王明红-电动力学讲稿(第6章)

1、第六章 狭义相对论 Special Theory of Relativity前几章中，我们讨论了经典电动力学的基本理论和前几章中，我们讨论了经典电动力学的基本理论和有关规律，没有谈及坐标系问题，物理规律都是相对于有关规律，没有谈及坐标系问题，物理规律都是相对于一定参考系表述出来。一定参考系表述出来。本本 章章 内内 容容狭义相对论的实验基础狭义相对论的实验基础狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理闵可夫斯基空间和洛仑兹变换闵可夫斯基空间和洛仑兹变换相对论的时空性质相对论的时空性质相对论力学相对论力学电磁规律的相对性理论电磁规律的相对性理论 （* * *）6.1 6.1 狭义相对论的实验基础狭

2、义相对论的实验基础Experiment Foundations of the Special Theory of Relativity1、经典力学、经典力学(牛顿力学牛顿力学)的相对性原理的相对性原理 经典力学中的一个基本原理也就是经典力学中的一个基本原理也就是 , 它它表示：力学运动定律从一个惯性系变换到另一个惯性系时，表示：力学运动定律从一个惯性系变换到另一个惯性系时，。也就是说，一切作机械运动的惯性系。也就是说，一切作机械运动的惯性系是是。P(x, y, z, t, x, y,z,t)x, x00zzyyvrr不能在一个参照系内部做实验来确不能在一个参照系内部做实验来确定该参照系相对另一

3、系的速度。定该参照系相对另一系的速度。 vtxxyy zz tt vuuxxyyuu zzuu tt xxaa yyaa zzaa aa FmamaF、是相对性的。绝对量：绝对量：（同时性）、是绝对的。t t 时间是绝对的时间是绝对的x x ; 空间是绝对的空间是绝对的经典时空理论的局限性经典时空理论的局限性电磁波的波动方程电磁波的波动方程012222tEcE速度速度001c（相对于哪个参考系？）（相对于哪个参考系？）2 2、麦克斯韦方程不满足伽利略变换、麦克斯韦方程不满足伽利略变换 vttvtt tBEBEvBt 3 3、麦克斯韦的麦克斯韦的“以太以太”（etherether）概念及绝对参照

4、系）概念及绝对参照系 (1) 光借助光借助“以太以太”媒质传播，光相对静止的媒质传播，光相对静止的“以太以太”的传播速度各向同性，的传播速度各向同性， 均为均为C. “以太以太”就是电磁场规律成立的绝对参考系。就是电磁场规律成立的绝对参考系。（2） “以太以太”充满宇宙，透明而密度很小充满宇宙，透明而密度很小; 假定假定“以太以太”相对太阳静止相对太阳静止. 实实验测出地球验测出地球 相对相对“以太以太”速度，即找到绝对参考系。速度，即找到绝对参考系。简易装置：简易装置：ScMc“以太风以太风”v不考虑不考虑“以太以太”运运动动clt20考虑考虑“以太以太”运运动动vclvclt1222vcl

5、c20)/(1cvt测出时间测出时间 即可求出速度即可求出速度v。实际上述实验不易做。实际上述实验不易做。0tvv迈克尔逊迈克尔逊莫雷莫雷（Michelson-Morley)Michelson-Morley)实验实验 地球以地球以30千米千米/秒的速度通过秒的速度通过“运动，地运动，地面上的观察面上的观察将会感到将会感到“”，地球的运动在实验持续的时间内，地球的运动在实验持续的时间内可以看做是匀速直线运动，因而地球可看作是一个惯性系统。实验时可以看做是匀速直线运动，因而地球可看作是一个惯性系统。实验时先使干涉仪的一臂与地球的运动方向平行，另一臂与地球的运动方向先使干涉仪的一臂与地球的运动方向平

6、行，另一臂与地球的运动方向垂直，按照经典的理论，在运动的系统中，光速应该各向不同，因而垂直，按照经典的理论，在运动的系统中，光速应该各向不同，因而可看到干涉条纹；再使整个仪器转过可看到干涉条纹；再使整个仪器转过/2，就应该发现条纹的移动，由，就应该发现条纹的移动，由条纹移动的总数，就可算出地球运动的速度条纹移动的总数，就可算出地球运动的速度v.SMM1M2Tv实验装置：实验装置：SMM1M2Tv说明：由光源S发出的光线在半反射镜M上分为两束，一束通过M，被M1反射回到M，再被M反射而达到目镜T；另一束被M反射到M2，再反射回M而直达目镜T。 调整两臂长度使有效光程为MM1=MM2=l. 设地球

7、相对于以太的绝对运动速度 沿MM1方向，则由于光线MM1M与MM2M的传播时间不同，因而有光程差，在目镜T中将观察到干涉效应。 ，可看出光线MM1和M1M间犹为，它相对于仪器的速度应各自为(c-v)和(c+v)，如果MM1的长度为 时，那么光通过距离MM1+M1M所需的时间为122221)1 (22cvclvcclvclvcltv 光往返于MM2和M2M间犹为，在看来光所走路经为MM2M”，当MM2的长度为l时，光通过距离MM2+M2M”所需的时间是t2，即MMM”lM2M222ct22vtv22222)2()2(vtlct则则因为因为 ，故作二项式展开，得，故作二项式展开，得两束光的光程差（

8、回到两束光的光程差（回到M点的时间差）点的时间差）2122222)1 (22cvclvclt122cv)21 (2)1 (2222221cvcltcvclt221)(cvclttt把仪器绕竖直轴旋转/2，则MM2变成沿地球运动方向，MM1垂直于地球运动方向。这样沿MM2和MM1进行的光往返各需的时间为：两束光回到M点的时间差为：有了光程差，在目镜处应该观察到干涉条纹的移动个数。)1 (2)21 (2222221cvcltcvclt221)(cvclttt 当时间差的改变量是光波的一个周期时，就引起一条干涉条纹的移动，所以条纹移动的总数为：式中是光波的波长，当l=11米， =5.910-7米，v

9、=3 10-4米/秒，c=3 108米/ 秒，得到而实验观察到只有小到移动条条纹的1/100，但从来也没有看到过0.4个条纹的移动。22)(2)(2cvlcvclttN4 . 0)103(109 . 5)103(222874N 后来用星光，以及用高速运动的粒子作为光源实验，也证实了光速与光源相对于观察者的运动无关。 迄今为止的所有实验都指出光速与观察者所处的参考光速与观察者所处的参考系无关，也与光源的运动速度无关系无关，也与光源的运动速度无关，人们认识到光速不变是电磁现象的一条基本规律，真空中光速c是最基本的物理常数之一。也就是说Maxwells equations在地球上始终是正确的，而且在

10、地球上真空光还始终是c=2.99792108米/秒。 6.2 相对论的基本原理相对论的基本原理 洛伦兹变换洛伦兹变换1、狭义相对论的基本原理、狭义相对论的基本原理 根据实验事实， Albert Einstein提出了如下两条基本假设： a) 一切物理规律，无论是力学的，还是电磁学的，对于所有惯性系都具有相同的数学形式，这就是。 b) 在所有惯性系中，真空中的光速在任何方向上都恒为c，并与光源的运动无关，这就是。 这两条基本假设构成了Albert Einstein的狭义相对论，是因为这个原理限于相互作匀速直线运动的惯性系。如果取消这限制就是广义相对论（包括万有引力作用），这不在本书的讨论范围之内

11、。洛仑兹变换洛仑兹变换 本节将从Albert Einstein的两个基本假设出发，建立狭义相对论的理论框架。 1 1、间隔不变性、间隔不变性 ( interval invariance ) 若有两个惯性参考系和，相对于沿x轴正向以匀速 运动，把两个坐标完全重合的时刻坐标完全重合的时刻选作两个坐标系时间 t 和和 t 的起算点的起算点。x, x00zzyyvv 当和的坐标原点0，0重合时（t=t=0)发出一光脉冲，根据光速不变原理，在系观察者看来，任何时间 t 光的波波前皆为一球面前皆为一球面，即也就是：而在系观察者看来，因为光脉冲也是在系的原点0发出，根据光速不变原理，任何时刻 t 光的波前同

12、样是球面，即222tcr 02222222222tczyxtczyx222tcr或者 因为时间和空间是均匀的，而且空间是各向同性的，这就意味着系和系之间的时空变换必须是线性的。通过线性变换可知：上的两个二次式，从两个惯性系观察都等于零，因此必然相等。即，从两惯性系观察，它们虽然不等于零，但由于时空坐标变换是线性的。这两个二次式至多只能相差一个系数A。02222222222tczyxtczyx2222222222tczyxtczyx即其中系数系数A仅与两个惯性系的相对速度的绝对值有关，系仅与两个惯性系的相对速度的绝对值有关，系数数A不可能与坐标或时间有关不可能与坐标或时间有关。否则空间的不同点及

13、时间的不同时刻就不等价了，这与时间，空间的均匀性相矛盾。另外，系数A也不可能与惯性系的相对速度的方向有关。因为这与空间的各向同性的性质相矛盾。由此可见由于系相对系的运动速度显然与系相对系的运动速度相同，因此)(2222222222tczyxAtczyx)(vAA )(2222222222tczyxAtczyx从以上两个式子可看出：为了从两个值1中选择一个，由变换的连续性应该取+1 。因此有1 , 12AA即2222222222tczyxtczyx。 假如x1，y1，z1，t1及x2，y2，z2，t2是系任何两个事件事件的坐标，则称为这。 同理，在系中任何两个事件的间隔为：由上述比例关系式得到2

14、1221221221222)()()()(zzyyxxttcS21221221221222)()()()(zzyyxxttcS22SS（相对论理论时空间隔）（相对论理论时空间隔）212212212)()()(zzyyxx对比经典理论的空间间隔与时间间隔对比经典理论的空间间隔与时间间隔212212212)()()(zzyyxx1212tttt这就是。 如果两事件彼此无限地接近，那么间隔为：也可得到因此，我们得到这也是光速不变的数学表示。222222dzdydxdtcdS22dSSd2. 洛伦兹变换洛伦兹变换线性变换线性变换tzyxttzyxztzyxytzyxx44434241343332312

15、423222114131211yy zz .,22211211ctaxat czzyyctaxax 间隔不变间隔不变 （光速不变数学式）（光速不变数学式）22SS2222222222tczyxtczyx洛伦兹变换式洛伦兹变换式2)/(1cvvtxxyy zz 22)/(1cvxcvtt2)/(1cvvtxx yy zz 22)/(1cvxcvtt.,22211211ctaxat czzyyctaxax2)/(1cvvtxxyy zz 22)/(1cvxcvtt导出导出x, x00zzyyv推导：推导：将（将（2.10）代入（）代入（2.4）式，得）式，得22222222212221211tcz

16、yxctaxazyctaxa比较系数得比较系数得. 1, 0, 122221222212111221211aaaaaaaa由第一和第三式得由第一和第三式得,1 ,12122222111aaaa代入第二式得代入第二式得2112aa这些系数都可以用这些系数都可以用 相对于相对于 的运动的运动速度求出速度求出.设设 的原点为的原点为O 。在。在 上观察上观察O 点以速度点以速度v沿沿x轴方向运动，因此其坐标为轴方向运动，因此其坐标为x= vt。但。但O 点在点在 上的坐标永远是上的坐标永远是x =0。因而由（。因而由（2.10）第一式有）第一式有x, x00zzyyv,01211ctavta解出：解

17、出：.1112cvaa由（由（2.12）-（2.14）式得：）式得：.)/(1/,)/(11222112222211cvcvaacvaa将（将（2.15）代入（）代入（2.10）式得相对论时空坐标变换公式）式得相对论时空坐标变换公式:.)/(1,)/(122222cvxcvttzzyycvvtxx因此因此只要把式中的只要把式中的v改为改为-v即得反变换式即得反变换式,)/(122zzyycvt vxx.)/(1222cvxcvttxx vv洛伦兹变换洛伦兹变换: 。洛。洛伦兹变换反映相对论的时空观。伦兹变换反映相对论的时空观。例例2 在图中在图中,设闪光从设闪光从O点发出。在点发出。在 上观察

18、，光讯号于上观察，光讯号于1秒之后同时被秒之后同时被P1和和P2接收到。设接收到。设 相对于相对于 的运动速度为的运动速度为0.8c,求求 P1和和 P2接收到讯号时在接收到讯号时在 上的时刻和位置。上的时刻和位置。解解: P1 接收到讯号在接收到讯号在 上的空时坐标为上的空时坐标为(c,0,0,1) 。这。这 事件在事件在 上观察时上观察时,由洛伦兹变换式得由洛伦兹变换式得.31)/(11222cvcvt,3)/(1)/(12222ccvvccvvtxx,0,0zy即即P1接收到讯号时在接收到讯号时在 上的空时坐标为上的空时坐标为(c/3,0,0,1/3)。注意在。注意在 上测得沿上测得沿x 轴方向的光速为轴方向的光速为x /t =c。 P2 接收到讯号时在接收到讯号时在 上的空时坐标为上的空时坐标为(-c,0,0,1) 。由洛伦兹