方差分析基本原理与步骤

1、请大家回忆前8章学习的主要内容自变量自变量：由实验者操纵的，对被试的反应产生影响的变量，又称因素。水平水平：自变量的每个特定的值。实验处理实验处理：指实验中一个特定的、独特的实验条件。 在单因素实验设计中，自变量的每一个水平相当于一个实验处理。 在多因素实验设计中，实验处理是各自变量不同水平的组合。因变量因变量：由操纵自变量而引起的被试的某种特定反应。探讨噪音对解决数学问题的影响作用。自变量：噪音，有强、中、无三个水平；因变量：错误频数。jXtX =6.6725133610251225141416n=4无无中中强强k=3噪音噪音不同噪音水平对解决数学问题有无显著影响？不同噪音水平对解决数学问题

2、有无显著影响？方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时比较两个以上的样本平均数。是平均数差异显著性检验的扩展。张敏强，教育与心理统计学，人民教育出版社，2003王孝玲，教育统计学，华东师范大学出版社，2010扈涛，教育统计学，河南大学出版社，2000舒华,心理与教育研究中的多因素实验设计,北京师范大学出版社,2010单因素完全随机设计的方差分析单因素随机区组设计的方差分析事后检验多因素方差分析方差分析的基本原理（重点）方差分析的适用条件（重点)方差分析的基本过程与步骤(重点）（1）综合虚无假设样本所归属的所有总体的平均数都相等，表述为：H0：1= 2= 3。方差分析的主要任务是检验综

3、合虚无假设。（2）方差的可分解性方差分析依据的基本原理是变异的可加性原则，亦即变异的可分解性。根据这一原理可将实验数据的总变异分解为若干个不同来源的变异，并根据不同来源的变异在总变异中的比重对造成数据变异的原因作出解释。例：探讨噪音对解决数学问题的影响作用。自变量：噪音，有强、中、无三个水平；因变量：错误频数。j=1,2,j=1,2,k ,k 表示实验处理；表示实验处理；i=1,2,i=1,2,n ,n 表示每种实验处理条件下的被试。表示每种实验处理条件下的被试。jXtX =6.6725133610251225141416n=4无无中中强强k=3噪音噪音实验结果的总差异包括每一组内的4个数据之

4、间的差异（组内差异）和三组平均数之间的差异（组间差异）。在方差分析中，以实验数据与平均数的离差平方和（简称平方和，以符号SS表示）作为变异的统计量。kjtjnikjnijijkjnitijXXXXXX121112112)()()(kjtjkjnijijkjnitijXXnXXXX12112112)()()(9-1 计算的是全部数据的总体离差平方和，表示实验中产生的总变异，由两部分组成。 反应的是组间变异，表示由于接受不同的实验处理而造成的变异。用表示。 反应的是组内变异,表示由于实验误差和组内被试之间的个体差异造成的变异。kjnitijTXXSS112)(kjtjBXXnSS12)(kjnij

5、ijWXXSS112)(总变总变异异组间变异组间变异组内变异组内变异实验处实验处理理实验误差实验误差个体差异个体差异随机误差随机误差?组内变异组间变异组间组间变异与变异与组内组内变异相互变异相互独立独立，可以分解。，可以分解。实验研究的目的是考察自变量引起的数据变化是不是足够的大。也就是在总差异中是否组间差异占较大比例，组内差异占较小比例。只有组间差异显著地大于组内变异时，才能确认实验处理的有效作用。方差分析中，组间变异与组内变异的比较不能直接比较各自的平方和，因为平方和的大小与项数有关。应该将项数的影响去掉求其均方，即用它们的平方和除以自由度。BBBdfSSMS 9-6WWWdfSSMS9-

6、7MSMSB B表示组间均方，或称组间方差；表示组间均方，或称组间方差；dfdfB B为组间自由度。为组间自由度。MSMSW W表示组内均方或称组内方差；表示组内均方或称组内方差；dfdfW W为组内自由度。为组内自由度。组间自由度： （即组数减1）组内自由度：dfW=K(n-1） 总自由度： 1kdfB1nkdfTWBTdfdfdf自由度是任何变量中可以自由变化的数目。自由度是任何变量中可以自由变化的数目。9-8检验两个方差之间的差异用F检验。在方差分析中关心的是组间均方是否显著大于组内均方，因而总是将组间均方放在分子位置，进行单侧检验。WBMSMSF 9-9若F 1，说明组间变异在总变异中

7、所占的份额很小，大部分变异由实验误差及个体差异所致，即不同的实验处理效果之间差异不大或者说实验处理基本无效。若F1且落入F分布的临界区域，表明数据的总变异基本上由不同的实验处理造成，或者说不同的实验处理的效果之间存在显著差异。所以，方差分析又称作变异分析（analysis of variance, ANOVA），是对数据样本变异量的分析。其主要功能在于分析实验数据中不用来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响。运用F检验进行的方差分析是一种对所有组间平均数差异进行的整体检验。总体服从正态分布变异的相互独立性（亦即变异的可加性、变异的可分解性）各实验处理内的方差

8、要一致（方差齐性） 方差齐性检验常用哈特莱（Hartley)法，即Hartley最大F比率法。2min2maxmaxssF查表时用到：查表时用到： k k为方差的个数；为方差的个数； df=n-1df=n-1，n n指样本容量。当各组指样本容量。当各组n n不等时，不等时，可用可用容量最大容量最大的一组的一组n n计算自由度。计算自由度。jXtX =6.6725133610251225141416n=4无无中中强强k=3噪音噪音例：对以下数据进行方差齐性检验：例：对以下数据进行方差齐性检验：教法教法 X n A 74 82 70 76 80 5 B 88 80 85 83 84 5 C 80

9、73 70 76 82 5 D 76 74 80 78 82 5 20 X X2 382 29276 420 35314 381 29129 390 30460 1573 124179HoHo：1 12 2=2 22 2 = = 3 32 2 = = 4 42 2HaHa：至少有两个总体方差差异显著：至少有两个总体方差差异显著 建立假设建立假设 22.80 8.50 24.20 10.002S 求方差求方差 求求F F值：值：F=2.68F=2.68 决策：决策：4, 4kdf6 .20205. 0maxF05.,205.maxmaxpFF接受接受HoHo，方差齐性，方差齐性方差齐性检验方差齐

10、性检验提出假设提出假设求平方和（总平方和、组间平方和、组内平方和）求平方和（总平方和、组间平方和、组内平方和）计算自由度（总自由度、组间自由度、组内自由计算自由度（总自由度、组间自由度、组内自由度）度）计算均方（计算均方（组间均方、组内均方）组间均方、组内均方）计算计算F F值值查查F F值表进行值表进行F F检验并做出决断检验并做出决断陈列方差分析表陈列方差分析表方差齐性检验方差齐性检验提出假设提出假设计算计算F值值 （平方和、自由度、均方、（平方和、自由度、均方、F）查表并作出决断查表并作出决断陈列方差分析表陈列方差分析表NXnX222tbXXSS2ttXXSSNXX222XXSSwnXX

11、22btSSSS 计算式计算式2knttXXSS222ttXXXX22)(2NXNNXXXNXNXX2222NXXknkn22 公式推导公式推导2kntbXXSSkntkntknXXXX222222NXknNXnXnnXnknkknnkNNXnX22 2XXSSwnXX22btSSSS 查F值表进行F检验并做出决断 （1）若计算得到的F值大于确定显著性水平下F的临界值，表明该值出现的概率小于0.05（或0.01，0.001），可以拒绝虚无假设，即不同的实验处理之间存在显著差异（不同实验处理组的平均数之间在统计上至少有一对差异显著）。 （2）若计算的F值小于P为0.05的临界值，就不能拒绝虚无假

12、设，只能说不同组的平均数之间没有显著差异。陈列方差分析表陈列方差分析表dfdfT T/nk-1/nk-1SSSST T总变异总变异MSMSW WdfdfW W/k(n-1)/k(n-1)SSSSW W组内组内0.050.050.05F=MSF=MSB B/MS/MSW WMSMSB BdfdfB B/k-1/k-1SSSSB B组间组间p pF F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源例：探讨噪音对解决数学问题的影响作用。自变量：噪音，有强、中、无三个水平；因变量：错误频数。jXtX =6.6725133610251225141416n=4无无中中强强k=3噪音噪音练习：某研究者欲研

13、究激励气氛对举重时间的影响，将练习：某研究者欲研究激励气氛对举重时间的影响，将来自一个班级的来自一个班级的1818名男大学生随机分成了相等的三个组，名男大学生随机分成了相等的三个组，每组每组6 6人，然后在人，然后在A A1 1、A A2 2、A A3 3三种不同激励气氛下，分别要三种不同激励气氛下，分别要求三组被试将一重物举至肩部以上高度并尽量坚持举起求三组被试将一重物举至肩部以上高度并尽量坚持举起较长的时间，记录各被试举起重物坚持的时间，以秒为较长的时间，记录各被试举起重物坚持的时间，以秒为单位。结果如下：单位。结果如下： = =1 14 41 10 0 1 13 3 1 19 98 8

14、1 16 6 2 21 11 12 2 1 11 1 1 16 61 11 1 1 15 5 1 18 87 7 1 10 0 1 19 91 13 3 1 12 2 2 22 29 9 1 14 4 1 18 81 12 23 34 45 56 6K K= =3 3A A1 1 A A2 2 A A3 3被被试试 =14 =1410 13 1910 13 198 16 218 16 2112 11 1612 11 1611 15 1811 15 187 10 197 10 1913 12 2213 12 229 14 189 14 181 12 23 34 45 56 6K=3K=3A A1

15、 1 A A2 2 A A3 3被试被试jXtXniiX1221)(niiXniX13860 628 1042 2190226803600 6084 1299660 78 11444125632436148432421 16 1819 22 1825612122510014419616 11 1510 12 146414412149169818 12 117 13 9123456X2XX2XX2XK=3A1 A2 A3被试被试 17 17 332 332 总变异总变异5.335.33 15 15 80 80 组内组内P0.01P0.0123.62523.625126126 2 2 252 252 组间组间 p p F F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变