平面共点力系：4321FFFFR 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。为力多边形。2 2、力的多边形规则：、力的多边形规则：22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法R RF F1 1

3、B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A 空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。间图形。给实际作图带来困难。给实际作图带来困难。22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A1 1、共点力系的合成结果、共点力系的合成结果 0F 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。的矢量和等于零

4、。 共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。力系的力多边形的封闭边表示。nii1F矢量的表达式矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ + Fn2 2、共点力系平衡的充要几何条件：、共点力系平衡的充要几何条件：22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法22 22 共点力系合成与平衡的几何法共点力系合成与平衡的几何法A AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3R RF F1 1B BF F2 2C CF F

5、3 3D DF F4 4E EA A 反之，当投影反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出已知时，则可求出力力 F F 的大小和方向：的大小和方向：23 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解一、力在坐标轴上的投影：一、力在坐标轴上的投影：cosxFF cosFFy2y2xFFFFFFFyxcos cos结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。该轴正向间夹角的余弦。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy yA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F

6、F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。同一轴上的投影的代数和。证明：证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。合力投影定理：合力投影定理：24 24 共点力系合成与平衡的解析共点力系合成与平衡的解析法法合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推广到任意多个力推广到

7、任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面组成的平面共共点力系，可得：点力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法abFx1bcFx2dcFx3dcbcabadRxxxxxFFFR321xnxxxxxFFFFFR321xnxxxFFFFR21xynyyyyFFFFR21 合力的大小合力的大小2222yxyxFFRRR合力合力R R 的方向的方向xyFF tg 根据合力投影定理得根据合力投影定理得24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法共点力系平衡的充要解析条件：共点力系平衡的充要

8、解析条件： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。投影的代数和分别等于零。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程平面共点力系的平衡方程: : 0 xF 0yF投影法的符号法则：投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。示原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤: :1.1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设选分离体，画受

9、力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。的已知条件。2.2.建立坐标系。建立坐标系。3.3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程F Fx x= =0 0，F Fy y= =0 0， 求解。求解。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法25 25 力偶及其性质力偶及其性质F F1 1F F2 2d d一、一、 力偶和力偶矩力偶和力偶矩1 1、力偶、力偶大小相等的二反向平行力。大小相等的二反向平行力。 、作用效果：引起物体的转动。、作用效果：引起物体的转动。、力和力偶是静力学的二基本要素。、力和力偶是静力学的二基本要素。 力偶特性二

10、：力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。等效），因而也只能与力偶平衡。力偶特性一：力偶特性一：力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。一个力。工程实例工程实例25 25 力偶及其性质力偶及其性质2 2、力偶臂、力偶臂力偶中两个力的作用线之间的距离。力偶中两个力的作用线之间的距离。 3 3、力偶矩、力偶矩力偶中任何一个力的大力偶中任何一个力的大 小与力偶臂小与力偶臂d d 的乘积，加上的乘积，加上正负号。正负号。 F F1 1F F2 2d d力偶矩正负规定：力偶矩正

11、负规定：若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。在平面内，力偶矩是代数量号；反之，取负号。在平面内，力偶矩是代数量量纲：力量纲：力长度，牛顿长度，牛顿 米（米（N N m m）. .力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向； 力偶的作用平面。力偶的作用平面。25 25 力偶及其性质力偶及其性质Fdm二、力偶的等效条件二、力偶的等效条件 同一平面上力偶的等效条件同一平面上力偶的等效条件25 25 力偶及其性质力偶及其性质F Fd dF F d d 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。因此，以后可用

12、力偶的转向箭头来代替力偶。= = 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。1 1、力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的、力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的 作用效应。作用效应。2 2、在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任、在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力和力偶臂的大小，而不影响它对物体的作用意改变力和力偶臂的大小，而不影响它对物体的作用 由上述推论可知，在同一平面内研究有关力偶的问题由上述推论可知，在同一平面内研究有关力偶的问题时

13、，只需考虑力偶矩，而不必研究其中力的大小和力时，只需考虑力偶矩，而不必研究其中力的大小和力偶臂的长短。偶臂的长短。 25 25 力偶及其性质力偶及其性质综上所述，可以得出下列两个重要推论：综上所述，可以得出下列两个重要推论： 平面力偶系可合成为一合力偶。合力偶矩的大平面力偶系可合成为一合力偶。合力偶矩的大小等于各已知力偶矩的代数和。小等于各已知力偶矩的代数和。inmmmmM21一、力偶系的合成一、力偶系的合成2-6 2-6 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡 力偶系中各力偶矩的代数和等于零。力偶系中各力偶矩的代数和等于零。0im二、平面力偶系平衡的充要条件二、平面力偶系平衡的充要条件2-6

14、2-6 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡例题例题 图示的铰接四连杆机构图示的铰接四连杆机构OABDOABD，在杆，在杆OA OA 和和BD BD 上分别作用着矩为上分别作用着矩为 m1 1 和和 m2 2 的力偶，而使机构在图的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知示位置处于平衡。已知OA OA = = r r，DB DB = 2= 2r r，= 30= 30，不计杆重，试求不计杆重，试求 m1 1 和和 m2 2 间的关系。间的关系。D Dm2B BN ND DS SBABAO Om1N NO OS SABABA AO OB BD Dm1m2A A2-6 2-6 力偶系的合成与平衡力偶系

15、的合成与平衡解：解： 杆杆ABAB为二力杆。为二力杆。分别写出杆分别写出杆AO AO 和和BD BD 的平衡方程：的平衡方程：2-6 2-6 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡D Dm2B BN ND DS SBABAO Om1N NO OS SABABA A0cos1rSmAB0cos22rSmBA, 0m122mmSSBAAB3232F FA AO Od dF FA AO Od dFF mA AO OF= = = 把力把力F F 作用线向某点作用线向某点O O 平移时，须附加一个力偶，平移时，须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力此附加力偶的矩等于原力F F 对点对点O O 的矩。的矩。

16、 证明：证明：一、力线平移定理：一、力线平移定理：FFF FmFdm027 27 力线平移定理力线平移定理 二、几个性质：二、几个性质：1 1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O O点的位点的位置的不同而不同。置的不同而不同。2 2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。大小相等的平行力。3 3、力线平移定理是把刚体上平面任意

17、力系分解为一、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。227 7 力线平移定理力线平移定理28 28 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 主矢与主矩主矢与主矩 A A3 3O OA A2 2A A1 1F F1 1F F3 3F F2 21F2F3Fm1O Om2m3RLOO O= = = 应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这

18、。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点种变换的方法称为力系向给定点O O 的简化。点的简化。点O O 称为称为简化中心。简化中心。一、力系向给定点一、力系向给定点O O 的简化的简化 共点力系共点力系F F1 1 、 F F2 2 、 F F3 3 的合成结果为一作用点在的合成结果为一作用点在点点O O 的力的力R R 。这个力矢。这个力矢R R 称为原平面任意力系的主矢。称为原平面任意力系的主矢。 附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用偶，这力偶的矩用L LO O 代表，称为原平面任意力系对代表，

19、称为原平面任意力系对简化中心简化中心 O O 的主矩。的主矩。2828 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 主矢与主矩主矢与主矩3213210FmFmFmmmmLooo321321FFFFFFR结论：结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。的主矩。推广：推广：平面任意力系对简化中心平面任意力系对简化中心O O 的简化结果的简化结果主矩：主矩：228 8 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 主矢与主矩主矢与主矩FFFFRn21 FmFmFmFmLonooo2

20、10主矢：主矢：二、几点说明：二、几点说明：1 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。中心的位置无关。2 2、平面任意力系的主矩与简化中心、平面任意力系的主矩与简化中心O O 的位置的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。指明简化中心。228 8 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 主矢与主矩主矢与主矩228 8 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 主矢与主矩主矢与主矩方向余弦：方向余弦：2 2、主矩、主矩L Lo o可由下式计算：可由下式计算：三、主矢、主矩的求法：三、主矢、主

21、矩的求法：1 1、主矢可用力多边形规则作图求得，或用解析、主矢可用力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。法计算。228 8 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 主矢与主矩主矢与主矩 FmFmFmFmLonooo2102222yxyxFFRRRRFxRx,cosRFyRy,cos= = =L LO OO ORO ORR RR RL Lo o A AO OR R RL Lo o A A1 1、R R =0=0，而，而L LO O00，原力系合成为力偶。这时力系主，原力系合成为力偶。这时力系主矩矩L LO O 不随简化中心位置而变。不随简化中心位置而变。2 2、L LO O=0=0，而，而R R

22、 00，原力系合成为一个力。作用于点，原力系合成为一个力。作用于点O O 的力的力R R 就是原力系的合力。就是原力系的合力。3 3、R R 00，L LO O00，原力系简化成一个力偶和一个作用，原力系简化成一个力偶和一个作用于点于点O O 的力。这时力系也可合成为一个力。的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：说明如下：29 29 平面任意力系简化结果的讨论平面任意力系简化结果的讨论. .合力矩定理合力矩定理简化结果的讨论简化结果的讨论 RFmRLAO00综上所述，可见：综上所述，可见：4 4、 R R =0=0，而，而L LO O=0=0，原力系平衡。，原力系平衡。、平面任意力系若不平

23、衡，则当主矢主矩均不、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。为零时，则该力系可以合成为一个力。 、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。29 29 平面任意力系简化结果的讨论平面任意力系简化结果的讨论. .合力矩定理合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。代数和。29 29 平面任意力系简化结果的讨论平面任意力系简

24、化结果的讨论. .合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理 FmRmoo yoxooFmFmFmxxoyFFmyyoxFFmyxOyFxFFxyABF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060例题例题 在长方形平板的在长方形平板的O O、A A、B B、C C 点上分别作用着点上分别作用着有四个力：有四个力：F F1 1=1kN=1kN，F F2 2=2kN=2kN，F F3 3= =F F4 4=3kN=3kN（如图），试（如图），试求以上四个力构成的力系对点求以上四个力构成的力系对点O O 的简化结果，以及该的简化结

25、果，以及该力系的最后的合成结果。力系的最后的合成结果。解：解：取坐标系取坐标系OxyOxy。1 1、求向、求向O O点简化结果：点简化结果：求主矢求主矢R R ：29 29 平面任意力系简化结果的讨论平面任意力系简化结果的讨论. .合力矩定理合力矩定理598. 030cos60cos432FFFFRxx614. 0 cosRRxx、R7940 22.RRRyxx652 , R789. 0 cosRRyy、Ry5437 , RR R O OA AB BC C x xy y29 29 平面任意力系简化结果的讨论平面任意力系简化结果的讨论. .合力矩定理合力矩定理768. 0213232130sin

26、60sin421FFFFRyyF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060 求主矩求主矩： FoOmL5 . 030sin3260cos2432FFF（2 2）、求合成结果：合成为）、求合成结果：合成为一个合力一个合力R R，R R的大小、方向与的大小、方向与R R相同。其作用线与相同。其作用线与O O点的垂点的垂直距离为：直距离为：m51. 0RLdoR R / /O OA AB BC C x xy yL Lo oR Rd d29 29 平面任意力系简化结果的讨论平面任意力系简化结果的讨论. .合力矩定理合力矩定理F

27、F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060 0 , 0 , 0FoyxmFF平衡方程其他形式：平衡方程其他形式： 0 , 0 , 0 FFBAxmmF 0 , 0 , 0FFFCBAmmmA A、B B 的连线不和的连线不和x x 轴相垂直。轴相垂直。A A、B B、C C 三点不共线。三点不共线。平面任意力系平衡的充要条件：平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也，又力系对任一点的主矩也等于零。等于零。平衡方程：平衡方程：210 210 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面

28、任意力系的平衡条件和平衡方程解：解：1 1、取伸臂、取伸臂ABAB为研究对象为研究对象2 2、受力分析如图、受力分析如图y yT TP PQ QE EQ QD Dx xB BA AE EC CD DF FAyAyF FAxAxa ab bB BF FA AC CQ QD DQ QE El例题例题 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB AB 重重P P=2200N=2200N，吊车，吊车D D、E E 连同吊起重物各重连同吊起重物各重Q QD D= =Q QE E=4000N=4000N。有关尺寸为：有关尺寸为：l = 4.3m= 4.3m，a a = 1.5m= 1

29、.5m，b b = 0.9m = 0.9m，c c = = 0.15m, 0.15m, =25=25。试求铰链。试求铰链A A 对臂对臂AB AB 的水平和垂直的水平和垂直反力，以及拉索反力，以及拉索BF BF 的拉力。的拉力。210 210 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程3 3、选列平衡方程：、选列平衡方程：:0 xF0cosTFAx:0yF0sinTQPQFEDAy :0FmA0sincos2lTcTblQlPaQED4 4、联立求解，可得：、联立求解，可得：T T = 12456 N= 12456 NF FAxAx= 11290 N= 11290 NF

30、FAyAy= 4936 N= 4936 N210 210 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程y yT TP PQ QE EQ QD Dx xB BA AE EC CD DF FAyAyF FAxAx解：解：1 1、取梁、取梁ABAB为研究对象。为研究对象。2 2、受力分析如图，其中、受力分析如图，其中Q Q= =q q. .ABAB=100=1003=300N3=300N；作；作用在用在ABAB的中点的中点C C 。B BA AD DQ QN NAyAyN NAxAxN ND DC CM My yx xB BA AD D1m1mq q2m2mM M例题例题 梁梁A

31、BAB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度已知载荷集度q q = 100N/m = 100N/m，力偶矩大小，力偶矩大小M = 500 M = 500 N N m m。长度。长度AB AB = 3m= 3m，DBDB=1m=1m。求活动铰支。求活动铰支D D 和固定和固定铰支铰支A A 的反力。的反力。210 210 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程3 3、列平衡方程：、列平衡方程：:0 xF0AxN:0yF0DAyNQN :0FmA0223MNQD4 4、联立求解：、联立求解： N ND D= 475 N= 475

32、N N NAxAx= 0= 0 N NAyAy= -175 N= -175 N210 210 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程B BA AD DQ QN NAyAyN NAxAxN ND DC CM My yx x2580258020832083770770A AB BC CT TQ Q解：解：1 1、取机翼为研究对象。、取机翼为研究对象。2 2、受力分析如图、受力分析如图. .Q QN NAyAyN NAxAxM MA AB BC CT TA A例题例题 某飞机的单支机翼重某飞机的单支机翼重 Q Q=7.8 kN=7.8 kN。飞机水平匀。飞机水平匀速直线飞行

33、时，作用在机翼上的升力速直线飞行时，作用在机翼上的升力 T T= 27 kN= 27 kN，力，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约束力。束力。210 210 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程:0 xF0AxN:0yF0TQNAy :0FmA0ABTACQMA4 4、联立求解：、联立求解： M MA A=-38.6 kN=-38.6 kN m (m (顺时针）顺时针） N NAxAx= = 0 0 N NAyAy=-19.2 kN =-19.2 kN （向下）（向下）3 3、列平衡方程：、列平衡方程：210

34、210 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程Q QN NAyAyN NAxAxM MA AB BC CT TA AG GN NA AQ QW WP PN NB BA AB B3.03.02.52.51.81.82.02.0解：解：1 1、取汽车及起重机为研究对象。、取汽车及起重机为研究对象。2 2、受力分析如图。、受力分析如图。例题例题 一种车载式起重机，车重一种车载式起重机，车重Q Q = 26kN = 26kN，起重机伸臂重，起重机伸臂重G G= = 4.5kN4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重，起重机的旋转与固定部分共重W W = 31kN= 31kN。尺

35、寸如图所。尺寸如图所示，单位是示，单位是m m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量试求车子不致翻倒的最大起重量P Pmaxmax。PGQNA5 . 55 . 228 . 31:0yF0WGQPNNBA :0FmB08 .325 .25 .5ANQGP4 4、联立求解：、联立求解： 3 3、列平衡方程：、列平衡方程：5 5、不翻条件：、不翻条件：N NA A00kNGQP5 .75 .225 .51由由上上式式可可得得故最大起重重量为故最大起重重量为 P Pmaxmax= 7.5 kN= 7.5 kNG GN NA AQ

36、QW WP PN NB BA AB B3.03.02.52.51.81.82.02.0一、几个概念：一、几个概念：1 1、物体系、物体系 由若干个物体通过约束组成的系统由若干个物体通过约束组成的系统2 2、外、外 力力 物体系以外任何物体作用于该系统的力物体系以外任何物体作用于该系统的力3 3、内、内 力力物体系内部各物体间相互作用的力物体系内部各物体间相互作用的力物体系平衡方程的数目：物体系平衡方程的数目： 由由n n个物体组成的物体系，总共有不多于个物体组成的物体系，总共有不多于3 3n n个独立个独立的平衡方程。的平衡方程。211 211 物体系的平衡问题物体系的平衡问题静定静定超静定超

37、静定超静定超静定超静定超静定 二、静定与超静定概念：二、静定与超静定概念： 1 1、静定问题、静定问题 当系统中未知量数目等于或少当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。于独立平衡方程数目时的问题。 2 2、超静定问题、超静定问题 当系统中未知量数目多于独立当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。解：解：1 1、取、取AC AC 段研究，受力分析如图。段研究，受力分析如图。例题例题 三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C C 连接连接起来，又用铰链起来，又用铰链A A、B B 与

38、基础相联结。已知每段重与基础相联结。已知每段重G G=40 =40 kNkN，重心分别在，重心分别在D D、E E 处，且桥面受一集中载荷处，且桥面受一集中载荷P P=10 =10 kNkN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是力。尺寸如图所示，单位是m m。物体系的平衡问题物体系的平衡问题P P3 3DEABCN NCyCyN NCxCxN NAyAyN NAxAxDAC:0 xF0CxAxNN:0yF0GNNCyAy :0FmC0566GNNAyAx列平衡方程：列平衡方程：2 2、再取、再取BC BC 段研究，受力分

39、析如图。段研究，受力分析如图。列平衡方程：列平衡方程：:0 xF0BxCxNN:0yF0GPNNByCy06653BxByNNGP :0FmC物体系的平衡问题物体系的平衡问题yNCNCxByNBxNP PBCEN NCyCyN NCxCxN NAyAyN NAxAxDACCyCyCxCxN NNN , 联立求解：可得联立求解：可得 N NAxAx= -N= -NBx Bx = N= NCx Cx = = 9.2 kN9.2 kN N NAyAy= = 42.5 kN42.5 kN N NByBy= = 47.5 kN47.5 kN N NCyCy= = 2.5 kN2.5 kN N NCx C

40、x 和和 N N CxCx、 N NCy Cy 和和 N N CyCy是二对作用与反作用力。是二对作用与反作用力。物体系的平衡问题物体系的平衡问题解：解：1 1、取、取CE CE 段为研究对象，受力分析如图。段为研究对象，受力分析如图。P Pl/8q qB BA AD DM MC CH HE El/4l/8l/4l/4M MQ Q1 13l/8C CE EH Hl/8N NC CN NE E例题例题 组合梁组合梁AC AC 和和CE CE 用铰链用铰链C C 相连，相连，A A端为固定端，端为固定端，E E 端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8

41、 m =8 m，P P=5 kN=5 kN，均布载荷集度，均布载荷集度q q=2.5 kN/m=2.5 kN/m，力偶矩的大小，力偶矩的大小M= = 5kN5kNm m，试求固定端，试求固定端A A、铰链、铰链C C 和支座和支座E E 的反力。的反力。41lqQ物体系的平衡问题物体系的平衡问题:0yF04ECNlqN :0FmC0284lNMllqE列平衡方程：列平衡方程：2 2、取、取AC AC 段为研究对象，受力分析如图。段为研究对象，受力分析如图。联立求解：可得联立求解：可得 N NE E=2.5 kN =2.5 kN （向上）（向上） N NC C=2.5 kN =2.5 kN （向

42、上）（向上）Q Q2 2P PM MA Al l/4/4A AC CH Hl l/8/8l l/8/8N NA ACN42lqQM MQ Q1 13 3l l/8/8C CE EH Hl l/8/8N NC CN NE E物体系的平衡问题物体系的平衡问题:0yF04lqPNNCA :0FmA028348lNllqlPMCA列平衡方程：列平衡方程：联立求解：可得联立求解：可得 M MA A= 30 kN= 30 kNm m N NA A= -12.5 kN= -12.5 kN42lqQQ Q2 2P PM MA Al/4A AC CH Hl/8l/8N NA ACN物体系的平衡问题212 212

43、 平面静力学在工程中的应用平面静力学在工程中的应用- -桁架桁架1 1、桁架、桁架 一种由若干杆件彼此在两端用铰链一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形状不变的结构。连接而成，受力后几何形状不变的结构。如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。一、概念：一、概念：2 2、平面桁架、平面桁架所有杆件都在同一平面内的桁架。所有杆件都在同一平面内的桁架。3 3、节、节 点点 桁架中杆件的铰链接头。桁架中杆件的铰链接头。4 4、杆件内力、杆件内力 各杆件所承受的力。各杆件所承受的力。5 5、静定桁架、静定桁架 如果从桁架中任意抽去一根杆如果从桁架中任意抽去一根杆

44、件，则桁架失去形状的固定性。件，则桁架失去形状的固定性。1 1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。 二、桁架计算的常见假设：二、桁架计算的常见假设： 三、桁架结构的优点：三、桁架结构的优点： 可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量， 节约材料。节约材料。2 2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。3 3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端 的节点上，这样的桁架称为理想桁架。的节点上，这样的桁架称为理想桁

45、架。四、计算桁架杆件内力的方法：四、计算桁架杆件内力的方法： 1 1、节点法、节点法 - - 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁应用共点力系平衡条件，逐一研究桁 架上每个节点的平衡。架上每个节点的平衡。2 2、截面法、截面法 - - 应用平面任意力系的平衡条件，应用平面任意力系的平衡条件， 研究桁架由截面切出的某部分的平衡。研究桁架由截面切出的某部分的平衡。 a aa aa aa aP P1 1A AD DC CB BE EF FP P2 2解法解法1:1:（节点法）（节点法）1 1、取整体为研究对象、取整体为研究对象, ,受力分析如图受力分析如图. .:0 xF02 PNAx:0yF01PNN

46、AyB :0FmA0321aNaPaPB 列平衡方程：列平衡方程：例题例题 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力P P1 1=4 =4 kNkN，水平力，水平力P P2 2=2 kN=2 kN。联立求解：联立求解： N NB B=2kN =2kN N NAyAy=2kN =2kN N NAxAx=-2kN=-2kNP P2 2a aa aa aa aP P1 1A AB BC CD DE EF FN NAyAyN NB BN NAxAx:0 xF045cos1 SNAy:0yF045cos12SSNAx列平衡方程：列平衡方程：2 2、取节点、取节点A A，受

47、力分析如图。，受力分析如图。联立求解：联立求解：kNS221kNS42N NAxAxN NAyAyA AS S2 2S S1 1P P2 2a aa aa aa aP P1 1A AB BC CD DE EF FN NAyAyN NB BN NAxAx512469837N NB B=2kN =2kN N NAyAy=2kN =2kN N NAxAx=-2kN=-2kN:0 xFkNS24:0yF045cos13 SS列平衡方程：列平衡方程：3 3、取节点、取节点F F，受力分析如图。，受力分析如图。S S4 4S S1 1S S3 3F F045cos14SSkNS23联立求解：联立求解：P

48、P2 2a aa aa aa aP P1 1A AB BC CD DE EF FN NAyAyN NB BN NAxAx5124698374 4、取节点、取节点D D，受力分析如图。，受力分析如图。:0 xF045cos53SSPD:0yF045cos562SSS列平衡方程：列平衡方程：S S3 3S S2 2P PD DD DS S6 6S S5 5联立求解：联立求解：kNS225kNS26P P2 2a aa aa aa aP P1 1A AB BC CD DE EF FN NAyAyN NB BN NAxAx512469837列平衡方程：列平衡方程：5 5、取节点、取节点C C，受力分析

49、如图。，受力分析如图。:0 xF07S:0yF069SSS S7 7S S6 6C CS S9 9解得：解得：kNS29P P2 2a aa aa aa aP P1 1A AB BC CD DE EF FN NAyAyN NB BN NAxAx512469837:0 xF045cos89 SS:0yF045sin8BNS列平衡方程：列平衡方程：6 6、取节点、取节点B B，受力分析如图。，受力分析如图。联立求解：联立求解：kNS229kNS228N NB BB BS S9 9S S8 8P P2 2a aa aa aa aP P1 1A AB BC CD DE EF FN NAyAyN NB

50、BN NAxAx512469837解法解法2:2:（截面法）（截面法）1 1、取整体为研究对象，受力分析如图。、取整体为研究对象，受力分析如图。列平衡方程：列平衡方程：联立求解联立求解 N NB B=2 KN =2 KN N NAxAx=-2kN =-2kN N NAyAy=2 KN =2 KN :0 xF02 PNAx:0yF01PNNAyB :0FmA0321aNaPaPBP P2 2a aa aa aa aP P1 1A AB BC CD DE EF FN NAyAyN NB BN NAxAx512469837列平衡方程：列平衡方程：2 2、取左部分为分离体，受力分析如图。、取左部分为分

51、离体，受力分析如图。联立求解：联立求解：a aa aP P1 1A AD DF FN NAyAyN NAxAxS S5 5S S4 4S S6 6:0 xF045cos546SSNSAx:0yF045cos51SPNAy:0DM04aNaSAykN 225SkNS26kNS24P P2 2a aa aa aa aP P1 1A AB BC CD DE EF FN NAyAyN NB BN NAxAx512469837 2-13 摩摩 擦擦摩擦按物体间的运动状态分滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦1. 静滑动摩擦定律FPN摩擦力F: 方向: 恒与物体相对滑动的 趋势方向相反 大小: 一般状态下

52、由平衡方程确定,当物体处于将动未动的临界状态 时,由静滑动摩擦定律计算.Fmax=NfsN:法相反力f:静滑动摩擦系数,为常数,由材料决定 滑动摩擦G 因此, 0 F Fmax作用位置: 作用在两物体的接触面上沿公切线2. 动滑动摩擦定律F =N f N:法相反力f :动滑动摩擦系数,为常数,由材料决定 带有摩擦的平衡问题 带有摩擦的平衡问题的解法与平面一般力系的解法基本相同,只是在分析受力时要考虑摩擦力,并正确地判断出摩擦力的方向,考虑临界状态并补充摩擦定律.其结果往往有一个范围.例: 重为G的物体放在倾角为的斜面上,今在该物体上作用一水平力Q,问能使该物体保持平衡时Q的范围.已知 f=0.5.解: 解除约束,作受力图 考察该物体可能的运动趋势,分别考虑每一运动趋势,画出对应的摩擦力, 建立适当的坐标系,列平衡方程.NF1 F2 G若不告诉物体的尺寸,则属汇交力系,否则属于一般力系. 在临界状态并补充摩擦定律 Fmax=Nf 将各种趋势的结果比较分析,得出待求的范围.Q(1). 下滑时:摩擦力朝上xy00YXQcos+F-Gsin=0-Qsin+N-Gco