多元函数微分学

1、第十七章 多元函数微分学1 可微性可微性2 复合函数微分法复合函数微分法3 方向导数与梯度方向导数与梯度4 泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题第十七章 多元函数微分学1 可微性可微性一、全微分的定义),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念全增量的概念).,(),(yxfyyxxfz 全微分的定义全微分的定义. yBxAdz 事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 二、偏导数的

2、定义及其计算法函数对函数对 x 的偏增量的偏增量.),(),(lim0000000 xyxfyxxfxfxyyxx 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数),(zyxfu 例如，例如，处，处，在在 ),( zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。微分法问题。时，时，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时

3、看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解解 xz;2sin2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 证证 xz,1 yyx yz,lnxxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原

4、结论成立原结论成立解解 xz322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy xyxxyxx 2222211 yz32222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在yyxxyxx 2222211 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解解时，时，当当 0 22 yx时，时，且且即即 0 0 yxxxyxxyyxf 22),( 2

5、2222)(2)(yxxyxyxy ,)()(22222yxxyy ).,( )1(yxfx先求先求xfxfx )0 , 0()0 ,0(lim0. 000lim0 xx于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxxyyyxfx考虑点考虑点 (0, 0) 对对 x 的偏导数，的偏导数，时，时，当当 0 22 yx时，时，且且即即 0 0 yxyyyxxyyxf 22),( 22222)(2)(yxxyyyxx ).,( )2(yxfy求求,)()(22222yxyxx yfyfy )0 , 0()0 , 0(lim0. 000lim0 yy于是，于是，

6、. 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxyxxyxfy考虑点考虑点 (0, 0) 对对 x 的偏导数，的偏导数，解解 xry、z 看成常量看成常量 22222zyxx 222zyxx .rx zr22222zyxz 222zyxz .rz x、y 看成常量看成常量 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。连续。连续。4 4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),

7、(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如图如图xTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz 几何意义几何意义: :三、可微的条件. yyzxxzdz .,dyydxx .dyyzdxxzdz 证证如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP可微分可微分, , )( oyBxAz 总成立总成立, ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在例如，例如，.000),(222222 yxyx

8、yxxyyxf微分存在微分存在全微分存在全微分存在)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 时，时，即，当即，当 0 (0,0)(0,0)xyzfxfy ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即0说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。分存在。定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分证证),(),(yxfyyxx

9、fz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其中其中1 为为yx ,的函数的函数,xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 , ) , () , () ,

10、 () , (00000000yxfyxxfyxxfyyxxf0000( , )( , ) 01, 0yxf xx yy yf x yxx xxyxfyyxfxy),(),(00000yxyyxfxyxfyx) , () , (0000.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的之和这件事称为二元函数的微分符合微分符合解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，.dyxedxyexyxy .

11、222dyedxedz (2, 1) 处的全微分处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。,xyye xxyexz yxyeyz 解解),2sin(2)2cos(yxyyx dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 xyxyxz)2cos( ),2sin(yxy yyxyyz)2cos( 解解,2cos21yzzey ,yzye 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 xyzeyxxu 2sin yyzeyxyu 2sin zyzeyxzu 2sin 证证 （1）令令,cos x,sin y ),(lim

12、)0 , 0(),(yxfyx. 0)0 , 0( f232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 ),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0, 000lim0 yy ),(lim)0 , 0(),(yxfyx232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx )

13、0 , 0()0 , 0( yfxffyx 则则22222)()()()(xxxx 41 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即 )0 , 0()0 , 0( yfxffyx 则则22222)()()()(xxxx 41 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在四四 可微性的几何意义与应用可微性的几何意义与应用切平面的定义 一元函数可微性，在几何上反映为曲线存在不平性于Y轴的切线，二元函数可微性的几何意义则反映的是曲面与其切平面的类似关系. 定义（切平面）设P是曲面S上一点，H

14、为通过 P 的一个平面，曲面S上的动点Q到P 和到平面H 的距离分别为 d 和h，当Q在S上以任何方式趋于P时，恒有 ，则称平面 H 为曲面S在点P处的切平面，P为切点.1 设曲面方程为0),(zyxF),(),(),(000tttT曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线,)()()(:tztytx曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令令则则,Tn 由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面. 切平面

15、方程为0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 0,0t tdFtttdt由 000000000000, , , ,0 xyzF x y ztF x y ztF x y zt得 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂

16、直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.2 空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在M处的切平面方程为),(yxfz 在),(00yx的全微分，表示

17、曲面),(yxfz 在点),(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量. ,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中解, 632),(222 zyxzyxF)1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(6,4,2zyxn,6 , 4 , 2切平面方程为切平面方程为, 0)1(6)1(4)1(2 zyx, 032 zyx法线方程为法线方程为.614121 zyx.处的切平面及法线方程(1,1,1) 在点632 面3222zyx椭球求例解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1(

18、 yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(2)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,221412000zyx .42000zyx 2 ,4 ,2000zyxn 法向量法向量例12 求椭圆面12222zyx使其与平面02 zyx平行。的切平面，因为因为 是

19、曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx,1120 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),118,221,112( 2112 zyx切平面方程切平面方程全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1

20、 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 1420,40.1,?HcmRcmcm例要在高为半径的圆柱体表面均匀地镀上一层厚度为的黄铜 问需要准备多少黄铜解解设黄铜的比重为设黄铜的比重为3cmg圆柱体的体积为圆柱体的体积为HRV2 .,2 . 0, 1 . 0,20, 4,VHRHR 要要求求时时依依题题意意2,2RHVRHRV 由于由于HHVRRVdVV 于是于是2 . 0161 . 0160 .2 .19g 从从而而所所需需准准备备的的黄黄铜铜为为 2 .1

21、9 五、小结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）、偏导数的定义；、偏导数的定义；、偏导数的定义，偏导数的几何意义；、偏导数的定义，偏导数的几何意义；作业：，（），作业：，（），思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能. .,),(22yxyxf 例如例如, ,第十七章 多元函数微分学2 复合函数微分法复合函数微分法证证),()(tttu 则则);()(tttv

22、一、链式法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获得增量获得增量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 证略

23、证略。一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则1、z uvx 型型.dxdvvzdxduuzdxdz .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：函数的情况：2、z uvxy型型,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz 链式法则如图示链式法则如图示 xzuvxzy uzxu vz,xv yz

24、 uzyu vz.yv uvxzyywwzyvvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw区别类似区别类似解解 dtdzttuevtcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uz dtdu vz dtdvtz z uvtt 型型解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuuz u

25、vxy型型).cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 解解xfxuufxz .yfyuufyz 2222222sin22uyxuyxxeyxue .)sin21(22222uyxeyxx 2222222)(cos22uyxuyxyeyxue .)2sin2(2224uyxeyxy 解解xududfxz 令令.xyxu 则则).(ufz )(xyxf).1(y yududfyz ).( xyxf xz uxy型型解解令令, zyxu ;xyzv 记记,1uff ,12211ufuff ,2vff vfvuff 1212,12222vfvff w uvxyz型型

26、).,( vufw 则则.2221ufuvff 二阶偏二阶偏导连续导连续 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 因此，因此， zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf xwxvvfxuuf ; 2 1fzyf 于是，于是，二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分（1）如果）如果 u，v 是自变量，结论显然。是自变量，结论显然。（2）如果）如果 u，v 是中间变量，是中间变量，).,( ),(yxvyxu 有全微分

27、：有全微分：dyyzdxxzdz 事实上，事实上，dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvdxxvvzdyyudxxuuz.dvvzduuz 全微分形式不变形的全微分形式不变形的实质实质： 无论无论 z 是自变量是自变量 u，v 的函数或中间变量的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的. .解解dvvzduuzdz )()cos()()sin(yxdvexydveuu dydxvexdyydxveuu )cos()sin(dyvvxedxvvyeuu)cossin()cossin( dxyxyxyexy)cos()s

28、in(.)cos()sin(dyyxyxxexy xz yz 解解, 0 2 zxyeze, 02)( dzedzxydezxy),()2(ydxxdyedzexyz ,)2()2(dyexedxeyedzzxyzxy xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexed ( ) d ( )1 1、链式法则（分二种情况）、链式法则（分二种情况）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结作业：作业： ：（）（）；：（）（）； ，第十七章 多元函数微分学3 方向导数与梯度方向导数与梯度例子：一

29、块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一一 问题的提出问题的提出),(yxp),(yyxxpxyl0 xy方向导数图示 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题),(yxfz ABCtan|AC|BC|)(xf)(xxfxxx)(xfxxfxxfx)()(lim0)(xfxxfxxfx)()(lim0)(xf|)(|)()(lim0|

30、xxxxfxxfx3R中xOyz.P0P|PP|)(P(P)lim00PP0ffl0l沿)(xf0l方向的方向导数)(Xfz .二、方向导数的定义二、方向导数的定义 设函数)(Xfu 在)U(0X内有定义。若点 )U(0XX 沿射线 l 趋于0X时,极限|)()(lim000XXXfXfXX存在，则称该极限值为函数)(Xf在点0X处沿 l 方向的方向导数。记为0XXlz|)()(lim000XXXfXfXX或)(0Xfl 利用直线方程可将方向导数的定义tXfe tXflut)()(lim000表示为:射线 l 的方程为pzznyymxx000t则cos0txxcos0tyycos0tzz故et

31、XX0)cos,cos,(cosecoscoscos000zzyyxx比较方向导数与偏导数的概念比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母0|0 XX；在偏导数中，分母x、y可正、可负。即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的。方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？想一想，为什么？ 怎么计算方向导数？怎么计算方向导数？0XXl0l),(0000zyxX),(zyxX|cos00XXxx|cos00XXyy|cos00XXzz|)o(|)()(00XXzzuyyuxxuXfXf看看三维空间的情形定理定理(方向导数导计算公式)若函数),(

32、zyxfu 在点),(000zyx处可微， 则函数)(Xf在点),(000zyx处沿任一方向)cos,cos,(cos0l的方向导数存在，且lu其中, 各导数均为在点),(000zyx处的值。cosxucosyucoszu运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：lucosxucosyucoszuzuyuxu,eu grad其中，ugrad)cos,cos,(cose称为梯度设xyzu , 求函数在点)2,2, 1P(沿方向kjil22的方向导数。解;4PPyxxu;2PPxzyu.2PPxyzu,31cos,32cos.32coslucosxucosyucoszu例例由点),P(yx到坐

33、标原点的距离定义的函数22yxz在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：10lim222200)0, 0(yxyxlzyx想一想，该例给你什么启示想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。 例例三三、梯度梯度一个问题：一个问题：),()(zyxfXfu在给定点0X沿什么方向增加得最快？该问题仅在zuyuxu,不同时为零才有意义。可微函数eulugrad由前面的推导，有),gradcos(|grad|eueu现在正式给出现在正式给出的定义uegradprjgrad u),gra

34、dcos(|grad|euu由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？ 方向导数等于梯度在此方向上的投影定义定义设,3R, )()(1CXfu,0X则称向量ixXf)(0为函数)(Xf在点0X处的梯度，记为)(grad0Xf或。)(0XfjyXf)(0kzXf)(0 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截

35、得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线),(yxfgrad梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc . ),(kzfjyfixfzyxfgrad 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值. .梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数设,52zxyzu求,gradu并求在点) 1, 1, 0(M处方向导数

36、的最大(小)值。解 ,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0, 1(从而例例1解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 1 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三、小结最最大大值值。梯梯度度的的模模为为方方向向导导数数的的快快的的方方向向在在这这点点增增长长最最梯

37、梯度度的的方方向向就就是是函函数数 .),(yxf1 方向导数是一个数值，在任何方向上都存在；2 梯度是一个向量，只有方向导数存在时，梯度才存在。3 方向导数与一般所说偏导数的无区别）四四 思考判断题思考判断题作业：作业： 第十七章 多元函数微分学4 泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.一、高阶偏导数

38、解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax

39、 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxy

40、xxyyuxu . 0 二二 中值定理和泰勒公式中值定理和泰勒公式Taylor公式公式 00100000( , )11 ( ,)( , ).!(1)!innif xh ykhkf x yhkf xh ykixynxy二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz (3)(2)(1)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件 ),(yx),(00yx 证证但但点点 (0, 0) 不不是是极极值值点点. . 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数