一阶电路的阶跃和冲激状态方程

1、9.5 9.5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应1. 1. 单位阶跃函数单位阶跃函数l 定义定义 )0(1)0(0)(t t tt (t)01l 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟 )(1)(0)(000tt tt ttt (t-t0)t001下 页上 页返 回t = 0 合闸合闸 i(t) = Is)(t在电路中模拟开关的动作在电路中模拟开关的动作t = 0 合闸合闸 u(t) = E)(tl 单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用下 页上 页SUSu(t)(StUu(t)返 回Is)(tik)(tISu(t)起始一个函数起始一个函数tf (t)0)()sin(00tttt t0延迟一个

2、函数延迟一个函数下 页上 页tf(t)0t0)()sin(tt)()sin(0ttt 返 回l 用单位阶跃函数表示复杂的信号用单位阶跃函数表示复杂的信号例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0) 4() 3() 1(2)( ttttf例例 21t1 f(t)0243下 页上 页返 回) 1()1()()( tttttf例例 41t1 f(t)0) 1() 1()( tttt) 1() 1( tt)(tt)4() 3() 1()()( tt tttf例例 31t1 f(t)0243下 页上 页返 回)()() 1 (tt u 例例 5t1 02已

3、知电压已知电压u(t)的波形如图，的波形如图，试画出下列电压的波形。试画出下列电压的波形。)1()2()4( tt u ) 1() 1()3( tt u )() 1()2(tt u t1 u(t)022t1 011t 1 01 t1021下 页上 页返 回)( )1 ()( tetuRCtC)( 1)( teRtiRCt)( teiRCt和和0 teiRCt的区别的区别2. 2. 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。中产生的零状态响应。阶跃响应阶跃响应下 页上 页iC +uCRuC (0)=0)( t注意返 回)( tei

4、RCt0 teiRCtt01it01i下 页上 页tuC10返 回tiC0激励在激励在 t = t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t =t0开始。开始。t- t0RCCeRi 1( t - t0 )(10 tteRRC- t不要写为：不要写为：下 页上 页iC (t -t0)C +uCRR1t0注意返 回)5 . 0(10)(10ttuS求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t）例例下 页上 页10k10kus+-ic100FuC(0)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0)=0等效等效返 回)5 . 0(10)(10ttuS应用叠加定理应用叠加定理下

5、页上 页)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F)(t5k+-ic100Fs5 . 01051010036RCmA )( 51dd2CtetuCitC)( )1 ()(2t tetuC阶跃响应为：阶跃响应为：返 回由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：)5 . 0(51)(51 5)5 . 0(22teteittCmA)5 . 0()()5 . 0(22tetett下 页上 页)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F返 回)5 . 0()()5 . 0(22teteittC0)5 . 0( 1)( 5 . 00tttte

6、i2C)5 .0(21)5 .0(2)5 .0(22C632.0 )1(tttteeeeei下 页上 页1)5 . 0( 1)( 0.5sttt分段表示为：分段表示为：返 回分段表示为：分段表示为：s)0.5(mA 0.632-s)5 . 0(0 mA )(5)0.-2(-2C tetetittt(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.368下 页上 页)5 .0(632.0 )5 .0()()5 .0(22tetteittC返 回9.79.7* * 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应1. 1. 单位冲激函数单位冲激函数l 定义定义)0( 0)(tt1d)(ttt(t)10单位脉

7、冲函单位脉冲函数的极限数的极限 / 21/ tp(t)- / 21 0)()(lim0ttp)2()2(1)(tttp下 页上 页返 回l 单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟1d)()( 0)(000tttttttt (t-t0)t00（1）l 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质冲激函数对时间的积分等于阶跃函数冲激函数对时间的积分等于阶跃函数)( 0 10 0d)(tttttt)(d)( d ttt下 页上 页返 回冲激函数的冲激函数的筛分筛分性性 )0(d )( )0(d)()(fttftttf)(d)()(00tfttttf同理同理 d)6()(sin tttt02. 162166si

8、n 例例t(t)10f(t)f(0) f(t)在在 t0 处连续处连续f(0)(t)注意下 页上 页返 回)(ddtRutuCccuc不是冲激函数不是冲激函数 , , 否则否则KCL不成立不成立分二个时间段考虑冲激响应分二个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为电容充电，方程为(1) t 在在 0 0+间间例例12. 2. 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。产生的零状态响应。冲激响应冲激响应求单位冲激电流激励下的求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。电路的零状态响应。解解注意下 页上 页返 回uC(0)=0iCR(t

9、)C+-uC)0(1)0(CCuCu电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。1d)(dddd0000C00CtttRuttuC01)0()0(CCuuC结论(2) t 0+ 为零输入响应（为零输入响应（RC放电）放电）iCRC+uCCu1)0(C01 CteCuRCt01 CCteRCRuiRCt下 页上 页返 回uCt0C1)(1)()(1 C CteRCtiteCuRCtRCtiCt1RC10下 页上 页返 回)(ddttiLRiLL例例2求单位冲激电压激励下的求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。电路的零状态响应。分二个时间段考虑冲激响应分二个时间段

10、考虑冲激响应解解L+-iLR)(t+-uL0)0(LiiL不是冲激函数不是冲激函数 , , 否则否则KVL不成立。不成立。注意1d)(dd000000tttdtdiLtRiLL0(0 )-(0 ) =1-+LLL ii)0(1)0(LLiLi下 页上 页返 回(1) t 在在 0 0+间间方程为方程为电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。)0(1)0(LLiLi结论(2) t 0+ RL放电放电LiLR+-uLRLLiL1)0(01 teLitL0 teLRRiutLL下 页上 页返 回)(1 teLitL)()( teLRtutLiLt0L1uLt1RL0下

11、 页上 页返 回零状态零状态R(t)(te3. 3. 单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激 (t)单位阶跃单位阶跃 (t)tttd)(d)()(dd)(tstth激励激励响应响应下 页上 页返 回)()(ttiS先求单位阶跃响应：先求单位阶跃响应：求求: :is (t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应uC(t)和和iC (t).例例解解)()1 ()(teRtuRCtCuC(0+)=0 uC()=R = RC iC(0+)=1 iC()=0 )( CteiRCt再求单位冲激响应再求单

12、位冲激响应, ,令：令：)()(Stti下 页上 页返 回令令uC(0)=0iCRiS(t)C+-uC)()1 (dd teRtuRCtC)()1 (teRRCt)(1teCRCt)(1teCRCt)()0()()(tfttf0)(dd CtetiRCt)(1)( teRCteRCtRCt)(1)( teRCtRCt下 页上 页返 回uCRt0iC1t0uCt0C1冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应iCt1RC10下 页上 页返 回1.1.网络的状态与状态变量网络的状态与状态变量l 网络状态网络状态 指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息

13、。为的最少量的一组信息。l 状态变量状态变量 电路的一组独立的动态变量电路的一组独立的动态变量X， X=x1, x2 xnT ，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。是电路的状态变量。下 页上 页7.107.10* * 状态方程状态方程返 回l 状态变量法状态变量法下 页上 页 借助于借助于状态变量，建立一组联系状态变量和状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。只只要知

14、道状态变量在某一时刻值要知道状态变量在某一时刻值X(t0),再知道输入激再知道输入激励励e(t)，就可以确定就可以确定tt0后电路的全部性状后电路的全部性状(响应响应)。状态变量状态变量 X(t0)激激 励励 e(t) (tt0) Y(t) (tt0) 响应响应注意这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。返 回已知已知: :0)0(V3)0()sin(20)(30iuLCotte 求：求：).0(),0(),0(),0(uiuiRRLC解解V7)0(uLV3)0(RuA1)0(A1)0(CRiie(0)=10V0)0(V3)0(CiuL例例下 页上 页3

15、LCe(t)+iLiC+-uC-uo返 回同理可推广至任一时刻同理可推广至任一时刻t1由由)()()(11C1titutLe)()()()(1C111tititutuRLR (1)状态变量和储能元件有关状态变量和储能元件有关 (2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 (3)状态变量的选择不唯一。状态变量的选择不唯一。求出求出下 页上 页表明返 回设设 uc、iL 为状态变量为状态变量RuituCiCLCCddRCuituCLCCddLuLtetiCL)(dd整理得整理得 每一个状态方程中只含有一个状态变量的一每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数

16、。对简单电路采用阶导数。对简单电路采用直观编写法。直观编写法。状态方程状态方程下 页上 页2. 2. 状态方程的列写状态方程的列写3LCe(t)+iLiC+-uC-uoCLL)(ddutetiLu返 回矩阵形式矩阵形式)(100111ddddteLLCRCttiuiuLCLC03)0(X 联立的一阶微分方程组联立的一阶微分方程组 左端为状态变量的一阶导数左端为状态变量的一阶导数 右端含状态变量和输入量右端含状态变量和输入量下 页上 页特点返 回 AXBVX一般形式一般形式下 页上 页返 回12ddddddTnxxxXttt 12,TnXx xx电路的输出方程电路的输出方程)(000100101

17、111teRRuiuiuiLCRRCL代数方程代数方程 用状态变量和输入量表示输出量用状态变量和输入量表示输出量一般形式一般形式Y=CX+DV下 页上 页3LCe(t)+iLiC+-uC-uC特点电路中某些感兴趣的量与状态电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系变量和输入量之间的关系 返 回下 页上 页例例列出电路的状态方程列出电路的状态方程L1CuS+iL1iS+-uC-R1R2iL2L21212解解对结点对结点列出列出KCL方程方程21ddLLCiituC返 回下 页上 页112211S22Sddd()dLCLLCLiLuRiutiLuR iit121S1S111222222d11

18、000dd1100dd100dCCLLutCCuiRuiitLLLiiRRtLLL 对回路对回路1和回路和回路2列出列出KVL方程方程把以上方程整理成矩阵形式有把以上方程整理成矩阵形式有返 回下 页上 页n1Cuu2n2S2()Luii R2Sn122n2S100000CLuuuiRRui若以结点若以结点、的电压作为输出，则有的电压作为输出，则有整理并写成矩阵形式有整理并写成矩阵形式有返 回1.1.动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系 动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态元件的个数相等。动态元件的个数相等。

19、下 页上 页7.117.11* * 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题当一个网络中存在纯电容回路，由当一个网络中存在纯电容回路，由KVL可知其中可知其中必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求出，此电容电压为非独立的电容电压。出，此电容电压为非独立的电容电压。例例返 回下 页上 页当网络中存在纯电感结点，由当网络中存在纯电感结点，由KCL可知其中必可知其中必有一个电感电流可由其它元件的电流求出，此有一个电感电流可由其它元件的电流求出，此电感电流时非独立的。电感电流时非独立的。网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压uC由由uS决定。决定。网络中与独立电流源串联的电感元件，其网络中与独立电流源串联的电感元件，其iL由由iS决定。决定。返 回 以上四种请况中非独立的以上四种请况中非独立的uC和和iL不能作为状态不能作为状态变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状态变量数等于态变量数等于C、L元件总数。含有以上四种情况元件总数。含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网的网络称为非常