高中高考数学立体几何

1、一、选择题：1设ABCD是空间四边形，E，F分别是AB，CD的中点，则满足（ ）A 共线 B 共面 C 不共面 D 可作为空间基向量正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。2在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( )A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MNC 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。3已知平面平面，直线L平面,点P直线L,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是（ ）A 一个圆 B 四个点 C 两条

2、直线 D 两个点 正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。4正方体ABCD-ABCD中，点P在侧面BCCB及其边界上运动，并且总保持APBD,则动点P的轨迹（ ）A 线段BC B BB的中点与CC中点连成的线段C 线段BC D CB中点与BC中点连成的线段正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。5 下列命题中： 若向量、与空间任意向量不能构成基底，则 。 若， ，则 . 若 、 、是空间一个基底，且 = ,则A、B、C、D四点共面。 若向量 + ， + ， + 是空间一个基底，则 、 、 也是空间的一个基底。其中正确的命题有（ ）

3、个。A 1 B 2 C 3 D 4正确答案：C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。6给出下列命题：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行斜线b在面内的射影为c，直线ac，则ab有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( )正确答案：错误原因：空间观念不明确，三垂线定理概念不清7已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( ) A、7 B、8 C、9 D、10 正确答案：A 错误原因：4+82=108下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个

4、点不共面的一个图是( )RS··PQ·R··S·PBS·S·R·CDQ·P·R··Q·P·Q·A正确答案：D错误原因：空间观点不强9 a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( ) A、有且只有一个 B、一个面或无数个 C、可能不存在 D、可能有无数个 正确答案：C 错误原因：过a与b垂直的夹平面条件不清10给出下列四个命题：（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V、面数F满足的关

5、系式为2FV=4.（3）若直线l平面，l平面，则.（4）命题“异面直线a、b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”的否定. 其中，正确的命题是（ ）A（2）（3）B（1）（4）C（1）（2）（3）D（2）（3）（4）正确答案：A11如图，ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ ）A75° B60° C50° D45°正确答案：C12一直线与直二面角的两个面所成的角分别为，则+满足（ ）A、+<900 B、+900 C、+>

6、900 D、+900答案：B点评：易误选A，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。13在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（ ）A、2个 B、4个 C、6个 D、8个答案：B点评：易瞎猜，6个面不合，6个对角面中有4个面适合条件。14ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将ABC沿AD折成大小为的二面角B-AD-C，若，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形C、直角三角形 D、形状与a、b的值有关的三角形答案：C点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。15设a，b，c表示三条直线，表示

7、两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。A. ，若，则B. ，若，则C. ，若，则D. ，是在内的射影，若，则正解：CC的逆命题是,若，则显然不成立。误解：选B。源于对C是在内的射影理不清。16 和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ ）。A. 和都垂直于平面B. 内不共线的三点到的距离相等C. 是平面内的直线且D. 是两条异面直线且正解：D对于可平行也可相交；对于B三个点可在平面同侧或异侧；对于在平面内可平行，可相交。对于D正确证明如下：过直线分别作平面与平面相交，设交线分别为与，由已知得，从而，则，同理，。误解：B往往只考虑距离相等，不考虑两侧。17一个盛满水的三棱

8、锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）A.B.C.D.正解：D。当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多最多可盛原来水得1误解：A、B、C。由过D或E作面ABC得平行面，所截体计算而得。18球的半径是R，距球心4R处有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，则截面的最大面积是（ ）。A.B.C.D.正解：B。如图，在中，于则即 又以为半径的圆的面积为误解：审题不清，不求截面积，而求球冠面积。19P已知AB是异面直线的公垂线段，AB=2，且与成角，在直线上取AP=4，则点P到直线的距离是（ ）。

9、 AE. F. 4 BG. H. 或正解：A。过B作BB，在BB上截取BP=AP，连结PP，过P作PQ连结PQ，PP由BB和所确定的平面，PPPQ即为所求。在RtPQP中，PP=AB=2,PQ=BP,=AP=2, PQ=。误解：D。认为点P可以在点A的两侧。本题应是由图解题。20若平面外的直线与平面所成的角为，则的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D）错解：C错因：直线在平面外应包括直线与平面平行的情况，此时直线与平面所成的角为0正解：D21如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a , b都相交；（2）过P一定可作直线L与a , b

10、都垂直；（3）过P一定可作平面与a , b都平行；（4）过P一定可作直线L与a , b都平行，其中正确的结论有（ ）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 答案：B 错解：C 认为（1）（3）对 D 认为（1）（2）（3）对 错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。22空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 答案：C 错解：D 错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。23底面是正三角形，且每个侧

11、面是等腰三角形的三棱锥是A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥正确答案：（D）错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D24给出下列四个命题：（1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱（2） 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V，面数F满足的关系式为2F-V=4（3） 若直线L平面，L平面，则（4） 命题“异面直线a,b不垂直，则过a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正确的命题是 （ ） A、（2）（3） B、

12、（1）（4） C、（1）（2）（3） D、（2）（3）（4）正确答案：（A）错误原因：易认为命题（1）正确二填空题：1. 有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为_.错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为，所以正确答案为：。2. 一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为_。错解：答。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案

13、为：。3. 已知正三棱柱底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_。错解：。学生用面积射影公式求解：。错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是：。4. 过球面上两已知点可以作的大圆个数是_个。错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。正确答案是不能确定。5. 判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面。正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。6. 平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线

14、段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_.错解为：。错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：。7. 点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成的角，则AB的长等于_.错解：16. 错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：16或64。8. 判断若a,b是两条异面直线，p为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行。错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面时恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行。9与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共

15、有_个。正确答案：7个错误原因：不会分类讨论10在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为_。 正确答案： 错误原因：不会找射影图形 11ABC是简易遮阳板，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD面积最大，遮阳板ABC与地面所成角应为_。 正确答案：50° 错误原因：不会作图12平面与平面相交成锐角，面内一个圆在面上的射影是离心率为的椭圆，则角等于_。 正确答案：30° 错误原因：分析

16、不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。13把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为_。正确答案：()r 错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上14AB垂直于所在的平面，当的面积最大时，点A到直线CD的距离为 。正确答案：15在平面角为600的二面角内有一点P，P到、的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱l的距离为_答案：cm点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。16已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且DPA=450，DPB=600，则DPC=_答案：600点评：以PD为对角线构

17、造长方体，问题转化为对角线PD与棱PC的夹角，利用cos2450+cos2600+cos2=1得=600，构造模型问题能力弱。17正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面_答案：面AD1C点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，易瞎猜。18一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_议程。正解：。设为二面角的平面角，误解：折叠后仍然判断不了，找不到的长求不出。19某地球仪上北纬，纬线的长度为，该地球仪的半径是_cm，表面积是_ cm2。正解

18、：设地球仪的半径为R，纬线的半径为r 。由已知，。误解：误将20自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则=_。正解:,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则应是矩形对角线的平方,即球直径的平方。误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。21直二面角的棱上有一点A，在平面、内各有一条射线AB，AC与成450，AB，则BAC= 。错解：600错因：画图时只考虑一种情况正解：600或1200 22直线与平面成角为300，则m与所成角的取值范围是 错解： 300 , 1200错因：忽视两条直线所成的角范围是正解： 300 , 90023若的中点到平面的距离为，

19、点到平面的距离为，则点到平面的距离为_。错解：2错因：没有注意到点A、B在平面异侧的情况。正解：2、1424已知直线L平面=O，A、BL，= 4 ，；点A到平面距离为1，则点B到平面的距离为 。 答案：1或3 错解：3 错因：考虑问题不全面，点A，B可能在点O的同侧，也可能在O点两侧。 25异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为，这样的直线L有 条。 答案：三条 错解：一条 错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P作确定一平面，画相交所成角的平分线m、g，过m, g分别作平面的垂面，则在中易找到所求直线共有3条。26点P是ABC所在平面外一

20、点，且P在ABC三边距离相等，则P点在平面ABC上的射影是ABC的 心。 答案：内心或旁心 错解：内心 错因：P在平面ABC内的正射影可能在ABC内部，也可能在ABC外部。27四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。正确答案：（0， 错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x的隐藏范围。28在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面为EF的距离为 正确答案：错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。29点P在直径为2的球面上，过P作

21、两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 正确答案：错误原因：找不到解题思路三、解答题：1. 由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O为ABC的外心，求证：。错解：因为O为ABC的外心，所以OAOBOC，又因为PAPBPC，PO公用，所以POA，POB，POC都全等，所以POAPOBPOCRT，所以。错解分析：上述解法中POAPOBPOCRT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。正解：取BC的中点D，连PD，OD，2. 一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间

22、的体积。错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。错误原因是空间想像力不够。正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：。3如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1DAN，求：(1) ；(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小；(3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大小.解：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在

23、直线 为x轴，y轴，z轴.则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4) (2) 由(1)知A1DAM，又由已知A1DAN，平面AMN，垂足为N.因此AD与平面所成的角即是易知(3) 平面ABCD，A1N平面AMN，分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则4点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点沿对角线把正方形折成直二面角DACB（）求的大小；（）求二面角的大小ABCDEFOOFABCDE解法一：（）如图，过点E作EGAC，垂足为G，过点F作FHAC，垂足为H，则，GHMABCDEFODCMHGOFABE因为二面角DACB为直二面角， 又在中， （）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM二面角DACB为直二面角，平面DAC平面BAC，交线为AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂线定理，得EMOF就是二面角的平面角在RtEGM中，所以，二面角的大小为xyzABCDEFO解法二：（）建立如图所示的直角坐标系Oxyz， 则，（）设平面OEF的法向量为由得解得所以，又因为平面AOF的法向量为， 所以，二面角的大小为5斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱