高数-曲线积分与曲面积分

1、高等数学同济六版讲义第十一章 曲线积分与曲面积分§11.1 对弧长的曲线积分教学目的：理解对弧长曲线积分的概念、性质，掌握计算对弧长曲线积分的方法。教学重点：对弧长曲线积分的计算方法；教学难点：对弧长曲线积分的概念教学内容：一、 对弧长的曲线积分的概念与性质1对弧长曲线积分的概念定义：设为平面内的一条以为端点的光滑（或逐段光滑）曲线弧，函数在上有界，在内任意插入个点把分成个小弧段 ，（）记表示弧段的长度，在上任取一点，作乘积，并作和，如果当各弧段的长度的最大值时，该和的极限总存在（与弧段的分法及点的取法无关），则称此极限值为函数在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即 此

2、定义可以推广到积分弧段为空间曲线弧的情形，即函数在空间曲线弧上对弧长的曲线积分2.对弧长曲线积分的基本性质 第一类曲线积分与积分路径的方向无关，即 （其中表示与方向相反的弧段） 若，则 ，（其中为常数） 设在L上, 则 特别地, 有二、对弧长的曲线积分的计算法 命题：设在曲线上连续若曲线的参数方程为：，则 其中在区间上有连续导数且评注：利用定积分计算第一类曲线积分时，定积分上限必须大于下限 例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧. 解 曲线的方程为y=x2 (0£x£1), 因此 . 例2 计算曲线积分, 其中G为螺旋线、上相应

3、于从0到达的一段弧. 解 在曲线G上有, 并且 , 于是 . 例3 设是由圆周，直线及轴在第一象限中所围成图形的边界，计算解 如图，积分曲线，由线段，圆弧和线段组成于是而在上， 在上， 在上，故 例4 求其中。解 由于所以用参数方程表示为 ，所以因此§11. 2 对坐标的曲线积分教学目的：理解对坐标曲线积分的概念，了解对坐标曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握计算对坐标的曲线积分的方法。教学重点：对坐标曲线积分的计算方法。教学难点：两类曲线积分的关系，对坐标的曲线积分的计算；教学内容：一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例：变力沿曲线所作的功: 设一个质点在面内在变力的作用下

4、从点沿光滑曲线弧移动到点, 试求变力所作的功. 用曲线上的点把分成个小弧段, 设, 有向线段 , 则 . ，显然, 变力沿有向小弧段所作的功可以近似为 于是, 变力在上，所作的功的近似值 从而变力在L上所作的功的精确值: , 其中是各小弧段长度的最大值.2. 对坐标曲线积分的定义定义：设为平面内的一条以为端点的有向光滑（或逐段光滑）曲线弧，函数在上有界，在内任意插入个点把分成个有向小弧段 ，（）记，在上任取一点如果当各弧段的长度的最大值时，的极限总存在（与弧段的分法及点的取法无关），则称此极限值为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作类似地，如果极限的极限总存在（与弧段的分法及点的取法无关）

5、，则称此极限值为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作，即 一般地 上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情况：3性质 (1) 如果把L分成L1和L2, 则. (2) 设L是有向曲线弧, -L是与L方向相反的有向曲线弧, 则 . 二、对坐标的曲线积分的计算: 命题：若有向曲线弧的参数方程为：，而且对应于有向曲线弧起点，对应于有向曲线弧终点（不一定大于）那么=其中在区间（或）上有连续导数且评注：利用定积分计算第二类曲线积分时，定积分下限必须对应有向曲线弧起点，上限必须对应有向曲线弧终点例1.计算, 其中L为抛物线上从点到点的一段弧. 法一: 以为参数.分为和两部分: 的方程为, 从

6、变到0; 的方程为, 从0变到. 因此 . 法二: 以为积分变量. 的方程为, 从变到. 因此 . 例2. 计算. (1)为按逆时针方向绕行的上半圆周; (2)从点沿轴到点 的直线段. 解 (1) 的参数方程为从变到 因此 . (2)的方程为从变到 因此 . 例3 计算. (1)抛物线上从到的一段弧; (2)抛物线上从到的一段弧; (3)从到, 再到的有向折线. 解 (1) ,从变到. 所以 . (2)从变到 所以 . (3)从变到;从变到. =0+1=1. 例4. 计算, 其中G是从点到点的直线段. 解: 直线的参数方程为从1变到0. 所以所以 . 三、两类曲线积分之间的联系 设是有向曲线弧

7、上任一点，是在点且与方向一致的单位切向量，则§11.3 格林公式及其应用教学目的：熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。教学重点：格林公式及其应用；教学难点：应用格林公式计算对坐标的曲线积分；教学内容：一、格林公式 单连通与复连通区域: 设为平面区域, 如果内任一闭曲线所围的部分都属于, 则称为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 对平面区域的边界曲线, 我们规定的正向如下: 当观察者沿的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边. 区域的边界曲线的方向: 定理1设闭区域由分段光滑的曲线围成, 函数及在上具有一阶连续偏导数, 则有 ,

8、其中是的取正向的边界曲线. 证明： 仅就即是型的又是型的区域情形进行证明. 设. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有 . 另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 . 因此 . 设类似地可证 . 由于即是型的又是型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得 . 应注意的问题: 对复连通区域, 格林公式右端应包括沿区域的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域来说都是正向. 设区域的边界曲线为L, 取, 则由格林公式得 , 或. 例1. 椭圆所围成图形的面积. 分析: 只要, 就有. 解: 设是由椭圆 所围成的区域. 令, , 则. 于是由格林公式, =pab. 例2 设是任意一条分段光

9、滑的闭曲线, 证明. 证: 令, 则. 因此, 由格林公式有. (为什么二重积分前有“±”号？ ) 例3. 计算, 其中是以为顶点的三角形闭区域. 分析: 要使, 只需, . 解: 令, , 则. 因此, 由格林公式有 . 例4 计算, 其中为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,的方向为逆时针方向. 解: 令, . 则当时, 有. 记L 所围成的闭区域为当时, 由格林公式得; 当时, 在D内取一圆周. 由及围成了一个复连通区域应用格林公式得, 其中的方向取逆时针方向. 于是 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关: 设是一个开区域,在区域内具有一阶连续偏导数

10、. 如果对于内任意指定的两个点以及内从点到点的任意两条曲线等式 恒成立, 就说曲线积分在内与路径无关, 否则说与路径有关. 设曲线积分在G内与路径无关,和是内任意两条从点到点的曲线, 则有 , 因为 Û ÛÛ, 所以有以下结论: 曲线积分在内与路径无关相当于沿内任意闭曲线的曲线积分等于零. 定理2 设开区域是一个单连通域, 函数及在内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分在内与路径无关（或沿内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式 在内恒成立. 充分性易证: 若, 则, 由格林公式, 对任意闭曲线, 有. 必要性: 假设存在一点使, 不妨设, 则由的连续性, 存

11、在的一个d 邻域, 使在此邻域内有. 于是沿邻域边界的闭曲线积分 , 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在内. 应注意的问题: 定理要求, 区域是单连通区域, 且函数及在内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数及、连续性的点称为奇点. 例5 计算, 其中为抛物线上从到的一段弧. 解: 因为在整个面内都成立, 所以在整个面内, 积分与路径无关. . 讨论: 设为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,的方向为逆时针方向, 问是否一定成立？提示: 这里和在点不连续. 因为当时, , 所以如果不在所围成的区域内, 则结论成立, 而当在所围成的区

12、域内时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点与终点有关. 如果与路径无关, 则把它记为 即 . 若起点为内的一定点, 终点为内的动点, 则 为内的的函数. 二元函数的全微分为 表达式与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式是某个二元函数的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3 设开区域是一个单连通域, 函数及在内具有一阶连续偏导数, 则 在内为某一函数的全微分的充分必要条件是等式 在内恒成立. 证明： 必要性: 假设存在某一函数, 使得则有 , . 因为、连续,

13、所以, 即. 充分性: 因为在内, 所以积分在内与路径无关. 在内从点到点的曲线积分可表示为 考虑函数. 因为 , 所以 . 类似地有, 从而. 即是某一函数的全微分. 求原函数的公式: , , . 例6 验证:在右半平面内是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解: 这里, . 因为在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在右半平面内, 是某个函数的全微分. 取积分路线为从到再到的折线, 则所求函数为 . 问: 为什么不取(0, 0)? 例6 验证: 在整个面内,是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里 因为在整个面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在整个面内

14、, 是某个函数的全微分. 取积分路线为从到再到的折线, 则所求函数为 . 思考与练习: 1.在单连通区域内, 如果和具有一阶连续偏导数, 且恒有, 那么(1)在内的曲线积分是否与路径无关?(2)在内的闭曲线积分是否为零? (3) 在内是否是某一函数的全微分? 2.在区域内除点外, 如果和具有一阶连续偏导数, 且恒有,是内不含的单连通区域, 那么(1)在内的曲线积分是否与路径无关?(2)在内的闭曲线积分是否为零?(3) 在内是否是某一函数的全微分? 3. 在单连通区域内, 如果和具有一阶连续偏导数, , 但非常简单, 那么(1)如何计算内的闭曲线积分? (2)如何计算内的非闭曲线积分? (3)计

15、算, 其中L为逆时针方向的上半圆周 §11. 4 对面积的曲面积分教学目的：了解对面积曲面积分的概念、性质及计算。教学重点：对面积曲面积分的计算方法；教学难点：对面积曲面积分的概念教学内容： 一、对面积的曲面积分的概念与性质1.引例：物质曲面的质量问题: 设为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为, 求其质量: 把曲面分成个小块: (也代表曲面的面积); 求质量的近似值: (是上任意一点); 取极限求精确值: (为各小块曲面直径的最大值). 2.对面积曲面积分定义 定义：设曲面是光滑的（或分片光滑的），函数在上有界，把任意分成小片，设第小片的面积为，在第小片上任取一点，作乘积（），并作

16、和如果当各小片曲面的直径的最大者时，该和的极限总存在（与曲面的分法及点的取法均无关），则称此极限值为函数在上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作，即 其中叫做被积函数, 叫做积分曲面. 根据上述定义面密度为连续函数的光滑曲面的质量可表示为在S上对面积的曲面积分: 3.对面积的曲面积分的性质: (1)设c 1、c 2为常数, 则 ; (2)若曲面S可分成两片光滑曲面S1及S2, 则 ; (3)设在曲面S上f(x, y, z)£g(x, y, z), 则 ; (4), 其中A为曲面S的面积. 二、对面积的曲面积分的计算 设积分曲面由方程给出，在平面上投影区域为，函数在上有连续偏导数，被

17、积函数在上连续，则 例1 计算曲面积分, 其中是球面被平面截出的顶部. 解 的方程为, 因为 , ， , 所以 . 提示: . 例2 计算曲面积分其中为锥面在柱体内的部分解：曲面的单值方程为 ，则面积元素 在平面上的投影区域为：于是有例3 计算, 其中是由平面及所围成的四面体的整个边界曲面. 解 整个边界曲面在平面及上的部分依次记为及于是 . 提示: . §11. 5 对坐标的曲面积分教学目的：了解对坐标曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算对坐标曲面积分的方法。教学重点：对坐标曲面积分的计算方法；教学难点：对坐标的曲面积分的计算；教学内容： 一、对坐标的曲面积分的概念与

18、性质1、有向曲面: 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如由方程表示的曲面分为上侧与下侧. 设为曲面上的法向量, 在曲面的上侧, 在曲面的下侧. 闭曲面有内侧与外侧之分. 类似地, 如果曲面的方程为则曲面分为左侧与右侧, 在曲面的右侧, 在曲面的左侧. 如果曲面的方程为, 则曲面分为前侧与后侧, 在曲面的前侧, 在曲面的后侧. 设是有向曲面. 在上取一小块曲面, 把投影到面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为假定上各点处的法向量与轴的夹角的余弦有相同的符号(即都是正的或都是负的). 我们规定在面上的投影为 , 其中º0也就是的情形. 类似地可以定义在面及在面上的投影及 2、流向曲面一

19、侧的流量: 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由给出,是速度场中的一片有向曲面, 函数都在上连续, 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量, 即流量 如果流体流过平面上面积为的一个闭区域, 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量) 又设为该平面的单位法向量, 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为、斜高为的斜柱体. 当时, 这斜柱体的体积为 当时, 显然流体通过闭区域的流向所指一侧的流量为零, 而, 故 当时, 这时我们仍把称为流体通过闭区域流向所指一侧的流量, 它表示流体通过闭区域实际上流向-所指一侧, 且流向-所指一侧的流量为- 因此, 不论为何值, 流体通过闭区域流向所指一侧的

20、流量均为. 把曲面分成小块: (同时也代表第小块曲面的面积). 在是光滑的和是连续的前提下, 只要的直径很小, 我们就可以用上任一点处的流速 代替上其它各点处的流速, 以该点处曲面的单位法向量 代替上其它各点处的单位法向量. 从而得到通过流向指定侧的流量的近似值为 于是, 通过流向指定侧的流量 , 但 , , ,因此上式可以写成 ; 令取上述和的极限, 就得到流量F的精确值. 这样的极限还会在其它问题中遇到. 抽去它们的具体意义, 就得出下列对坐标的曲面积分的概念. 3、对坐标的曲面积分的概念定义 设为光滑的有向曲面, 函数在上有界. 把任意分成块小曲面同时也代表第小块曲面的面积). 在面上的

21、投影为是上任意取定的一点. 如果当各小块曲面的直径的最大值时, 总存在, 则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分:, 记作,即 . 类似地有 . . 其中叫做被积函数,叫做积分曲面. 4、对坐标的曲面积分的简记形式: 在应用上出现较多的是 . 流向指定侧的流量可表示为 . 5、对坐标的曲面积分的性质: 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质. 例如(1)如果把分成和, 则 . (2)设是有向曲面, 表示与取相反侧的有向曲面, 则 . 二、对坐标的曲面积分的计算法 利用二重积分计算用二重积分计算的步骤 （一代）将积分曲面的方程表示为形如的单值函数； （二投）将积分曲面向平面投

22、影，得投影区域； （三定号）转换为二重积分 当有向曲面的法向量与轴正方向的夹角为锐角时，则 当有向曲面的法向量与轴正方向的夹角为钝角时，则 当有向曲面的法向量与轴正方向的夹角为直角时，则 类似，可计算，例1 计算，其中是球面外侧在的部分。解：设为在平面上方部分取上侧，为在平面下方部分取下侧则先计算的方程为单值函数，在平面上的投影域，而的法向量与轴正向夹角为锐角，所以 再计算 的方程为单值函数，在平面上的投影域，而的法向量与轴正向夹角为钝角，所以 所以三、两类曲面积分之间的关系设为有向曲面，为上任一点，为在点的单位法向量，则 例2 计算曲面积分, 其中是曲面介于平面及之间的部分的下侧. 解 由两类曲面积分之间的关系, 可得 . 在曲面上, 分析： 曲面上向下的法向量为 , , . 故 =8p. 解: 由两类曲面积分之间的关系, 可得 =8p. 说明： . §11. 6 高斯公式 通量与散度教学目的：了解高斯公式，会用高斯公式计算曲面积分，知道散度与旋度的概念，并