ch6点的合成运动

1、 61 61 点的合成运动的概念点的合成运动的概念 62 62 点的速度合成定理点的速度合成定理 63 63 点的加速度合成定理点的加速度合成定理 习题课习题课第六章第六章 点的合成运动点的合成运动 前章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考前章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看雨点的运动等。机的运动等，坐在行驶的火车内看雨点的运动

2、等。在不同的坐标系或参考体上观察物体的同一运动会有不同在不同的坐标系或参考体上观察物体的同一运动会有不同的结果。的结果。引引 言言6-16-1点的合成运动的概念点的合成运动的概念 一坐标系一坐标系1.1.静静( (坐标坐标) )系系：把固结于地面上的坐标系。：把固结于地面上的坐标系。二动点二动点 所研究的点（运动所研究的点（运动着的点）。着的点）。 2.2.动动( (坐标坐标) )系系：把固结于相对：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系。于地面运动物体上的坐标系。三三种运动、三种速度、三种加速度三三种运动、三种速度、三种加速度绝对运动绝对运动：动点相对于静系的运动。：动点相对于静系的运动。相对

3、运动相对运动：动点相对于动系的运动。：动点相对于动系的运动。牵连运动牵连运动：动系相对于静系的运动：动系相对于静系的运动牵连点牵连点：在任意瞬时，动系上与：在任意瞬时，动系上与动点相重合的点。动点相重合的点。 点的运动 （直线或曲线运动）（直线或曲线运动）刚体的运动绝对运动中绝对运动中, ,动点的速度与加速度称为动点的速度与加速度称为绝对速度绝对速度 与与绝对加速度绝对加速度相对运动中相对运动中, ,动点的速度和加速度称为动点的速度和加速度称为相对速度相对速度 与与相对加速度相对加速度 牵连运动中牵连运动中, ,牵连点的速度和加速度称为牵连点的速度和加速度称为牵连速度牵连速度 与与牵连加速度牵

4、连加速度aaavrvevraea注意：牵连点是动系上不动的点，注意：牵连点是动系上不动的点，但它随动系一起运动；不同瞬时牵但它随动系一起运动；不同瞬时牵连点不同。连点不同。（平动、转动或其它运动）（平动、转动或其它运动）举例说明以上各概念：举例说明以上各概念：动点：动点：动系：动系：静系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上动点、动系选择的原则：动点、动系选择的原则： 动点不能选在动系上，动点对动系有相对运动，且动点不能选在动系上，动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹要明确。相对运动的轨迹要明确。相对运动相对运动：牵连运动牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动绝对运动： 直线evrva

5、v绝对速度绝对速度 ：相对速度相对速度 ：牵连速度牵连速度 ：绝对加速度：绝对加速度：相对加速度：相对加速度：牵连加速度：牵连加速度：aaeara动点：动点：A（在圆盘上（在圆盘上)动系：动系：OA摆杆摆杆静系：机架静系：机架绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线相对运动：直线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动动点：动点：A1（在（在OA1 摆杆上摆杆上)动系：圆盘动系：圆盘静系：机架静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线相对运动：曲线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动（不合适）（不合适） 若动点若动点A在偏心轮上时在偏心轮上时动点：A(在

6、AB杆上) A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动注注 要指明动点应在哪个要指明动点应在哪个 物体上，物体上， 但不能选在但不能选在 动系上。动系上。（不合适）（不合适）6-6-点的速度合成定理点的速度合成定理 速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。速度之间的关系。 当 t t+t AB AB M M也可看成M M M绝对轨迹绝对位移相对轨迹相对位移11MMMMM MM M 11MMMM 牵连轨迹牵连位移1MMMM1MMt将上

7、式两边同除以后，0t时的极限，得tMMtMMtMMttt 10100limlimlim va动点的绝对速度；动点的绝对速度；vr动点的相对速度；动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点牵连点)的速度的速度动系作平动动系作平动时，动系上各点速度都相等。时，动系上各点速度都相等。动系作转动动系作转动时，时，ve必须是该瞬时动系上与必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。动点相重合点的速度。 速度合成定理：速度合成定理：任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。相对速度的矢量和。aer vvv速度合成定

8、理是瞬时矢量式，共包括大小、方向六个元素，速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。已知任意四个元素，就能求出其他两个。例例：曲柄滑杆机构，曲柄OA=0.1m，=4t (rad/s) ，滑杆上有圆心在套杆BC上、半径R=0.1m的圆弧形滑道。当t=1s时，曲柄与水平线夹角 =30。求此时滑杆BC的速度v。4 . 041 . 0OAvam/s4 . 0evvm/s解解：动点：滑块A， 动系：滑杆BC， 静系：大地速度分析如图速度分析如图。22222222112212221sin,sin,1eaeerrvvrlrlvO AvrrO Arlrlrl 又又

9、（ ）例例: 曲柄摆杆机构。已知已知：OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1，求求：摆杆O1B角速度1解解：动点：OA杆上A点， 动系：摆杆01B， 静系：大地速度分析如图速度分析如图23tan 30 323( )3aeABavvevve 例：例： 圆盘凸轮机构。已知：已知：OCe , , 常量，图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。求：求：从动杆AB的速度。eR3解解：动点：AB杆 上A点， 动系：偏心轮C， 静系：大地速度分析如图。2evOAe 例：例：汽车A以40km/h的速度沿直线道路行驶，汽车B以56.6km/h的速度沿另一叉道行驶。试求在汽车B上观察到的汽车A的

10、速度。解：解：动点：汽车A 动系：汽车B 静系：地面。 reavvv45cos222eabarvvvvv707. 06 .564026 .56402240（km/h）145sin406 .5645sinsinrevv 90速度分析如图 分析分析：相接触的两个物体的接触点随时间而变化，因此两物体的接触点不宜选为动点，需选择特殊点为动点。例：例：已知: 凸轮半径r , 杆OA靠在凸轮上。 求：图示瞬时杆OA的角速度。, 30 ; v解: 动点：动点：凸轮上C点为, 动系：动系：固结于OA杆上, 静系：静系：固结于大地。rvvrrve6333212 3tan3eavvv（） ,2sinrrOCve又

11、速度分析如图：4-34-3加速度合成定理加速度合成定理 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。一、牵连运动为平动时一、牵连运动为平动时aer vvvddddddaerttt vvv其中：ddaat va动系作平动，其上各点的速度、加速度都相同 , eOeO vvaa222222dd d d ()ddddddddddddrrtxyzttttxyzttt vijkjk = airddd dddxyzttt vijkddeet va xyz rijk为动系坐标轴方向的单位矢量，因动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，

12、, ,ij k aeraaa牵连运动为平动时点的加速度合成定理 当牵连运动为平动时，动点当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。相对加速度的矢量和。解解：动点：杆上的A点， 动系：凸轮（平动） 静系：大地例：例：已知：凸轮半径 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。,ooR va003260sinsinvvvvoer1）速度分析如图n2）加速度分析如图2220042 /() /33nrrvavRvRR eo aa aerenrraaaaaa?ra 将上式投影到法线上，得nreaaaacossin整理得20038()33ABavaaaR

13、 设一圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？二、牵连运动为转动时二、牵连运动为转动时选点选点M为动点，动系固结与圆盘上为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动牵连运动为匀速转动Rvavrrr2, 常数有相对运动相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出aerrvvvRv 常2, eevRaR （方向如图）即绝对运动绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心点rrraavRvRRvRRva2)(2222 可见，当可见，当牵连运动为转动牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不只等时，动点的

14、绝对加速度并不只等于牵连加速度和相对加速度的矢量和，而是多出了一项于牵连加速度和相对加速度的矢量和，而是多出了一项 aC2 vr 。 aC称为称为科氏加速度科氏加速度，是由于牵连运动和相对运动相互，是由于牵连运动和相对运动相互影响而产生的。影响而产生的。2222(2)2arerarerCrrvRvRRvRvRaaaaaav vr = i+ j kdxdtdydtdzdtve = e r ar = i+ j k 22d xdt22d ydt22d zdteeeevra公式推导分析公式推导分析相对导数相对导数 设有一动点设有一动点M沿空间曲线运动，动系沿空间曲线运动，动系Oxyz 绕静系绕静系Ox

15、yz的的z轴转动，角速度、角加速度分别为轴转动，角速度、角加速度分别为 。,ee 根据点的速度合成定理：va = ve + vr两边同对时间求导，得：aeraddddtdtdtvvva() =()eeeeeeeaeeereerereeddddtddtdtdtrrr +r +vr +v +vr +v +vva +v 动系以角速度矢动系以角速度矢e绕定轴转动绕定轴转动,定轴为定系的定轴为定系的z轴，定点轴，定点O到动到动系原点及单位矢量系原点及单位矢量k的矢端的矢端A的矢径分别为的矢径分别为rO和和rA 。k= rA rOvA vOOAddddtdtdtrkrvA =erA，vO =erO erA

16、 e rO =e(rA rO) = kddtke下面先来分析动系坐标轴方向单位矢量对时间的一阶导数。下面先来分析动系坐标轴方向单位矢量对时间的一阶导数。 ijkddtddtddteiejek i+ j i+ j krddxdttddtdvdydtkdzdt22d xdt22d ydt22d zdtdx ddy ddzddt dtdt dtdtdtijk=ar （ei） （e j） （ek） =ar i j k）dxdtdydtdzdt(edxdtdydtdzdt= ar + e vr aa = ae + ar +2evr ac = 2e vr ac称为称为科氏加速度科氏加速度，它等于动系角速度

17、矢与动点相对，它等于动系角速度矢与动点相对速度矢的矢积的两倍，是由于牵连运动与相对运动相互影速度矢的矢积的两倍，是由于牵连运动与相对运动相互影响而产生的。响而产生的。 aa = ae + ar + ac 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。:2sin( ,)Cerrav 大大小小 v方向：按右手法则确定。方向：按右手法则确定。0 180 ( / ),0rCa 当当或或时时v 90 ( ),2rCrav 当当时时v 关于科氏加速度ac = 2e vr

18、将vr的方向顺 的转向转过 即为 的方向。e90 ca 在自然界中可以观察到科氏加速度所表现出的现象。在自然界中可以观察到科氏加速度所表现出的现象。由于地球绕地轴转动，因此只要地球上物体相对地球运动的方由于地球绕地轴转动，因此只要地球上物体相对地球运动的方向不与地轴平行，该物体就有科氏加速度。向不与地轴平行，该物体就有科氏加速度。 在北半球，河水向北流动时，在北半球，河水向北流动时，有向左的加速度，河水必然受右岸有向左的加速度，河水必然受右岸对水的向左作用力。根据作用与反对水的向左作用力。根据作用与反作用定律，河水必对右岸有反作用作用定律，河水必对右岸有反作用力。北半球向北流动的江河，其右力。

19、北半球向北流动的江河，其右岸均受到较明显的冲刷，这也是岸均受到较明显的冲刷，这也是地地理学中的一项规律理学中的一项规律。 由于地球自转角速度很小，所以一般工程问题都忽由于地球自转角速度很小，所以一般工程问题都忽略其自转的影响，只有在某些特殊情形下才加以考虑。略其自转的影响，只有在某些特殊情形下才加以考虑。DABC解解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。sin211vaC220 (/)Ca v 例例：矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为v1和v2 ，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并图示方向。点M

20、2 的科氏加速度解：22 2rCrav v 11cossin(),sincos()earavvrvvr 1122cossin)sin(cossin)sin(rrAOve221sin(22 )2cosCravr 方向：与 相同。ev例例:曲柄摆杆机构。已知：O1Ar , , , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结O2A上，试计算动点A的科氏加速度。速度分析如图90()解：解：动点：小环动点：小环M 动系：直角形杆动系：直角形杆OBC（转动）（转动） 静系；直杆静系；直杆OA（大地）。（大地）。 1速度分析如图速度分析如图10. 05 . 060cos10. 0cosOBOMve（m/s） 2

21、0. 060cos10. 0coservv173. 060tan10. 0taneavv（m/s） （m/s） 例例:直角形曲柄直角形曲柄OBC绕垂直于图面的轴绕垂直于图面的轴O在一定范围内以匀在一定范围内以匀角速度转动，带动套在固定直杆角速度转动，带动套在固定直杆OA上的小环上的小环M沿直杆滑动。沿直杆滑动。已知：已知：OB = 0.1m， rad/s。试求当。试求当 时，小环时，小环M的速度和加速度。的速度和加速度。0.5 60Creaaaaa05. 05 . 060cos10. 022OMaanee20. 02 . 05 . 0290sin2rCva60cos60coseCaaaa35.

22、 060cos60cos05. 020. 060cos60coseCaaaa将各加速度矢量投影到将各加速度矢量投影到x 轴上轴上 （m/s2） （m/s2） （m/s2） 2加速度分析如图加速度分析如图解解: 动点动点: 顶杆上顶杆上A点点 动系动系: 凸轮凸轮(转动）转动） 静系静系: 地面地面例例: 已知：凸轮机构以匀已知：凸轮机构以匀 绕绕O轴转动，轴转动，图示瞬时图示瞬时OA= r ，A点曲率半径点曲率半径 , 已知。已知。 求：该瞬时顶杆求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。的速度和加速度。1速度分析如图速度分析如图tan tan ( )ABaevvvr cos/ cos/rvver2

23、222/cosnrravr ? ra 2 0 , neeeaaar 222/cosCravr 2加速度分析如图加速度分析如图Creaaaaa向 n轴投影：coscosnaerCaaaacos/ )sec2/seccos(22222rrraaaAB)sec2/sec1 (232rr解：动点:凸轮的中心C点 动系：连于顶杆AB（平动） 静系：连于地面。evvae2245cosevveAB22 例例:平底顶杆凸轮机构。偏心凸轮以等角速度 转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。设凸轮半径为R，偏心距OC = e，OC与水平线的夹角为 ，试求当 时，顶杆AB的速度和加速度。 45

24、1速度分析如图速度分析如图22245coseaaae222eaaeAB2加速度分析如图加速度分析如图2aae 习题课习题课一概念及公式一概念及公式 1. 1. 一点、二系、三运动一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成 2.2. 速度合成定理速度合成定理 3. 3. 加速度合成定理加速度合成定理 牵连运动为平动时牵连运动为平动时 牵连运动为转动时牵连运动为转动时Creaaaaa aeraaaaer vvv 2Cerav 二解题步骤二解题步骤1. 1. 选择动点、动系、静系。选择动点、动系、静系。2. 2. 分析三种运动：绝对运动、

25、相对运动和牵连运动。分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 3. 作速度分析作速度分析, , 画出速度平行四边形画出速度平行四边形, ,求出有关未知量求出有关未知量 ( (速速度度, ,角速度）。角速度）。4. 4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关未知量作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关未知量( (加加速度、角加速度）。速度、角加速度）。 三解题技巧三解题技巧1. 恰当地选择动点、动系和静系恰当地选择动点、动系和静系, 应满足选择原则。应满足选择原则。具体地有：具体地有：a. 两个不相关的动点，求二者的相对速度。两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意根据题意,

26、 选择其中之一为动点选择其中之一为动点, 动系为固结于另一点的平动动系为固结于另一点的平动坐标系。坐标系。b. 运动刚体上有一动点，点作复杂运动。运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。c. 机构传动机构传动, 传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,相对于另一个刚体运动。相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮凸轮挺杆机构：典型方法是动系

27、固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。接触点为动点。d.d. 特殊问题特殊问题, , 特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化而变化. . 此时此时, , 这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。足前述的选择原则的非接触点为动点。2. 2. 速度问题速度问题, , 一般采用几何法求解简便一般采用几何法求解简便, , 即作出速度平行四即作出速度平行四边形；边形；加速度问题加速度问题, , 往往超过三个矢量往往超过三个矢量, , 一般采用解析（投影）法求一般采用解析（投影）

28、法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。 四注意问题四注意问题 1. 牵连速度及牵连加速度是牵连点相对于静系的速度及加速度。牵连速度及牵连加速度是牵连点相对于静系的速度及加速度。 2. 牵连运动为转动时作加速度分析不要漏掉牵连运动为转动时作加速度分析不要漏掉 ，正确分析和计，正确分析和计 算算 。 3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静力平衡方程加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静力平衡方程 的投影式不同。的投影式不同。 4. 圆周运动时，圆周运动时， 非圆周运动时，非圆周运动时， ( 为曲率半径为曲率半径)CaRRvan22/22/ v

29、an Ca已知已知: OAl , = 45o 时，, ; 求求：图示瞬时小车的速度与加速度解：动点：OA杆上 A点;动系：固结在滑杆上（平动);静系：固结在机架上。 一、一、 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构1速度分析如图小车的速度小车的速度：22el vv)(coscos llvvae2245avl 方向：水平向右。enaaaaasincos2cos45sin45eall，方向如图示小车的加速度小车的加速度：22()2eaal naaaer aaaaa2加速度分析如图投影至x轴：2,naaalal，方向如图示22()2l方向：水平向右。二、二、 摇杆滑道机构摇杆滑道机构解解：动点动点:销子销子D (

30、BC上上) 动系动系: 固结于固结于OA(转动）转动） 静系静系: 固结于机架。固结于机架。coscos ,sinsinearavvvvvv hvhvODve2cos )cos/(cos/（）: , , ,hv a已知已知 求求: 该瞬时OA杆的 , 。1速度分析如图速度分析如图投至 轴：Ccosaeaaa 222cossincoscoseCavaaaah 2222cossin 2coseavaODhh （）22322coscos(),coscos22sinneCrhvvahhvavvh 2加速度分析如图加速度分析如图naeerC aaa + aa三、三、 曲柄滑块机构曲柄滑块机构动点：动点：

31、O1A上上A点点动系：固结于动系：固结于BCD（平动）（平动）静系：固结于机架上静系：固结于机架上 已知：已知： h; 图示瞬时 ; 求求: 该瞬时 杆的2 。EOAO21/EO2 ,11rAO解解：sinsin1rvvae速度分析如图速度分析如图动点：动点：BCD上上F点点动系：固结于动系：固结于O2E上（转动）上（转动）静系：固结于机架上静系：固结于机架上21111sinsinsinsineavvrr 1222,/sinevO FO Fh 又又2311212sinsinsinevrrO Fhh ）（速度分析如图速度分析如图11sinaevvr （注意：两次选择动点、动系）（注意：两次选择动

32、点、动系）解解: 动点：凸轮上动点：凸轮上C点点 动系：固结于动系：固结于OA杆上（转动）杆上（转动） 静系：固结于地面上静系：固结于地面上已知已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上; 已知;求求: 该瞬时OA杆的角速度和角加速度。 、 、va分析分析: : 由于接触点在两个物体上的位由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。动点。四、四、 凸轮机构凸轮机构1速度分析如图速度分析如图0,; sin/sinreaeevvvvvvvOCRR ）(22(sin)sinsinneRvvaRR 投至 轴：cossincoseneaaaatanneaeaaa 2222sin/sinsin/sineeaavRavOCRRR 转向由上式符号决定， 0则， 0 则2加速度分析如图加速度分析如图0Ca ee(注意：放大动系才能覆盖到动点注意：放大动系才能覆盖到动点)naeerC aaa + aa五、五、 刨床机构刨床机构已知已知: 主动轮O转速n=30 r/min（常量）O