量子跃迁20101213

1、研究的问题：研究的问题：定态微扰理论与时间无关，研究在有微扰作用下，定态能量和波函数的修正，从而得到有微扰时的能量和波函数。在有与时间有关的微扰作用下，哈密顿算符与时间有关，体系的能量不守恒。因而不存在定态，也就谈不上对能量的修正。故只能研究有微扰时的波函数。量子状态之间的跃迁，以及体系对光的吸收和发射（能量变化）等。微扰理论微扰理论设 时，体系处于定态，哈米顿算符为 ，定态波函数为 ，其中 为的 本征函数，即0t0Htinnnen0H与时间有关的微扰理论Perturbation theory with timennnH0（5.6-3）在 时，体系受到与时间有关的微扰 ，使体系的哈米顿算符变为

2、：0t)(tH)()(0tHHtH（5.6-1） 体系处的状态为：nntinnnnnertatrtatr)()(),()(),(（5.6-4）由含时薛定格方程：),()(),()(),(0trtHHtrtHtrti（5.6-2）与时间有关的微扰理论Perturbation theory with time初始条件： )() 0 ,() 0 ,(rrrnn当 时，系统可能会处于各个定态 ，相应的几率为 ，即：0tn2| )(|tan0t nmmnntHrnntatatatatrr2222211)()(| )(| )(| )(|)(),()0 ,(几率态与时间有关的微扰理论Perturbation

3、 theory with time将（5.6-4）代入（5.6-2）式得：nnnnnnnnnnnntHtaHtadttdaittai)()()()()(0（5.6-5）注意 是 的本征函数，无微扰时， ，故上式中消去两边的第一项得：0HnnHti0nnnnnnHtadttdai)()(与时间有关的微扰理论Perturbation theory with time以 左乘上式两边后，对整个空间积分得：*mnnmnnnmndHtaddttdai)()(*归一条件： ，代入：mnnmd*ntimnnmmneHtadttdai)()(（5.6-6） 其中微扰矩阵元： dHHnmmn*（5.6-7）与时

4、间有关的微扰理论Perturbation theory with time 跃迁的玻尔频率： （5.6-8）mn)(1nmmn（5.6-6）是一个联立方程组，一般不能严格求解。可仿定态微扰理论引入参变量求 ，但很烦。)(tan若 时，体系处于 的第 个本征态 ，则由（5.6-4）式， ，必有 0t0Hkk) 0 ,() 0 ,(rrknnnkrar)0 ,()0()(nkna)0(（5.6-9）若只考虑一级近似，则用 代替 ，（5.5-6）变为：)0(na)(tan与时间有关的微扰理论Perturbation theory with timetimkntimnnkmmkmneHeHdttdai

5、)(1)(0dteHitattimkmmk（5.6-10）故由 跃迁到 的几率为：km2| )(|taWmmk（5.6-11）此为微扰一级近似下的跃迁几率公式。5.6 与时间有关的微扰理论Perturbation theory with time下面分两种情况来计算 和 。)(tammkW一、设一、设 在在 内，不为零内，不为零但与时间无关（常微扰）但与时间无关（常微扰）H10tt 体系在 时所处的定态为 ，在 作用下，跃迁到连续分布的末态 ，其能量 在动态能量 上下连续分布。0tkHmmk以 表示在 能量范围内末态的数目， 即是末态密度。mmd)(mmmd)(m从初态到末态的跃迁几率为：5.

6、7 跃迁几率Transition ProbabilitytH0t1mmmmdmtataW)(| )(| )(|22（5.7-1）而（5.6-10）式有：ttimkmdteHitamk01)(mkmkttimkitideHimk) (10mktimkttimkmkmkmkeHeH105.7 跃迁几率Transition Probability11| )(|222titimkmkmmkmkeeHta22222222sin| 4cos12|mkmkmkmkmkmktHtH（5.7-2）代入（5.7-1），且注意 ，则mkmddmkmkmkmmkdtHW22)(22sin|4（5.7-3）5.7 跃迁

7、几率Transition Probability（ 在3.2中，归一化时知上式中被积后部分可表为 函数）222sinmkmkt)(21mkmktt 时当mkmkmkdmHtW)()(|22（5.7-5） )(|22mHtmk5.7 跃迁几率Transition Probability（ 和 平滑变化时可移出积分号，而 ）H1)(mkmkd单位时间内的跃迁几率 )(|22mHtWmk（5.7-6）态密度 的具体形式取决于末态的具体情况。)(m例：当末态是自由粒子（三维）动量的本征函数时： （箱归一化）在 内的态数目为 rPimeLr2/3)(md5.7 跃迁几率Transition Probab

8、ilitydddPPLdmmsin2)(23而 mPm22dPmPdmddmPLmsin2)(3（5.7-8）mPdL325.7 跃迁几率Transition Probability二、周期微扰二、周期微扰. .)(cos)(titieeFtAtH则微扰矩阵元： （5.7-9）)()( *titimkkmmkeeFdtHH（5.7-10）dFFkmmk*（5.7-11）由（5.6-10）式：ttitimkmdteeiFtamkmk0)()()(5.7 跃迁几率Transition ProbabilitymktimktimkmkmkeeF11)()(（5.7-12）由于此式中，分子 的数量级仅为

9、1，而微扰角频率一般很大（如可见光 /秒），故 一般都很小。timke)(1510)(tam又由数学分析中，关于不定式的定值法洛比达第一法则 大数学手册P171 ， ，有000)(limxfax0)(limxgaxkxgxfxgxfaxax)( )( lim)()(lim5.7 跃迁几率Transition Probability当 时，上式中有一项与时间无关，而另一项则与时间成正比，故当时间 足够大时，略去与时间无关的项，只取起主要作用的与时间有关项，则：mktmk时 )(1)(1)()()(mkmktimkmkmktimkmmkmkeFeFta故由 态跃迁到 态的几率为：km) 1)(1(

10、)(| )(|)()(2222titimkmkmmkmkmkeeFtaW5.7 跃迁几率Transition Probability222)(|)()(222titimkmkmkmkeeFtFtFmkmkmkmkmkmk)(21sin)(| 4)cos(1)(| 22222222（5.7-14）由 函数定义（5.7-4）式)(sinlim22xtxxtt)(21)()(21sinlim22mkmkmkttt5.7 跃迁几率Transition Probability)(|222mkmkmkFtW（5.7-15）)(|22kmmkFt（5.7-16）单位时间内的跃迁几率：)(|22kmmkmkm

11、kFtW（5.7-17） 5.7 跃迁几率Transition Probability讨论：讨论：（1）当 时，体系由 发射能量 ， mkmk22|2mkmkFtW)(km当 时，体系由 吸收能量 ， mkmk22|2mkmkFtW)(kmmkkmWW（5.7-20） 即两定态间，相互跃迁的几率相等。5.7 跃迁几率Transition Probabilitymkmk发射发射 吸收吸收2能量测不准关系由（5.7-14）式和（5.7-15）式，当 时：mk2222)()(21sin|4mkmkmkmktFWt时 5.7 跃迁几率Transition Probability)(|222mkmkFt

12、根据 函数的性质，当 时， ，而 ， 而实际测量中的结果并非如此。原因在于：定态能量有一定宽度 ，测量的时间不是无限长 ，而且微扰频率 也不一定单一等mk) 0 (0)0(Et现讨论初态 分立，末态 连续，微扰频率 单一，作出（5.7-14）式表示的跃迁几率的曲线图，由图看出，跃迁几率主要分布在 内km22)(ttmk5.7 跃迁几率Transition Probability故 的不确定范围：mkttmk14而 EEEkmmk1如果把这个微扰过程看作是在 时间内测量能量 的过程，而能量的不确定范围是 ，则有能量时间的测不准关系： ttmEEtE（7.5-22）5.7 跃迁几率Transiti

13、on Probability图265.7 跃迁几率Transition Probability. 0B ,; 0B ,:mkmkDiscuss原子与辐射场相互作用的三个过程：1.自发辐射 (spontaneous emission) 2.受激辐射 （stimulated emission) 3.受激吸收 （stimulated absorption) 一、爱因斯坦的发射和吸收系数一、爱因斯坦的发射和吸收系数1三个系数的引入设原子体系能谱：mk321的吸收系数由受激发射系数的自发发射系数由mkkmmkkmmkBBA5.8光的发射和吸收Light emission and absorptionmm

14、kNA自发dtdNmkEkEm自发辐射自发辐射mmkmk)N(BIdtdNmk受激EmEk受激辐射受激辐射EmEk受激吸收受激吸收mmkkm)N(IBdtdNkm自发则单位时间内，原子由 ，发射光子 ，受激跃迁几率为kmmk)(mkmkIB设光波在频率 范围内的能量密度是 ddI)(5.8光的发射和吸收Light emission and absorption则单位时间内，原子由 ，吸收光子 ，受激跃迁几率为mkmk)(mkmkIB若处于 和 能级的原子数目分别 为和 ，则其平衡条件；kmkNmN)()(mkkmkmkmkmkmIBNIBAN由麦克斯韦玻尔兹曼分布：kTkTmkkTmkTkmk

15、mkmkeeNNeTCNeTCN/)()(5.8光的发射和吸收Light emission and absorption而：kmmkkTkmmkmkkTkmmkmkkmmkmkmkBBeBABeBABBNNAImkmk1)(又：黑体辐射的普朗克公式：118)(/33kThveChvv两者联系： dIdvv)()()(2)(Iv 5.8光的发射和吸收Light emission and absorption两边比较得： kmmkBBmkmkkmmkmkBCBChvA233334 （1）（利用 ）vhv2由（1）式知，只要能求出 ，即可求得 和 ，光与原子的相互作用：光波中的电场 和磁场B对原子中

16、的电子都有作用mkBmkAkmB在电磁场中电子的能量 在磁场中电子的能量 reUBMUB二、用微扰理论计算系数二、用微扰理论计算系数5.8光的发射和吸收Light emission and absorption电子在原子中的磁矩 zZLceM2（CGS） （SI）zzLeM2数置级： 0aeU 220seaBCeUB 5.8光的发射和吸收Light emission and absorption又因为： （SI） （CGS）BCB1371/222ceeeceUUssB 精细结构常数故：磁场对电子的作用相对很弱，近似计算可略去，只考虑电场。平面单色光情况：平面单色光情况：平面单色偏振光的电场强度

17、可表示为：)2cos(ztx0zy 这里讨论的是原子内部问题，故Z的变化范围是原子线度 ，而可见光波长 :0a5.8光的发射和吸收Light emission and absorption10061010a120a可以略去txcos0电子在其光电场中的势能为：xex由于这个能量比电子在原子中的势能小得多，故可视为微扰，用上节的微扰理论来处理。 )(20titixeexeexH所以（5.7-9）式，得到单位时间内，原子由态跃迁到态的几率：5.8光的发射和吸收Light emission and absorption)(|22202kmmkmkxe)(|222202mkmkxe为便于求系数，上式中

18、的 可以用光的能量密度I来表后：20)(81)(21cos1)()()(200200220020TtdtTI其中周期 ， 为真空电容率2T05.8光的发射和吸收Light emission and absorption)(| )(42222mkmksmkxIe（CGS）自然光情况：自然光情况：对于频率在一定范围内连续分布的光，能量密度是按一定的频率间隔计算的，在 内的能量密为 ，故在上式中用 代替I，并对频率分布范围积分：ddI)(dI)()(|4)()(|422222222mxmxsmkmksmkIxedIxe如果光不是沿方向偏振，而是各相同性的，则cos)(21)(2100rereF5.8

19、光的发射和吸收Light emission and absorption222022cos| | )(|41|mkmkreF而 d222cos41coscos200231sincos41dd2222|mkmkmkmkzyxrkmmkmkmksmkBIrIe)(|)(3422225.8光的发射和吸收Light emission and absorption而这种几率即为)(mkmkmkIB23322332222|34|34mkmksmkmkmkmkkmmksmkrCeBCABBreB辐射强度辐射强度单位时间内一个原子自发跃迁 发射出的能量为)(km5.8光的发射和吸收Light emission

20、 and absorption2342|34mkmksmkmkrCeAdtdE 设受激态 的原子数目为 ，则辐射频率为 光的强度mmNmk2342|34mkmksmmmkrCeNdtdENJkm自发跃迁的平均寿命 mkmkA1原子处在 态的平均寿命 mkmkmA15.8光的发射和吸收Light emission and absorption应用原理：应用原理：受激辐射发出的光，在强度上正比于辐射场中该振荡模受激辐射发出的光，在强度上正比于辐射场中该振荡模式的强度，而且在振荡频率相位传播方向和偏振态等方式的强度，而且在振荡频率相位传播方向和偏振态等方面都与该模式的振荡一致面都与该模式的振荡一致使

21、相干光的取得和放大成使相干光的取得和放大成为可能。为可能。主要应用：主要应用：1 微波量子放大器微波量子放大器 2 激光激光p如何实现相干光的取得和放大？如何实现相干光的取得和放大？1 粒子数反转粒子数反转增加总辐射强度增加总辐射强度2 原子在激发态寿命长原子在激发态寿命长3 谐振腔谐振腔使自发辐射小于受激辐射使自发辐射小于受激辐射EmEk光放大光放大5.8光的发射和吸收Light emission and absorption由上节，跃迁系数2|mkmkrB 跃迁能发生的条件是矩阵元 ，否则禁戒！ 0|2mkr而 2222|mkmkmkmkyyxr故三个分量矩阵元不能同时为0，否则跃迁将不会发生！原子中的电子在辏力场中运动，波函数为：)()()(cos)(),(|lmnlimmlnllmnlmYrRePrRNr5.9选择定则 Selection rule设初态量子数为 ，末态量子数为nlm mln)(sin21sinsin)(sin21cossincosiiiieeriryeerrxrz5.9选择定则 Selection rule)(cos121)(cos12)(coscos11mlmlmlPlmlPlmlP20) (003* * , sincos)(cos)(cosc