-磁场的高斯定理和安培环路定律

1、 太原理工大学物理系太原理工大学物理系一、磁场的高斯定理一、磁场的高斯定理1.1.磁通量磁通量BS定义：定义：通过某面积通过某面积S的磁通量等于通过的磁通量等于通过S的磁感的磁感线的条数。线的条数。SNB(1)(1)均匀磁场，均匀磁场，S是平面，且与磁场线垂直是平面，且与磁场线垂直BSm磁通量磁通量8-8-5 磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理和安培环路定理 太原理工大学物理系太原理工大学物理系scosBSBSmnSBSBm(2)(2)均匀磁场，均匀磁场， S S是平面，与磁场线不垂直是平面，与磁场线不垂直Baibjck(T ) 课堂练习：课堂练习：磁场的磁磁场的磁感应强度感应强度通过

2、一半径为通过一半径为R，与，与z轴垂直的圆面的磁通量的大轴垂直的圆面的磁通量的大小为多少？小为多少？答：答：2RcSBmkRS2snB 太原理工大学物理系太原理工大学物理系BsSdBcosdSBsdSBmSBmdd(3) (3) S是任意曲面，是任意曲面，B是非均匀磁场，把是非均匀磁场，把S分分成无限多成无限多dS通过通过dS的通量的通量通过整个曲面的磁通量通过整个曲面的磁通量对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。 SSSBSBdcosdm 太原理工大学物理系太原理工大学物理系 2.2.磁场的高斯定理磁场的高斯定理在任何磁场中，通过任意封闭曲面的磁通量

3、恒为在任何磁场中，通过任意封闭曲面的磁通量恒为0 0。0smSdB磁场为无源场磁场为无源场 磁场线闭合，无头无尾，这说明不存在单独磁场线闭合，无头无尾，这说明不存在单独磁荷磁荷(磁单极子磁单极子)。1931年狄拉克理论上预言了磁单极子的存在。年狄拉克理论上预言了磁单极子的存在。由于由于m大，因此现有的加速器能量产生不了磁单极大，因此现有的加速器能量产生不了磁单极子对；人们希望从宇宙射线中发现。目前尚未在实子对；人们希望从宇宙射线中发现。目前尚未在实验中确认磁单极子存在。验中确认磁单极子存在。pmm20810g102 太原理工大学物理系太原理工大学物理系xIB20SB/ 例例1 1 如图载流长直

4、导线的电流为如图载流长直导线的电流为 , ,试求通过矩试求通过矩形面积的磁通量形面积的磁通量. .I 解解 先求先求 ，对变磁场，对变磁场给出给出 后积分求后积分求mdmB在矩形内任取一面积元在矩形内任取一面积元dS = ldx , ,在此面积元内在此面积元内磁感应强度可看作常量磁感应强度可看作常量.方向垂直于纸面向里方向垂直于纸面向里1d2dlIxoBx 太原理工大学物理系太原理工大学物理系xlxISBmd2dd021d2d0ddSmxxIlSB120ln2ddIlm1d2dlIxoB 太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例2 2 两平行的无限长直导线通有电流两平行的无限长直导线通有电流

5、I , , 相距相距3a，矩形线框宽为矩形线框宽为a，高为，高为l与直导线共面，求通过线框与直导线共面，求通过线框的磁通量的磁通量. .解：取垂直纸面向里为法解：取垂直纸面向里为法线方向，以导线线方向，以导线1 1所在位所在位置为坐标原点，建立如图置为坐标原点，建立如图所示的坐标轴。所示的坐标轴。 xaIxIB32200取细长条面元，面元内取细长条面元，面元内为均匀磁场为均匀磁场alIxoBIaax 太原理工大学物理系太原理工大学物理系窄条形面元的元磁通为窄条形面元的元磁通为 BldxBdSSdBdm通过矩形面积内的磁通量通过矩形面积内的磁通量aammBldxd21aaldxxaIxI2003

6、2220LnIlalIxoBIaax 太原理工大学物理系太原理工大学物理系1) 均匀磁场通过平面的通量均匀磁场通过平面的通量2) 非均匀磁场通过平面的通量非均匀磁场通过平面的通量总结：总结：有关磁通量的计算有关磁通量的计算3) 均匀磁场通过曲面的通量均匀磁场通过曲面的通量0SdB 均匀磁场通过曲面的通量转化为均匀磁场均匀磁场通过曲面的通量转化为均匀磁场通过平面的磁通量通过平面的磁通量0ssSdBSdBS snB 太原理工大学物理系太原理工大学物理系二、安培环路定理二、安培环路定理 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 沿任一沿任一闭合路径闭合路径L的线积分，等于该闭合路

7、径所环绕的电的线积分，等于该闭合路径所环绕的电流强度代数和的流强度代数和的 倍倍. .B01.1.定理：定理：1)“1)“环绕环绕”：设想闭合路径设想闭合路径L为一根绳子，绳子勒紧为一根绳子，绳子勒紧后能把电流捆住，即为环绕。后能把电流捆住，即为环绕。说明：说明：2 2） 电流的正负问题：电流的正负问题：电流的流向与安培回路绕电流的流向与安培回路绕向满足右手法则的电流为正，否则为负。向满足右手法则的电流为正，否则为负。niiLIl dB103 3）安培环路定理成立的条件安培环路定理成立的条件: :稳恒电流稳恒电流磁场为非保守场磁场为非保守场 太原理工大学物理系太原理工大学物理系内内LIII12

8、2课堂练习：课堂练习： 如图所示，求磁感应强度对回路如图所示，求磁感应强度对回路L的环流。的环流。)2(1200IIIl dBLL内内分析：分析：闭合路径闭合路径L勒紧勒紧后，能把电流捆住后，能把电流捆住3 3根根电流，利用右手螺旋判电流，利用右手螺旋判断电流的正、负。断电流的正、负。答案：答案：3I2I1IL1I 太原理工大学物理系太原理工大学物理系B2 2 验证验证( (用特例说明用特例说明) )lRIlBld2d0 设闭合回路设闭合回路L为为圆形回路圆形回路, ,在垂直于导线的平面在垂直于导线的平面内内, ,与电流成与电流成右手右手螺旋。螺旋。IlBl0dRIB20载流长直导线的磁感强度

9、为载流长直导线的磁感强度为oIRlRd20RId20Ild 太原理工大学物理系太原理工大学物理系IlBl0d若回路绕向为反方向时，则若回路绕向为反方向时，则oIRBldllRIlBld2d0d20RRI对任意形状的回路对任意形状的回路IlBl0d是否成立？是否成立？ 太原理工大学物理系太原理工大学物理系rBlId 设设任意任意回路回路L在垂直于导线的平面内，与电流在垂直于导线的平面内，与电流成成右右手螺旋。手螺旋。ldlllBlBcosddd20rrIrdlcosdd20IIlBl0dcosd20lrI 太原理工大学物理系太原理工大学物理系ld2d022IlB0dd2211lBlB0dlBl2

10、022 rIBd1dl2r2dl1B2B闭合回路不环绕电流时闭合回路不环绕电流时I1r1012 rIB11dlBd20I 太原理工大学物理系太原理工大学物理系 如果有如果有n个电流穿过积分回路个电流穿过积分回路, ,另有另有k个没有穿个没有穿过积分回路过积分回路, ,回路上的磁感应强度回路上的磁感应强度安培环路定理安培环路定理0.0).(d210nLIIIlBknnnBBBBBB.121niiLIl dB10磁感应强度的环流磁感应强度的环流适用任意稳恒磁场适用任意稳恒磁场 太原理工大学物理系太原理工大学物理系3.3.稳恒磁场的性质稳恒磁场的性质高斯定理：高斯定理：无源场无源场安培环路定理：安培

11、环路定理：有旋场有旋场比较静电场：比较静电场：0SSdBiSqSdE01有源场有源场无旋场无旋场静电场高斯定理：静电场高斯定理：静电场环路定理：静电场环路定理：niiLIl dB10Ll dE0 太原理工大学物理系太原理工大学物理系1 1） 是否与回路是否与回路 外电流有关？外电流有关？LB2 2）若若 , ,是否回路是否回路L上各处上各处 ？0B0d lBLL回路的环流为零意味着什么？回路的环流为零意味着什么？ 问题问题 3)3)安培闭合环路安培闭合环路L及绕向可以任意选取吗？及绕向可以任意选取吗？4)4)回路对电流有回路对电流有多多次链套：次链套：Il dBL02 太原理工大学物理系太原理

12、工大学物理系答案：答案：(B)IL课堂练习：课堂练习：如图，在圆形电流所如图，在圆形电流所在平面内，选取一个同心圆形闭在平面内，选取一个同心圆形闭合回路，则由安培环路定理可知合回路，则由安培环路定理可知(A) , ,且环路上任意一点且环路上任意一点B=0. .0Ll dB0Ll dB(B) , ,且环路上任意一点且环路上任意一点B 0.0Ll dB(C) ，且环路上任意一点，且环路上任意一点B 0.0Ll dB(D) ，且环路上任意一点，且环路上任意一点B=常量常量. . 太原理工大学物理系太原理工大学物理系（1 1）分析分析磁场磁场大小、方向的分布特点大小、方向的分布特点（2 2）选取）选取

13、合适合适的回路的回路L（3 3）用环路定理）用环路定理计算计算磁场磁场三、用安培环路定理求磁场三、用安培环路定理求磁场步骤：步骤：毕毕沙沙拉定律可以计算任意电流的磁场拉定律可以计算任意电流的磁场B安培环路定理可以计算对称性磁场的安培环路定理可以计算对称性磁场的B磁场计算的两种方法：磁场计算的两种方法： 问题：问题：怎样的回路才算是合适的回路？怎样的回路才算是合适的回路？ 太原理工大学物理系太原理工大学物理系rBlBl2dIIii00o oIrlBldrIB20例例3 3 求求载流长直导线的磁感强度载流长直导线的磁感强度。解：先分析磁场解：先分析磁场选合适的环路：在垂直于轴线选合适的环路：在垂直

14、于轴线的平面内，选择半径的平面内，选择半径r的圆形环路的圆形环路L，环路正方向如图。，环路正方向如图。磁感线是在垂直于轴线的平面磁感线是在垂直于轴线的平面内以轴线为中心的同心圆。内以轴线为中心的同心圆。 计算计算IrB02 太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例4 4 无限长载流圆柱面的磁场无限长载流圆柱面的磁场rRRI1Lr2Lr将圆柱面分为无限多窄条，将圆柱面分为无限多窄条，每个窄条可看作是载有电流每个窄条可看作是载有电流dI的无限长直导线的无限长直导线.解：先求柱面外的场解：先求柱面外的场(1)(1)对称性分析对称性分析dI2LdI1p p点的磁场的大小与点的磁场的大小与r有关，方向与

15、有关，方向与r垂直。垂直。（2 2）选合适的环路：在垂直于）选合适的环路：在垂直于轴线的平面内，选择半径轴线的平面内，选择半径r的圆形的圆形环路环路L，环路正方向如图。，环路正方向如图。 太原理工大学物理系太原理工大学物理系rIB20,Rr ,0Rr02drBlBl(3)(3)计算计算rBlBl2dIIii00同法可求：圆柱面内的磁场同法可求：圆柱面内的磁场0B0BBRorRI20rIB20IrB02 太原理工大学物理系太原理工大学物理系1）有人说：有人说：“因回路不环绕电流时，环路上因回路不环绕电流时，环路上磁场必为零，由此可证圆柱面内无磁场磁场必为零，由此可证圆柱面内无磁场”，这，这样的说

16、法对吗？样的说法对吗？问题问题2）在以上的例子里选择任意回路，环路定理在以上的例子里选择任意回路，环路定理是否成立？磁场可以求解吗？是否成立？磁场可以求解吗？3）关于对称性分析还有较简单的方法：关于对称性分析还有较简单的方法： 由圆柱面上电流分布的轴对称性说明磁场对由圆柱面上电流分布的轴对称性说明磁场对圆柱面的轴线也有轴对称性。圆柱面的轴线也有轴对称性。 太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例5 5 无限长载流圆柱体的磁场无限长载流圆柱体的磁场解解: :（1 1）对称性分析）对称性分析Rr IrB02rIB20IRLrRB（2 2）选取回路）选取回路磁场对圆柱体的轴线有轴对称性。磁场对圆柱体

17、的轴线有轴对称性。 半径为半径为r的圆周的圆周（3 3）计算）计算 太原理工大学物理系太原理工大学物理系IRrrB2202202RIrBIRrIii2200rBlBl2dRr 0ILRrRI20BRor 太原理工大学物理系太原理工大学物理系 例例6 6 求长直密绕螺线管内磁场求长直密绕螺线管内磁场 解解（2 2）选矩形回路）选矩形回路L(1)(1)分析磁场分析磁场 螺旋线圈无限长，螺旋线圈内的磁感线是一螺旋线圈无限长，螺旋线圈内的磁感线是一组平行于轴线的直线；且距轴线同远的点其磁场组平行于轴线的直线；且距轴线同远的点其磁场大小相同大小相同. .+BLMNPO 太原理工大学物理系太原理工大学物理

18、系PMOPNOMNllBlBlBlBlBdddddIMNnMNB0nIB0 无限长载流螺线管内部磁场处处相等无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , ,外外部磁场为零部磁场为零. .LMNPO（3 3）计算）计算+B 太原理工大学物理系太原理工大学物理系NIRBlBl02dLNIB0 例例7 7 求载流螺绕环内的磁场求载流螺绕环内的磁场RNIB202 2）选回路选回路 . .解解 1 1）对称性分析；环内对称性分析；环内 线为同心圆，环外线为同心圆，环外 为零为零. . BBRL2令令P 太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例6 6 一无限大均匀载流平面薄板，面电流密一无限大均匀载流平面薄板，面电流密度为度为j，求面外一点的磁感应强度，求面外一点的磁感应强度B的大小。的大小。+j解：解：PMOPNOMNllBlBlBlBlBdddddLMNPOOPMNlBlBddBLBLBL2jLIii00jLBL02jB021 太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例7 7 电缆由一导体圆柱和一同轴的导体圆筒组电缆由一导体圆柱和一同轴的导体圆筒组成。电流从内圆柱流去，从外筒流回，电流均成。电