线性代数课件：1-3 行列式的性质

1、1.3 行列式的性质行列式的性质行列式计算行列式计算是本章的中心课题。是本章的中心课题。按照定义，n阶行列式是n！项的代数和，而在n较大时n！就变成一个很庞大的数据，从定义出发计算上、下三角等一些特殊的行列式有公式，而对一般行列式的计算则需要借助于行列式的一些性质，以简化行列式的计算。首先引入转置行列式转置行列式的概念，考虑称DT为D的转置行列式转置行列式 .将它的行依次变为相应的列（行、列互换），得DT，111212122212nnnnnnaaaaaaaaaD 12,nnnnaaaTD 11121naaa21222naaaD=DT (行列互换，行列式的值不变）即( ,1,2, )ijjiba

2、i jn证：事实上，若记111212122212nnTnnnnbbbbbbDbbb1 2121 2()12()( 1)nnnj jjTjjnjj jjDb bb1 2121 2()12()( 1)nnnj jjjjj nj jja aaD性质11 2121 2()12()( 1)nnni iiijiii nni iiaa aa1 2121 2()12()( 1)nnnj jjijjjnjnj jjaa aa取行指标为标取行指标为标准排列准排列取列指标为标取列指标为标准排列准排列性质性质1 1的意的意义何在呀？义何在呀？行列式的行与列地位平等，因而后面行列式的行与列地位平等，因而后面对行成立的性

3、质，对列也成立。对行成立的性质，对列也成立。矩阵可以有如下定义矩阵可以有如下定义:行列式的两行（列）互换，行列式的值变号 ，性质2即1212iiinkkknaaaaaai行k行1212kkkniiinaaaaaai行k行行列式若有两行（列）对应元素完全相同，则行列式为零.推论1证： 设行列式D 的i行和k行相同，则若将i行和k行互换，所得仍为D。但是由性质2知，互换前后变号，即DD，所以，D0。行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k，等于数k乘以此行列式，换言之， 行列式某一行(列)所有元素的公因子k可提到行列式的外面相乘，即性质3111211112112121212nniiiniiinnn

4、nnnnnnaaaaaaaaaaaaaakkaaaakk若行列式中一行(列)所有元素为零，则行列式等于零；推论2即为性质即为性质3 3中中k k0 0的的情况情况如果行列式的两行（列）元素对应成比例，则行列式为零。性质41212iiintttnaaaaaa1212iiiniiinaaakakaka1212iiiniiinkaaaaaa0例例21433364541074982计算行列式13第 列和第 列成比例0例例1112132122233132331aaaaaaaaa已知313233212223111213?aaaDaaaaakakk求：3132332122231112133aaaDaaaaa

5、ka性质解解1112132122233132332.aaak aaakaaa 性质(分行列相加性）性质511121112212.niiiiininnnnnaaacbcbcbaaa111211212.niiinnnnnaaacccaaa111211212.niiinnnnnaaabbbaaa推论31112111122212.niiiiiiinininnnnnaaabchbchbchaaa111211212.niiinnnnnaaacccaaa111211212.niiinnnnnaaabbbaaa111211212.niiinnnnnaaahhhaaa行列式的某一行（列）加上另一行（列）对应元素

6、的k倍，行列式的值不变 ，性质6即1212iiinjjjnaaaaaai行j行k倍112212ijijinjnjjjnakaakaakaaaa注注: 交换i j 两行记作R i j 交换i j两列记作C i j 以数k 乘第j 行(列)加到第i 行(列)上 记作R i k R j (C i k Cj) 为了书写方便，特作如下约定： 例例111222333123123123aaaaaaaaa计算21cc31cc123111aaa111222性质40右边右边n n阶行列阶行列式等式成立吗？式等式成立吗？1112221212012nnnaanaaanaaana 上（下）三角行列式等于主对角线上元上（

7、下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积，因此计算行列式常利用行列式的素的乘积，因此计算行列式常利用行列式的性质，性质，把行列式化成上（下）三角行列式把行列式化成上（下）三角行列式。这是计算行列式最基本这是计算行列式最基本的方法必须掌握的方法必须掌握 2 1 4 3 1 1 3 3 1 1 0 5 D 3 1 2 15 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3 例 计算 解： 3 5 2 1 C12 D最好把首个位置变成1 1 3 21R2R1R45R1 0 08166 4 0 21 1 72 1 3 21 0 16 72 0 1 2 31 2 11 0 010 8 0 1 2 31 2 11

8、 0 21 1 0 86 4 R23 0 010 8 0 01510 R34R2R48R2 0 05/2 040 4354RR例例abbbbabbDbbabbbba计算n阶行列式解法一解法一把D的第2列，第3列，.，第n列都加到第1列，得到：(1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11(1) 11bbbabbanbbabbba1(1) bbbanb21RR000ab31RR1nRR000a b000a b1(1) ()nanb a b当每一行（列）元素当每一行（列）元素之和都相等时，这是之和都相等时，这是经常采用的方法经常采用的方法.解法二解法二abbbD21

9、RR00b a a b31RR1nRR00b aa b1(1) ()nanb a b00b aa b12njjCC(1)anbbbb000a b000a b000a b称为“箭”型行列式.若把行列式中的a改成x，则可以得到结果：xbbbbxbbDbbxbbbbx1(1) ()nxnb x b这是关于这是关于x的的n n次多项式次多项式. .当行列式中元素包含x的整数次幂时，该行列式就是关于x的一个多项式.1111111111111111xxDxx例如例如提示：把所有的列都加到第一列即可作业：（注：每周一早上8点交作业）P19 1(1); 2(1)(2)(6); 3; 5(1) 1.4 行列式按

10、行行列式按行(列列)展开展开由于三阶、二阶行列式可直接写出，因而计算行列式中一个常用方法就是把高阶行列式归化为低阶行列式把高阶行列式归化为低阶行列式。余子式，代数余子式余子式，代数余子式在n阶行列式 中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子余子式式，记作Mij；111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式代数余子式.返回返回定义11?M例如例如222112nnnnaaMaa例例 求出行列式求出行列式解解:.65131022323的值的值的余子式及代数余子式的余子式

11、及代数余子式中，元素中，元素aD 13)1(,13215512323322323 MAM行列式按一行（列）展开定理行列式按一行（列）展开定理n阶行列式121112112iiinnnnnnaaaaDaaaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122(1,2, )iiiiininDa Aa Aa Ain定理i行1122(1,2, )jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn或n n 阶行列式阶行列式1212iiinsssnaaaDaaa的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，素的代数余子式的

12、乘积之和为零，定理i行s行11220 ()jtjtnjnta Aa Aa Ajt或1 ia1sA即即1 ia2sA1 iasnA0si 利用行列式按一行(列)展开，可将n阶行列式化为n个n1阶行列式，若选取的行(列)只有个别数不为零，就可达到降阶化简的目的。 所以通常先利用行列式的性质使得某一行(列)含有较多的零，并选取含选取含0元素比较多的行或者列来展开元素比较多的行或者列来展开。 1 1 2 1 -3 1 -2 0 0 01 0 3 4 1 4 C1+C4C3C4 计算行列式计算行列式1112101124311122D 例例111344-310(-1) (1)2+4R24R1111-100

13、-3102 111( 1)( 1) ( 1)10 1 别丢了代数余别丢了代数余子式的符号子式的符号例例证明证明n n（n1)n1)阶行列式阶行列式12222121211112111(,.,)nnnnnnnaaaaaaD a aaaaa 所有右边所有右边元素减去元素减去左边元素左边元素的乘积的乘积213113221()().()().().()nnnnaaaaaaaaaaaa 1().jinj iaa 记为称为称为n阶范德阶范德蒙德蒙德行列式行列式注：可以利用数学归纳法来证。证明略。计算行列式计算行列式11111111139271248D 例例解D是4阶范德蒙德行列式的转置， 所以1111113

14、2119411278D (1, 1,3, 2)D( 11)(31)( 21)(31)( 21)( 23) 240 范德蒙德行列式是一类重要的行列式，结果要记住哦利用行列式的性质可以证明下列结论。(可作为公式用,不加以证明)1111111111110000rrrrrsssrsssaaaaccbbccbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb1.1111111111110000rsrrrrrsssssaaccaaccbbbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb2.1111111111110000rrrrsrsssssraaaabbccbbcc 1111rrrraaaa1111ssssbbbb3.1111111111110000srrrsrrrssssccaaccaabbbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb4.() 1rs() 1rs计算行列式计算行列式1111111111111111aaDbb 例例解法一1234001111001111aaRRaDbbRRb 1100111100111111aabb