流体力学3-10粘性流体运动微分方程

1、1第十节第十节 粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程一、粘性流体的动压强一、粘性流体的动压强1 理想流体理想流体理想流体因无粘滞性，运动时不出现切应力，只理想流体因无粘滞性，运动时不出现切应力，只有法向应力，即动压强用类似分析流体静压强特有法向应力，即动压强用类似分析流体静压强特性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数),(tzyxpp zzyyxxppp2 粘性粘性流体流体粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作

2、用，运动时出现切应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的动时出现切应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的方位有关方位有关2二、以应力表示的粘二、以应力表示的粘性流体运动微分方程性流体运动微分方程dzdxdy yzyx pyyxzxypxxzxzypzzxyxz pxxyzyxpyyzyzx pzzxyz 以以x方向为例方向为例（牛顿第二运动定律）（牛顿第二运动定律）dtduzzxzxyyxyxxpxxxxxzxyxxxdxdydzdxdydzdxdydxdzdydxdzdydzdxpdydzpdxdydzX)()()(脚标脚标1作用面的外法线方向作用面的外法线方向脚标脚标2示应力的方向示应力

3、的方向3化简后得化简后得dtduzyxpXxzxyxxx11x方向方向dtduxzypYyxyzyyy11y方向方向z方向方向dtduyxzpZzyzxzzz119个应力，个应力，3个速度分量，共个速度分量，共12个未知数个未知数3个方程加上连续性方程，共个方程加上连续性方程，共4个方程个方程无法求解无法求解4三、应力与变形速度三、应力与变形速度的关系的关系v粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形速度有关，切应力则与角变形速度有关形速度有关，切应力则与角变形速度有关 v流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向流动中某点的动压强

4、是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，它是流体微团在法线方向上发生线变形为附加法向应力，它是流体微团在法线方向上发生线变形（伸长或缩短）引起的（伸长或缩短）引起的 222xxxxxyyyyyzzzzzuppppxuppppyuppppz52、法向应力和线变形速度的关系、法向应力和线变形速度的关系zuppppyuppppxuppppztzztzzytyytyyxtxxtxx222pt理想流体压强理想流体压强理想流体中，同一点各方向的法理想流体中，同一点各方向的法向应力相等向应力相等 pxx

5、= pyy = pzz=ptv粘性流体中，任意点的动压强粘性流体中，任意点的动压强 p 是过该是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值。点三个相互正交平面上法向应力的平均值。 zuyuxuzyx32p)p p (p31ptzzyyxx对于不可压缩粘性流体对于不可压缩粘性流体 p=pt补充了补充了3个方程，个方程，多一个未知数多一个未知数 ptdiv u=06v切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿内摩擦定律符合牛顿内摩擦定律将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动，得出将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动，得出dyduyzyzzyxzzxxzyx

6、xyyxuuyzuuzxuuxy广义牛顿内广义牛顿内摩擦定律摩擦定律补充了补充了6个方程个方程7三、不可压缩粘性流体运动微分方程三、不可压缩粘性流体运动微分方程 222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz 自自1755年欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工年欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维程师纳维Navier1827、英国数学家斯托克斯、英国数学家斯托克斯Stokes1845等等经近百年的研究，最终完成上述形式的粘性流体运动微分经近百年的研究，最终完成上述形式的粘性流体运动微分方程，称为方程，称为纳维一斯托克斯方程（纳维一斯托克斯方程（N-S方程）方程）二阶非线性非齐次偏微分方程组二阶非线性非齐次偏微分方程组8vN-S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力（压力和粘性力）和惯性力相平衡（压力和粘性力）和惯性力相平衡vN-S方程和连续性微分方程方程和连续性微分方程4个方程个方程 未知量未知量ux，uy，uz和和 p 四个四个 理论上可以求解速度场、压强场，即粘性流体的运动理论上可以求解速度场、压强场，即粘性流体的运动分析，最