平面向量的数量积及平面微量应用举例PPT课件

1、知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线平面向平面向量的数量的数量积及量积及平面向平面向量应用量应用举例举例1.理解平面向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义 及其物理意义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与了解平面向量的数量积与 向量投影的关系向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的坐会进行平面向量数量积的坐 标运算标运算.4.能运用数量积表示两个向能运用数量积表示两个向 量的夹角，会用数量积判断量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简会用向量方法解决某些简 单的力学问题和

2、其他一些实单的力学问题和其他一些实 际问题际问题.高考的热点包括以下三高考的热点包括以下三方面：方面：1.夹角问题：范围夹角问题：范围0， .2.垂直问题：垂直问题：ab0 x1x2 y1y20及应用及应用.3.模问题：模问题：a2|a|2. 上述三类问题与三角变上述三类问题与三角变 换、不等式、解析几何换、不等式、解析几何 链接密切，以解答题形链接密切，以解答题形 式在交汇处命题，是近式在交汇处命题，是近 几年命题的热点几年命题的热点.第1页/共50页一、两个向量的夹角一、两个向量的夹角注意：同一起点 三角形中应用babaAOBbaOba,OBOA,1的夹角。记作：与为向量，则，作取一点。平

3、面内任、定义：两个非零向量第2页/共50页反向时为，向量同向时为，向量；、范围：baba002互相垂直。，叫向量时，夹角为，、向量垂直：向量baba23第3页/共50页cos|)(cos|,1babababababa有点数量（内积）。记作：的数量积与叫做向量。把数量、定义：两个非零向量二、向量数量积规定：；00a第4页/共50页思考：投影是数量可以为零、负数、正数方向上的投影在向量叫向量、投影：数量abbcos|2方向上的投影乘积向量在与向量等于、数量积ababa|3第5页/共50页三、向量数量积的性质（以下都是非零向量）三、向量数量积的性质（以下都是非零向量）eaaea,cos|1、02ba

4、ba、|3babababababa反向时为，向量同向时为，、向量222|4aaaaaa、|5baba、第6页/共50页|,cos6bababa、00baba为钝角为锐角为钝角或为锐角或000baba第7页/共50页四、数量积的运算律四、数量积的运算律abba、交换律：1cbcacba ）、分配律：（2）（）（）、（bababa3数量积的运算律不成立：数量积的运算律不成立：baba01、bacbca、消去律：2）（）、结合律：（cbacba3第8页/共50页3.|a| .五、数量积的坐标运算五、数量积的坐标运算设设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则，则1.ab . a1b1a2b2 2.ab

5、 .a1b1a2b204.cosa，b .第9页/共50页重要结论：三点共线（两个）12210/yxyxaabba）（002121yyxxbaba线性运算的三角形法则第10页/共50页|,cosbababa2)(|baba反之不一定0CABCABABC是三角形的重心则满足内有一点GCGBGAGGABC0过三角形重心PACABAP)(过三角形内心PACACABABAP)|(过三角形垂心PCACACBABABAP)cos|cos|(第11页/共50页的取值范围求的夹角为锐角，、已知)2 ,(),1 ,21(1ba判断三角形的形状且中accbbabCAaBCcABABC,的取值范围夹角为钝角，求的、

6、已知mmmbmma), 12(),3, 2(2判断三角形的形状中02ABBCABABC第12页/共50页1.已知向量已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5 ，则，则|b|() A. B. C.5 D.25解析：解析：|ab|2a22abb2520b250，b225，|b|5.答案：答案：C2第13页/共50页2.已知已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量，则向量a与与b的夹角是的夹角是 ()解析：解析：a(ba)aba22，ab2a23.cosab a与与b的夹角为的夹角为 .答案：答案：C3 第14页/共50页3.已知向量已知向量a(1,2)，b(2，3).若向量若向量c满足满足(

7、ca)b， c(ab)，则，则c ()第15页/共50页解析：解析：设设c(x，y)，则，则ca(x1，y2)，又又(ca)b，2(y2)3(x1)0. 又又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0. 解得解得答案：答案：Dx x= y y=第16页/共50页4.已知已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数，则实数 .解析：解析：(ab)b，(ab)babb2150，=-答案：第17页/共50页5.已知向量已知向量a、b的夹角为的夹角为45，且，且|a|4，( ab)(2a3b) 12，则，则|b|；b在在a方向上的投影等于方向上的投影等于.解析：解析：ab|a|b|cosa，b4|

8、b|cos452 |b|，又又( ab)(2a3b)|a|2 ab3|b|216 |b|3|b|212，解得解得|b| 或或|b| (舍去舍去).b在在a上的投影为上的投影为|b|cosa，b cos451.2答案：第18页/共50页第19页/共50页 1.当当a，b是非坐标形式时，求是非坐标形式时，求a与与b的夹角，需求得的夹角，需求得ab及及 |a|，|b|或得出它们的关系或得出它们的关系.2.若已知若已知a与与b的坐标，则可直接利用公式的坐标，则可直接利用公式【注意】平面向量a、b的夹角0，.cos=第20页/共50页 已知已知|a|1，ab ，(ab)(ab) ，求：求：(1)a与与b

9、的夹角；的夹角；(2)ab与与ab的夹角的余弦值的夹角的余弦值. 第21页/共50页(1)由由(ab)和和(ab)的数量积可得出的数量积可得出|a|、|b|的的关系关系.(2)计算计算ab和和ab的模的模.第22页/共50页【解】(1)(ab)(ab) ，|a|2|b|2 ，又|a|1，|b| 设a与b的夹角为，则cos又0，第23页/共50页(2)(ab)2a22abb2 (ab)2a22abb212|ab| ，设，设ab与与ab的夹角为的夹角为，cos 则则ab12 第24页/共50页1.已知已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中是同一平面内的三个向量，其中a(1,2). (1)若若|

10、c|2 ，且，且ca，求，求c的坐标；的坐标； (2)若若|b| ，且，且a2b与与2ab垂直，求垂直，求a与与b的夹角的夹角.第25页/共50页解：解：(1)设设c(x，y)，由，由ca和和|c|2 可得可得c(2,4)或或c(2，4).(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20，253ab2 0，ab ，cos 1，0，.第26页/共50页利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2a22abb2

11、；(3)若若a(x，y)，则，则|a| 第27页/共50页 已知向量已知向量a ，b(cos，sin )，且，且(1)求求ab及及|ab|；(2)若若f(x)ab|ab|，求，求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值. cos x,sin xx 第28页/共50页利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|ab|时注意时注意x的取值范围的取值范围.第29页/共50页【解】(1)ab sincos2x，|ab| 2|cosx|，x ，cosx0，|ab|2cosx.33coscossinsin2222xxxx 第30页/共50页当当cosx 时，时，f(x

12、)取得最小值取得最小值当当cosx1时，时，f(x)取得最大值取得最大值1.(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx1212(cos)2,3 41cos1,2xx 第31页/共50页2.(2009湖北高考湖北高考)已知向量已知向量a(cos，sin)，b(cos， sin)，c(1,0). (1)求向量求向量bc的长度的最大值；的长度的最大值； (2)设设= 且且a(bc)，求，求cos的值的值.第32页/共50页解：解：(1)法一：法一：由已知得由已知得bc(cos1，sin)，则，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).1cos1，0|bc|24，即，即0|bc|

13、2.当当cos1时，有时，有|bc|max2，所以向量所以向量bc的长度的最大值为的长度的最大值为2.法二：法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当当cos1时，有时，有bc(2,0)，即，即|bc|2，所以向量所以向量bc的长度的最大值为的长度的最大值为2.第33页/共50页(2)法一：法一：由已知可得由已知可得bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsincoscos()cos.a(bc)，a(bc)0，即，即cos()cos.由由 ，得，得cos( )cos ，即即 2k (kZ)，2k 或或2k，kZ，于是于是cos0或或cos1.2 第34页/共50页法二：若

14、，则a又由b(cos，sin)，c(1,0)，得a(bc) (cos1，sin)a(bc)，a(bc)0，即cossin1.sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0，解得cos0或cos1.经检验，cos0或cos1即为所求.cos+sin+第35页/共50页1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线共线) 的充要条件：的充要条件： ababx1y2x2y10(b0).2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： abab0 x1x2y1y20.第36页/共50页 已知向量已知向量a(cos()

15、，sin()，b(cos( )，Sin( )(1)求证：求证：ab；(2)若存在不等于若存在不等于0的实数的实数k和和t，使，使xa(t23)b，ykatb，满足，满足xy，试求此时，试求此时 的最小值的最小值. 第37页/共50页(1)可通过求可通过求ab0证明证明ab.(2)由由xy得得xy0，即求出关于，即求出关于k，t的一个方的一个方程，从而求出程，从而求出 的代数表达式，消去一个的代数表达式，消去一个量量k，得出关于，得出关于t的函数，从而求出最小值的函数，从而求出最小值.第38页/共50页【解解】(1)abcos()cos( )sin()sin( )sincossincos0.ab

16、.(2)由由xy得：得：xy0，即即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又又|a|21，|b|21，-k+t3+3t=0k=t3+3t.第39页/共50页故当故当 时，时， 有最小值有最小值=t2+t+3=t=-第40页/共50页3.已知已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O为原点为原点. (1)若若 ，求，求tan的值；的值； (2)若若 ，求，求sin2的值；的值； (3)若若 且且(0，)，求，求 的夹角的夹角.第41页/共50页解：解：(1) (0,3)(3,0)(3,3). 3cos3sin0，

17、即即sincos0，tan1.(2) (cos，sin3)，即即(cos3)cossin(sin3)0，13(cossin)0，sincos两边平方得两边平方得1sin2sin2=(cos 3 ，sin)，第42页/共50页(3cos)2sin213，cos又又(0，)，设设 的夹角为的夹角为，则，则又又0，(3cos,sin), ,=sin=第43页/共50页第44页/共50页 从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的热点，主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、模与热点，主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题夹

18、角、垂直问题.在高考中直接考查以选择题或填空题为主，在高考中直接考查以选择题或填空题为主，有时出现解答题，主要与三角函数、解析几何综合在一起命有时出现解答题，主要与三角函数、解析几何综合在一起命题题.2009年江苏卷年江苏卷15题考查了向量与三角函数相结合的题目，题考查了向量与三角函数相结合的题目，代表了高考的一种考查方向代表了高考的一种考查方向.第45页/共50页(2009江苏高考江苏高考)设向量设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin).(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求证：，求证：ab.第46页/共50页解解(1)因为因为a与与b2c垂直，垂直，所以所以a(b2c)4cossin8coscos4sincos8sinsin4sin()8cos()0，因此因此tan()2.第47页/共50页(2)由由bc(sincos，4cos4sin)，得，得又当又当 时，等号成立，时，等号成立，所以所以|bc|的最大值为的最大值为(3)证明：由证明：由tantan16得得所以所以ab.|bc