高等数学BIT7-10

1、知识回顾：知识回顾：1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .驻点驻点偏导数存在偏导数存在的极值点的极值点注意：注意：与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如

2、，显然函数例如，显然函数22yxz . )0 , 0(处处取取得得极极小小值值在在处处偏偏导导数数但但函函数数在在 )0 , 0(不存在。不存在。求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.例例 4 4 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z确确定定的的函函数数),(yx

3、fz 的的极极值值将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大

4、值.求最值的一般方法求最值的一般方法： 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值求出 ),(yxf在 D内的所有驻点及不可导点处的函数值： ),(., ),( ),(2211mmyxfyxfyxf求出 ),(yxf D的边界上的最大值和最小值：通过比较，得到在 ),(yxf在 D上的最大值和最小值。(1) 一般问题较复杂较复杂(2) 实际问题根据实际问题的性质，可知函数 ),(yxf的最值(最大值或最小值)一定在D 的内部取到，而函数在D 内又只有一个驻点，那么，可以

5、断定函数在该驻点处的值就是函数 ),(yxf在 D 上的最值(最大值或最小值).较简单较简单例例 5 5 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D上上的的最最大大值值与与最最小小值值.解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),

6、( yxf, 在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxD例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21

7、( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳

8、效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.条件极值条件极值：

9、对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.求条件极值的方法求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值将条件极值化为无条件极值这就把求条件极值问题转化成了求无条件

10、极值问题这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题. . 方法：从约束条件中求出隐函数，把求得的隐函数方法：从约束条件中求出隐函数，把求得的隐函数 代入目标函数代入目标函数 (2)用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, , 需要需要用一种求条件极值的专用方法用一种求条件极值的专用方法, , 这就是拉格朗日乘数法这就是拉格朗日乘数法. . v拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 1、 要找函数要找函数z f(x, , y)在附加条件在附加条件 (x, , y) 0下的可能极值点下的可能极值点, , 可以先作辅助函数：可以

11、先作辅助函数： F(x, , y) f(x, , y) (x, , y), , (拉格朗日函数拉格朗日函数) 其中其中 为某一常数为某一常数(拉格朗日乘子拉格朗日乘子). . 4、对于所求得的可能的极值点对于所求得的可能的极值点, ,用极值判别法判定，用极值判别法判定， 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定. . 0),(0),(),(),(0),(),(),(yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx. 2、对辅助函数分别关于对辅助函数分别关于 求偏导数，得到方程组：求偏导数，得到方程组： , ,x y3、解方程组，得驻点。解方程组，得驻

12、点。 （方程组的解方程组的解(x, y)就是所要求的可能的极值点就是所要求的可能的极值点,） （未必解出）。例例 7 7 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为例例 8 8 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四

13、面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标.解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,在条件在条件122022022

14、0 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分

15、条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取极值不取极值.四四 最小二乘法最小二乘法 在工程问题中，常常需要根据两个变量的在工程问题中，常常需要根据两个变量的几组实验

16、数值几组实验数值实验数据，来找出这两个变实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式通常把这样得到量的函数关系的近似表达式通常把这样得到的函数的近似表达式叫做的函数的近似表达式叫做经验公式经验公式. .一、经验公式一、经验公式问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？二、最小二乘法二、最小二乘法例例1 1为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间实验：经过一定时间( (如每隔一小时如每隔一小时) )，测量一，测量一次刀具的厚度次刀具的厚度, ,得到一组试验数据如下：得到一组试验数据如下：顺序编号顺序编

17、号i01234567时间时间it(小时小时)01234567刀具厚度刀具厚度iy(毫米毫米)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3试试根根据据上上面面的的试试验验数数据据建建立立y和和t之之间间的的经经验验公公式式)(tfy . . 观观察察可可以以认认为为)(tfy 是是线线性性函函数数, ,并并设设,)(battf 其其中中a和和b是是待待定定常常数数. .tyo1 247356824252627如图，在坐标纸上画出如图，在坐标纸上画出这些点，这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的能要求选取这

18、样的 ，使得，使得 在在 处的函数值与实验数据处的函数值与实验数据 相相差都很小差都很小ba,battf )(710,ttt710,yyy解解首先确定首先确定)(tf的类型的类型. .就是要使偏差就是要使偏差 )7 , 2 , 1 , 0()( itfyii都很小都很小.因此可以考虑选取常数因此可以考虑选取常数 ，使得，使得 ba, 702)(iiibatyM定义定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数择常数 的方法叫做的方法叫做最小二乘法最小二乘法ba,这种确定常数的方法是通常所采用的这种确定常数的方法是通常所采用的.最小来保证每个偏差的绝对值都很小

19、最小来保证每个偏差的绝对值都很小M把看成自变量把看成自变量 和和 的一个二元函数，的一个二元函数，ab那么问题就可归结为求函数那么问题就可归结为求函数 在那在那些点处取得最小值些点处取得最小值.),(baMM 7070; 0)(2, 0)(2iiiiiiibatybMtbatyaM令令即即 7070. 0)(, 0)(iiiiiiibatytbaty将括号内各项进行整理合并，并把未知数将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和和 分离出来，便得分离出来，便得ab)1(.8,70707070702 iiiiiiiiiiiybtatytbta计算得计算得,2870 iit,140702 iit, 5 .20870 iiy0 .71770 iiity代入方程组（代入方程组（1）得）得 . 5 .208828,71728140baba解此方程组，得到解此方程组，得到.125.27,3036. 0 ba这样便得到所求经验公式为这样便