《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》

1、1.1.1分类计数原理分类计数原理与分步计数原理分步计数原理 问题剖析问题剖析 问题问题1两类两类能能 用用一个一个大写的英文字母大写的英文字母或或一个阿拉伯数一个阿拉伯数字（字（ ）给教室里的座位编号，总共能够编出）给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？多少种不同的号码？用用一个一个大写的英文字母大写的英文字母或或一个一个阿拉伯阿拉伯数字给教室里的座位编号数字给教室里的座位编号09 种种 种种261 0种种26 1036完成这个事情有完成这个事情有几类几类方案方案要完成什么事情要完成什么事情每类每类方案能否独立完方案能否独立完成这件事情成这件事情每类每类方案中分别有几方案中分别有

2、几种不同的方法种不同的方法完成这件事情共有多完成这件事情共有多少种不同的方法少种不同的方法问题问题1.1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有一天中，火车有4 4 班班, , 汽车有汽车有2 2班。那么一天中班。那么一天中, ,乘坐乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? ? 问题剖析问题剖析 问题问题1两类两类能能从甲地到乙地从甲地到乙地 种种 种种42种种4 26 完成这个事情有完成这个事情有几类几类方案方案要完成什么事情要完成什么事情每类每类方案能否独立完方案能否独立完成这件

3、事情成这件事情每类每类方案中分别有几方案中分别有几种不同的方法种不同的方法完成这件事情共有多完成这件事情共有多少种不同的方法少种不同的方法变式：变式： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船还可以乘轮船。一天中，火车有。一天中，火车有4 4 班班, , 汽车有汽车有2 2班班，轮船有轮船有3 3班班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法到乙地共有多少种不同的走法? ? 问题剖析问题剖析 问题问题13类类能能从甲地到乙地从甲地到乙地 种种 种种 42种种4 2 39 完成这个事情有完成这个

4、事情有几类几类方案方案要完成什么事情要完成什么事情每类每类方案能否独立完方案能否独立完成这件事情成这件事情每类每类方案中分别有几方案中分别有几种不同的方法种不同的方法完成这件事情共有多完成这件事情共有多少种不同的方法少种不同的方法3种种变式：变式： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，还可以乘轮船，也可以坐飞机也可以坐飞机. .一天中，火车有一天中，火车有4 4 班班, , 汽车有汽车有2 2班，轮船有班，轮船有3 3班，班，飞机有两班飞机有两班. .那么一天那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同中乘坐这些交通工具从甲地到乙

5、地共有多少种不同的走法的走法? ? 问题剖析问题剖析 问题问题14类类能能从甲地到乙地从甲地到乙地 种种 种种 42种种4 2 3 2 11 完成这个事情有完成这个事情有几类几类方案方案要完成什么事情要完成什么事情每类每类方案能否独立完方案能否独立完成这件事情成这件事情每类每类方案中分别有几方案中分别有几种不同的方法种不同的方法完成这件事情共有多完成这件事情共有多少种不同的方法少种不同的方法3种种2种种 完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法. 在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方法中有类方法中有m2种不同的种不同的方法，方法，在第，在第n类方法中有

6、类方法中有mn种不同的方法，种不同的方法，则完成这件事共有则完成这件事共有 (1(1）各类办法之间相互独立）各类办法之间相互独立, ,都能独立的完成这件事都能独立的完成这件事(2)(2)各类中没有相同的方法（你中无我，我中无你）各类中没有相同的方法（你中无我，我中无你）不重不重（3 3）完成这件事情的任何一种方法都在某一类中）完成这件事情的任何一种方法都在某一类中不漏不漏N= m1+m2+ + mn 种不同的方法种不同的方法例例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：所大学各有一些自己感兴趣的

7、强项专业，具体情况如下：A大学大学B大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：如果数学也是变式：如果数学也是A大学的强项专业，则大学的强项专业，则A大学共有大学共有6个专业可个专业可以选择，以选择，B大学共有大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10，这种算法对吗？，这种算法对吗？用前用前6 6个大

8、写英文字母个大写英文字母和和1 19 9九个阿拉伯数字，九个阿拉伯数字，以以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式给教室里的座的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 字母字母 数字数字 得到的号码得到的号码123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9A B C D EF树形图树形图F1F2F3F4F5F6F7F8F9D1D2D3D4D5D6D7D8D9C1C2C3C4C5C6C7C8C9E1E2E3E4E5E6E7E8E9B1B2B3B4B5B6B7B8B99种种9 9 9 9 9 9 54 6 9分分两两步

9、步完完成成数字数字69第一步第一步第二步第二步=54用前用前6 6个大写英文字母个大写英文字母和和1 19 9九个阿拉伯数字，九个阿拉伯数字，以以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式给教室里的座的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 字母字母123456789ABCDEF 暑假马上到了，你要从暑假马上到了，你要从大庆大庆到到北京北京去看清华园若想中去看清华园若想中途参观途参观南开大学南开大学，已知从大庆到天津有，已知从大庆到天津有3种乘车方式，种乘车方式，从天津到北京有从天津到北京有4种乘车方式，试问：要从大庆到北京

10、种乘车方式，试问：要从大庆到北京共有多少种不同的乘车方式？共有多少种不同的乘车方式？ 天津天津大庆大庆A3A2A1北京北京B3B4B1B2第一步第一步第二步第二步34=12 完成一件事需要完成一件事需要两个步骤两个步骤, ,做第做第1 1步有步有m种不同种不同的方法的方法, ,做第做第2 2步有步有n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件那么完成这件事共有事共有 N= =mn分步乘法计数原理分步乘法计数原理：种不同的方法种不同的方法. . 变形：变形：暑假马上到了，你要从暑假马上到了，你要从大庆大庆到到北京北京去看清华去看清华园若想中途先参观园若想中途先参观东北师大东北师大再参观再参观南开

11、大学南开大学，已知从，已知从大庆到长春大庆到长春3种乘车方式，从长春到天津有种乘车方式，从长春到天津有3种乘车方种乘车方式，从天津到北京有式，从天津到北京有4种乘车方式，试问：要从大庆到种乘车方式，试问：要从大庆到北京共有多少种不同的乘车方式？北京共有多少种不同的乘车方式？ 长春长春(东师东师)大庆大庆321北京北京3412天津天津(南开南开)312 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤。做第个步骤。做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法， ，做第做第n步有步有mn种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法，则完成这件事共有

12、2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事这件事才算完成才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数方法总数,又称又称乘法原理乘法原理N= m1m2 mn种不同的方法种不同的方法（2 2）从书架上的第）从书架上的第1 1、2 2、3 3层各取层各取1 1本书，有几种不同本书，有几种不同的取法？的取法？【例例2】书架上的第书架上的第1 1层放着层放着4 4本不同的计算机书

13、，第本不同的计算机书，第2 2层放着层放着3 3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3 3层放着层放着2 2本不同的体育书。本不同的体育书。（1 1）从书架上任取）从书架上任取1 1本书，有几种不同的取法？本书，有几种不同的取法？从书架任取从书架任取2 2本不同学科的书本不同学科的书（3 3）从书架中任取）从书架中任取2 2本不同学科的书，有几种不同的取法。本不同学科的书，有几种不同的取法。 计算机计算机, ,文艺文艺文艺文艺, ,体育体育计算机计算机, ,体育体育根据分类，分步计数原理，不同取法的种数是：根据分类，分步计数原理，不同取法的种数是：128626N 种种先分三类先分三类再分步再分

14、步4 3=124 2=83 2=6解解 ：4 3 224 种4329 种 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2 2幅幅, ,分别挂在左、右两边墙上的指定位置分别挂在左、右两边墙上的指定位置, ,问共有多问共有多少种不同的挂法少种不同的挂法? ?分分2 2步步第第1 1步：从步：从3 3幅画中幅画中选出选出2 2幅幅第第2 2步，将选出的步，将选出的2 2幅画幅画挂好挂好（“甲、乙甲、乙”，“甲、丙甲、丙”，“乙、丙乙、丙”） 3种种2种种3 2=6种根据分步计数原理，不同挂法的种数是：根据分步计数原理，不同挂法的种数是：解：解：【例例3】32 要从甲、乙、丙要从

15、甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2 2幅幅, ,分别挂在左、右两边墙上的指定位置分别挂在左、右两边墙上的指定位置, ,问共有多问共有多少种不同的挂法少种不同的挂法? ?=6左边左边右边右边分分2 2步步解：解：【例例3】1从甲地到乙地一天有汽车从甲地到乙地一天有汽车8班，火车班，火车3班，轮班，轮船船2班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船到乙地时，共有不同的走法数为或轮船到乙地时，共有不同的走法数为() 25个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且只报一所，则不同的报名方法有只报一所，则不同的

16、报名方法有()AA5A.3种种3B.5种种D.5 3种种C.5 4 3 种种A.13种种B.16种种D.48种种C.24种种4由数字由数字2,3,4,52,3,4,5可组成可组成_个可重复数字的个可重复数字的三位数三位数5.某校会议室有五个出入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有_种3.一个科技小组有一个科技小组有3名男同学、名男同学、5名女同学，从中任名女同学，从中任选一名同学参加科技竞赛，共有选一名同学参加科技竞赛，共有_种不同种不同的选派方法的选派方法答案：答案：538种种答案：答案：5 420种种答案：答案：34种种数字组数字组字母组字母组交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，

17、交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有每一个汽车牌照都必须有3 3个个不重复不重复的英文字的英文字母和母和3 3个个不重复不重复的阿拉伯数字的阿拉伯数字( )( )，并且，并且3 3个字母必须合成一组出现，个字母必须合成一组出现，3 3个数字也必须合个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照上牌照? ?0 9分两类分两类某市交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办某市交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个法，每一个汽车牌照都必须有个不重复不重复的英的英文字母和个文字母和个不重复不重复的阿拉伯

18、数字，并且个的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照牌照? ?先分两类先分两类再分步再分步字母组字母组262524数字组数字组1098数字组数字组1098左：字母组左：字母组 右：数字组右：数字组左：数字组左：数字组右：字母组右：字母组六步六步字母组字母组262524根据分类，分步计数原理，不同取法的种数是：根据分类，分步计数原理，不同取法的种数是：22625241098N 种种22464000 2.如图如图,该电该电路路,从从A到到B共共有多少条不有多少

19、条不同的线路可同的线路可通电？通电？AB解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能独立完成独立完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个步骤