球速和旋转与篮球命中的关系v10

1、球速和旋转与篮球命中的关系姓名学号系别班号E-mail电话张翀2015010138土木工程结51xixizhongy师超2015010152土木工程结51564738677、问题分析1.1 为什么提出这个问题：篮球运动中，在投篮时，人们较多关注出手时的方向和球的轨迹，对相关问题求解时也是简单假设球只要落进篮筐的范围内就一定会进；然而事实情况中，一个球的轨迹即使落在篮筐的范围内也有很大的可能性以不同的方式弹出去，而我们就是要对球与篮筐接触的这一极短过程进行研究，得出球速（矢量）和旋转（矢量）对篮球命中的影响。1.2 如何研究这一问题(大体过程)

2、：我们打算先查阅资料，对篮球以及篮筐的各种力学参数有一些了解，再通过合理的模型假设，把实际问题转变为一定理想条件下的力学问题，最后再利用物理学知识和数学知识进行求解。在得到这一问题的不同情况的解之后，可以用它来对我们在篮球运动中投篮动作进行指导。二、模型假设为便于模型的建立和计算，在查阅资料后，我们对篮球命中篮筐的过程作出如下的假设：1、假设篮球是一个分布均匀的半径R=0.12m，质量m=0.6kg的实心球体。2、在此处的模型计算中，篮筐只需要考虑篮圈的部分，即是一个内径为d=0.45m，外径d'=0.49m，高度h=2×10-2m的环柱形铁圈。也就是说，任意一个篮圈的过轴线

3、的截面都是2×2 (cm)的正方形。3、篮球与篮筐的摩擦系数假，在碰撞时间足够短的话，使用静摩擦系数，经过查阅资料，取铁-皮制材料的静摩擦系数=0.55.4、假设篮球飞行和碰撞时不受风力影响，空气阻力也忽略不计。5、我们针对篮球与篮筐碰撞的恢复系数做了简单的实验：利用篮球、铁板和竖直的米尺，测量篮球与铁板斜撞前后的法向速度变化。铁板可以认为固定在地面上，篮球的速度使用高速摄影（1/100s）固定位置连续拍摄计算得出，为了保证速度计算精确，尽量使篮球不发生自转。在控制篮球速度足够快的情况下，可以认为篮球的射入与弹出都是匀速直线运动，测量多组数据取平均值如下：组数12345击中位置/入射

4、区长度(cm)5245585350入射区捕捉数(n1)1513161716出射区捕捉数(n2)1820141820恢复系数e=v1v2=s2/n2s1/n10.770.800.820.840.80取平均值得到篮球与篮筐碰撞的恢复系数e=0.806.6、假设球和筐碰撞处是一个点，也就是球在碰撞过程中看作不发生形变；同时接触面可以看作是球过切点的切面。三、模型建立3.1 碰撞位置与速度方向特殊，同时忽略旋转忽略旋转的影响，并且站在篮筐轴线正前方投球，这时候速度方向应与篮筐截面平行、角速度方向与质心速度垂直。3.1.1 一次反弹直接进球如图所示为球与筐碰撞瞬间的水平视图。P为篮筐上截面，O为球心，碰

5、撞位置假设为一点A，AO与水平面的夹角为；v为球的质心速度，碰撞瞬间速度与水平面夹角为，根据实际在篮下投篮的情况，球的轨迹的最高点应高于篮筐，大多数情况下>。我们还知道实际情况下篮球不能打在前筐上，因此还能确定一个的最小值。由于球在筐上方飞行速度极快，可以近似认为匀速直线运动，的假设的临界值为0，通过作图以及几何关系可得R(1-sin)d-Rcos=Rl=tan0解得l=d-Rcos1-sin, 也就是>0=atg1-sin(d/R)-cos球的出手还伴随着球的转动，根据实际情况，篮球出手时从罚球队员方向看球应该是向下旋转，在上图中，球的角速度的方向为垂直于纸面向里。在空中自转的篮

6、球为绕过球心的某一轴旋转，可以得出球旋转时的转动惯量I=25mR2将速度v沿碰撞的面的法线以及垂直于法线分解，得到法向速度vn=vcos(-) 和切向速度vt=vsin(-).根据假设可知，碰撞后法向速度满足vn'=evn=evcos(-)vn', vn方向相反，其中e=0.806是恢复系数。考虑碰撞时间极短，因此忽略重力的影响，沿法向根据动量定理有Nt=mv=mvn'-vn=m(1+e)vcos(-)其中N为碰撞瞬间篮筐对篮球的（沿径向）的平均作用力，则切向平均静摩擦力为f=N代入上式，得到ft=m1+evcos-在切线方向上，取切点也即碰撞点A, 取垂直于上图纸面向

7、里为正，球对A的角动量为L=I+R×p=I+R×mvt根据切线方向动量定理，有ft=mvt'-mvt对于球心根据角动量定理，有f×Rt=I'-I对篮球表面A点速度，可知f与vt-×R方向相反，在实际投球时，如果速度方向平行于篮圈截面，因为忽略了角速度的大小对切向速度的影响，所以认为vt-×R的方向与vt方向相同，也就是f的方向与vt方向相反。根据上述公式，可知质心的切向速度vt减小，球的旋转角速度增加，由(1.4), (1.6)得到vt'=v(sin-1+ecos-)篮球接触篮筐后反弹，假设反弹的篮球可以进筐得分，先考虑

8、最简单的，也就是不经过第二次反弹直接进入的情况。如右图所示，篮球能刚好不接触篮筐直接进球的条件是：当球心在筐的中部平面上时，球的另一边刚好接触篮筐。可知篮球反弹后作斜抛运动，将速度vt', vn'水平竖直方向正交分解，有vy=vn'sin-vt'cosvx=vn'cos+vt'sin将式(1.1), (1.7)代入，也就是vy=vecos-sin-sin-cos+1+ecos-cosvx=vecos-cos+sin-sin-1+ecos-sin为了使球反弹，要求vx>0，而对于vy，当vy0时可以认为球向下反弹进筐，在此便不作讨论。临界条件

9、下，斜抛运动的水平竖直方向位移为sxd-R1+cossy=Rsin+h 忽略空气阻力，篮球受到的合外力加速度为g=9.80m/s2, 因此sx=vxt sy=-vyt+12gt2解得t=vy+vy2+2gsyg将(1.12), (1.13)代入(1.11)中，得到vx(vy+vy2+2gsy)g(d-R1+cos)取cos=4，解不等式并用角度制表示解集，同时结合式(1.1)，得到>0=5°30'. 又由于(1.10)，要求vx>0，也就是atg->10.6°, 即>55°36，发现当v<1.98m/s（近似值）时，对于(55

10、°36,90°) 不等式一定成立。取v=1.98m/s，解得55°36<81°52'；取v=2m/s，解得55°36<80°35'；取v=3m/s，解得55°36<63°50'；取v=5m/s，解得55°36<58°23'；取v=7m/s，解得55°36<57°00'；取v=10m/s，解得55°36<56°17'.从上述数据中可以看出，当罚球队员站在篮筐正前方投篮，并且球

11、打筐的位置固定（cos=4）时，为了使球一次反弹后直接进球，当球速越来越大，允许的球射入角度最大值就越小。由于篮筐的高度和罚球队员出手的高度固定，球在飞行过程中由动能定理有mgH=12m(v02-v2)球打篮筐的速率只和出手的速率有关。也就是说，如果要以更快的速度投球并且命中，则需要罚球队员站在更远的位置出手；相反，当罚球队员站在更远处投球时，就需要控制球的角度不能太高。这一结论符合实际情况。从上述数据中可以看出球速角度的范围存在最小值=55°36，这是因为我们在此处假设的模型是让球在一次反弹后进筐，如果<55°36，根据式(1.10)发生的将是球向正前方反弹，然后打

12、到篮板。至于打板后反弹会不会进筐，我们之后再作具体的讨论。同时我们发现，只要球打筐的位置固定，并且球速足够慢，即使球入射的角度再高，篮球都可以命中。我们定义在打点位置角度下，确保以最大的角度射入还能命中的最小球速为v，根据前面的结论有v45°1.98m/s然而实际情况下，投手投球往往只考虑球击中的位置，相比球出手的速度方向（高手或低手）则更作为动作训练的一部分。那么如果同时改变打筐的位置呢？此时我们令v确定，改变的值，解不等式(1.10)，得到在不同下的v. 根据类似的计算可以得到v30°3.1m/s，v60°1.77m/s.不难看出，角度越大时，确保命中的最小球

13、速也相应减小，结合上面的图示可得，投球的打点越靠后（即越大），在大力投射时就越应该控制速度的方向；相反如果投球打点靠前，就可以放心地使用较大速度投球。这就是为什么打板容易进，打板与篮圈连接的位置更容易弹回来。假如=0，也就是我们所说的空心球，计算解得v0，因为篮球几乎不与篮圈发生相互作用，自然以极大的速度也不会反弹。3.1.2 二次以上反弹后进球由式(1.12)sx=vxt sy=-vyt+12gt2通过作图可以看出，球反弹到前框并发生二次反弹的条件是存在某一时刻t0，满足 (d-Rcos-sx)2+(Rsin-sy)2=(d-Rcos-vxt0)2+(Rsin+vyt0-12gt02)2=R

14、2 因为讨论的速度始终在篮筐轴线的平面上，所以第二次反弹可以和第一次等效处理，对第二次反弹，建立3.1.1的模型，有1=arccosd-Rcos-vxt0R1=atgvy'vx'=atgvy-gt0vxv1=v'x2+v'y2=vx2+(vy-gt0)2为了使反弹进入筐内，应用式(1.11)及(1.14)得到这个不等式：式中的vx, vy, t0分别由(1.10)与(1.17)给出。由于不等式太长，已经不能用一般的数学软件给出解集。于是小组放弃了此处的计算。在情形3.1.2的讨论中，我们用处理第一次反弹的方式对第n次反弹建立同样的模型，关注篮球打筐时的三个重要的

15、参量：球的平动速度方向，球与篮筐碰撞的位置，球速v，总结得到第n次反弹和第n+1次反弹中三个参量的关系式，也就是(1.18)，进一步将n次反弹简化成为第一次反弹的情况，然后通过3.1中的式(1.10), (1.11), (1.14)联立这三个参量列出不等式，在式(1.1)的辅助下解不等式，便得到了与的关系。3.2 碰撞位置与速度方向特殊，角速度的方向在速度平面法线上在第一种情形中我们忽略了旋转对篮球的影响。事实上，篮球的角速度影响了篮球与篮筐碰撞时的受力方向。根据3.1的论述：对篮球表面A点速度，可知f与vt-×R方向相反，在实际投球时，如果速度方向平行于篮圈截面，因为忽略了角速度的

16、大小对切向速度的影响，所以认为vt-×R的方向与vt方向相同对这种情形建立与3.1.1相同的模型，也就是速度方向应与篮筐截面平行、角速度方向与质心速度垂直。对角速度与切向速度的关系进行如下讨论。3.2.1 如果vt-×R>0，则vt-×R的方向与vt的方向相同，f的方向与vt方向相反，这种情况与3.1.1讨论的情况相同，结论可由3.1.1给出。3.2.2 当vt-×R=0时，篮球在接触面上没有切向相对速度，因而切向静摩擦力f的大小为0。根据式(1.6)，我们有vt'=vt，假设反弹后的速度为v'，在水平竖直方向上作与(3.1)相同的

17、正交分解为vx, vy，将其代入式(1.9)有vy=vecos-sin-sin-cosvx=vecos-cos+sin-sin将其代入式(1.14)，解不等式，取cos=4，用角度制表示解集，根据(1.1)，同样有=5°30'. 又根据vx>0，也就是->-38°51', 即>6°9。当v=1m/s时，解得6°9'<时不等式都成立，也就是只要不打前筐都能进球；当v=2m/s时，解得6°9'<<27°45'或86°56'<<90&#

18、176;；当v=3m/s时，解得6°9'<<15°27'；大概可以看出，投球的速度偏小时，进球允许的速度方向范围分成两个区间：低角度和高角度。这是因为没有受到摩擦力的作用，又因为恢复系数已经确定，反弹的速度大小也就确定。也就是说这种情况下反弹的过程相当于固定速度大小的斜抛运动。根据物理学原理可知，斜抛运动的初速度方向角为45°时射程最远，而为保证进球有水平位移的限制，因此角度范围就分布在45°两侧。而且球速越大，这个区间就越远离45°。得到的结论与事实相符。然而这个结论在现实生活中并没有利用的价值。因为要使vt-&#

19、215;R=0，角速度就必须严格控制在确定的值，这个值还与球速有关。这种情况是不可能出现的。通过上式得到=vtR，如果按前面的假设v=2m/s来算，应有=16.7s-12.65rs, 当球速更快时，球也要转得更快。似乎平时打球时很少能投出每秒3转以上的球，因此大部分情况都应该符合3.1的情形。但当球旋转得极快时，就要作为另一种情况3.2.3来讨论。3.2.3 此时令vt-×R<0，也就是f的方向与vt方向相同。根据3.1的图，摩擦力的作用是使切向速度加速，也就是vt'=v(sin-+1+ecos-)与式(1.8)只有一个符号的不同。将其代入式(1.9)，得到vy=vec

20、os-sin-sin-cos-1+ecos-cosvx=vecos-cos+sin-sin+1+ecos-sin与式(1.10)还是只有两个符号不同。再一次代入式(1.14)，用同样的方法cos=4解不等式，因为vx>0所以>-16°，这个结果可以无视。利用3.1情形取初速度的特殊值分别计算求得速度方向角度的范围。计算原理与情形3.1中的(1.14)的解法完全相同。此处不列出详细的计算结果了。解不等式得到的计算结果显示，当球旋转的速度极快时，若球速度的方向角较小，球速快一些也能进球；当较大的时候，要求球速不能太快，球速的区间呈不连续分布。这是因为根据斜抛运动初速度方向角越

21、接近45°时射程越远，自然也就不容易进球，因而当较小时，反弹后的合速度的这个'角在45°以内，球速加快的同时切向速度也相应增大，这就使得'也减小，总的射程增大幅度很小，允许的球速可以较大；如果很大，反弹后的'减小有可能接近45°，使得射程增加，这样不容易进球；而且当大到接近90°的时候，反弹后的速度方向几乎就是45°，这样很容易球就弹出去了。同时打点位置角也有很大的影响。如果打点靠后，反弹回来的速度就更高，球也就特别容易飞走。这也就解释了在远处投球（三分球）的时候，如果球向后高速旋转，方向和角度又没有偏离反而容易进球；而

22、站在篮筐下面低手抛球，旋转的球打到筐沿很容易弹回来。前者是因为速度方向较水平，打点位置较靠后；后者球打到筐上时速度基本是竖直的，因为是抛球，球速较慢，旋转也极快，打点又经常打在铁片上，当然不容易进，这也是很多不熟练的选手在篮下抛投经常不容易进的原因。3.3 碰撞位置与速度方向一般首先还是考虑比较简单的忽略旋转的模型。在这里我们建立新的模型。如图为篮筐的俯视图，上面的板是篮板，O'为篮筐面的圆心，篮圈的内直径为d=0.45m，P0就是3.1, 3.2情形下的速度平面P，但是这里讨论一般情况，也就是球接触篮筐的位置不确定，假设为A点，O'A与平面P0所成角为，平面P是在O'

23、A上的竖直平面，可知篮球的球心O在平面P上。球速v0为任意方向，如图所示，可以将初速度v0沿平面P切向和法向正交分解，得到正交速度v与vz，它们的关系是vz=v0sinv=v0cosv再通过情形(3.1)分解为vt和vn，其中vz与vt成的夹角正切值为vzvt=tan.因为篮圈平面是中心对称平面，取篮圈平面，逆时针旋转角度，转动前后是等效的，平面P到了与P0重合的位置。显然，切向速度v在平面P上，也就是与篮筐截面平行。若忽略旋转，这个情况和情形3.1的模型是一样的，可以用相同的方法处理。根据情形3.1可知，平面P上的速度v碰撞后反弹速度v'依然在平面P上，水平竖直方向的分解速度vx与v

24、y大小可由式(1.10)得到。而对于速度vz，不考虑旋转时，速度vz相当于篮球碰撞在平面上的切向速度。在速度vz方向，根据动量定理，fzt=mvz'-mvzf的方向与vz相反，且对篮球受到的切面的摩擦力，有fz2+f2=f总2=(N)2根据前面的结论可知fzf=vzvt=tan由式(1.4)得到f总t=m1+evcos-也即ft=mv1+ecos-sinfzt=mv1+ecos-cos代入式(3.1)中，vz'=vz-v1+ecos-cos将式(3.5)代入式(1.6)中，得出vt'=v(sin-1+ecos-sin)再根据式(1.9)，我们得出了类似(1.10)的表达

25、式，即vy=v0cosecos-sin-sin-cos+1+ecos-cossinvx=v0cosecos-cos+sin-sin-1+ecos-sinsin根据情形(3.1)的正交分解方法以及式(1.11), (1.12)，作出篮球反弹的速度图像，因为速度vz与vx正交，应满足d2-R2sz2+(sx+Rcos-d2)2sy=Rsin+h 其中sx=vxtsy=-vyt+12gt2sz=vz't 联立式(3.6), (3.9)与式(3.10)得到不等式d2-R2vy+vy2+4gRsin+hgv0sin-v1+ecoscos2+vy+vy2+4gRsin+hgvx+Rcos-d22

26、其中=-再结合式(3.8)，得到关于参数, , , v0的四元非线性不等式。可以确定其中某些变量的值解出剩余变量的取值范围，进而通过数学分析求得为了进球这些参数应该满足的关系。同时也可以代入具体的数值判断是否能进球。在这里由于数学水平有限以及工具的限制，并不能利用作图或者计算软件表示出来。至此这个模型的求解大概就到此为止。我们在模型3.1的基础上引入了另一个参量用来表达任意速度方向，利用篮圈对称性解决篮球打在篮圈表面任意一点的问题。这样将一般情况转化为情形(3.1)的特殊情况，然后结合前面的结论求解。然后再讨论篮球有旋转的情况。根据情形(3.2)的结论，假设篮球在接触篮筐时有角速度，则角速度的

27、影响体现在摩擦力的方向上，而摩擦力的大小不变。假设角速度的方向任意，大小为，在接触点上的线速度u0=×R，对线速度u0作类似v0的正交分解，再与vz和v合成为总相对速度v总，则摩擦力的方向与v总方向相反，但大小还是由式(1.3)可得，将摩擦力正交分解为v方向和vz方向，代入式(3.5)即可进一步得出表达式。在这种条件下，角速度的方向不确定，可能对结论造成很奇怪的影响。而现实生活中，投出去的球的旋转不应该是随机的，所以讨论这个情况的意义不大。四、总结4.1 建模过程总结评价我们解决这个问题的主要思想，就是建立合理的数学模型，通过物理分析和物理原理列出相关关系得出结论。我们对篮球打篮筐这一过程提出了数个可能的物理过程，建立了一些数学模型，最终选择了这样一个模型来表达篮球与篮筐接触的过程：我们假设篮圈是圆筒形，并先从最简单的情况入手，在情形(3.1)中我们假设速度方