周培源力学竞赛辅导课(扭转和截面的几何性质)

1、目录目录一 扭转三 例题分析二 截面的几何性质汽车传动轴汽车传动轴1 1、扭扭转转的的概概念念和和实实例例汽车方向盘汽车方向盘载荷特点：受绕轴线方载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）面平行于横截面）变形特点：变形特点：横截面绕横截面绕轴线转动轴线转动内力：内力：作用面与横截面作用面与横截面重合的一个力偶，称为重合的一个力偶，称为扭矩扭矩TT=MT = Me2 2、扭矩的计算：、扭矩的计算：截截面法面法扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)扭矩图（各截

2、面扭矩的图形表示）：横坐扭矩图（各截面扭矩的图形表示）：横坐标表示截面位置，纵坐标表示截面扭矩大标表示截面位置，纵坐标表示截面扭矩大小，例：小，例：3 3、圆轴、圆轴扭转时扭转时横截面上的应力分布横截面上的应力分布pTImaxtWT 在相互垂直在相互垂直的两个平面上，的两个平面上，切应力必然成对切应力必然成对存在，且数值相存在，且数值相等；两者都垂直等；两者都垂直于两个平面的交于两个平面的交线，方向则共同线，方向则共同指向或共同背离指向或共同背离这一交线。这一交线。 各个截面上只有切应各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为力没有正应力的情况称为纯剪切纯剪切切应力互等定理：切应力互等定理：4

3、4、扭转变形计算、扭转变形计算 在切应力的作用下，在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量的改变，这个改变量 称称为切应变。为切应变。 当切应力不超过材料当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应的剪切比例极限时，切应变变 与切应力与切应力成正比，成正比，这个关系称为这个关系称为剪切胡克定剪切胡克定律律。 GG 剪切弹性模量剪切弹性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性材料，三个弹性常数之间的三个弹性常数之间的关系：关系：2(1)EGdxGITdp由扭转变形计算公式可以计算出，两个相距dx的横截面绕轴线的相对角位移，即相对扭转角drad对于相距L的两个

4、横截面间的相对扭转角可以通过积分求得：dxdllGITp0rad对于等截面圆轴，若在长度为l的某两个截面之间的扭矩均为T，那么该两截面的相对扭转角为pIGlTrad单位长度相对扭转角pIGTlrad/mGVxyzWd21)d)(dd(21d2221221ddddGGVWVVv5 5、扭转应变能、扭转应变能acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变比能：应变比能：WdVGVvVVVV2d212全杆应变能全杆应变能静矩与形心位置静矩与形心位置惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩和惯性积的平行移轴惯性矩和惯性积的平行移轴 公式公式惯性矩和惯性积的转轴公式、截面的主惯

5、性轴惯性矩和惯性积的转轴公式、截面的主惯性轴和主惯性矩和主惯性矩截面的几何性质截面的几何性质静矩是面积与它到轴的距离之积静矩是面积与它到轴的距离之积。 yASxddxASyddAAyyAAxxAxSSAySSdddddAxyyxo截面的几何性质截面的几何性质形心形心)(:正负面积法公式累加式AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxASdAxyyxddyAxAx ASxAAy ASyAA形心坐标xyo截面的几何性质截面的几何性质二二 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩：面积与它到轴的距离的平方之积。惯性矩：面积与它到轴的距离的平方之积。 AyAxAxIAyIdd2

6、2dAxyyx极惯性矩：是面积对极点的极惯性矩：是面积对极点的二次矩。二次矩。yxAIIAId2o截面的几何性质截面的几何性质dAxyyx惯性积：面积与其到两轴距离之积。惯性积：面积与其到两轴距离之积。AxyAxyIdo如果 或 是图形的对称轴，则xy0 xyI截面的几何性质截面的几何性质三、三、 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理平行移轴公式：平行移轴公式：CCybyxax以形心为原点，建立与原坐标轴平行以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图的坐标轴如图2xxcIIb AdAxyyxabCxCyCo2yycIIa A注意注意: C点必须为形心点必须为形心截面的几何

7、性质截面的几何性质四四 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主截面的主惯性轴和主惯性矩惯性轴和主惯性矩cossinsincos11yxyyxx惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxx1y1x1y11cos2sin222xyxyxxyIIIIIIo2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIyxyxIIII11截面的几何性质截面的几何性质截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩：主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有0)2cos2sin2(0000 xy

8、yxyxIIII 与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主惯性轴之惯性矩称为主惯性矩。22)2(2 00 xyyxyxyxIIIIIII主惯性矩：02tg2xyxyIII 截面的几何性质截面的几何性质 2.形心主轴和形心主惯性矩：形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩yCxCyCxCIII22tg022)2(200 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII形心主惯性矩：3.求截面形心主惯性矩的方法求截面形心主惯性矩的方法 建立坐标系 计算面积和面积矩 求形心位置 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ，

9、 IxCyC 求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩AAyASyAAxASxiixiiy22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0截面的几何性质截面的几何性质例一：图示两端固定的圆截面杆，其AB段为实心，BC段为空心。两段杆材料相同，在杆的截面处作用力偶矩M，在线弹性条件下，当许用力偶矩M达到最大值是，两段长度比为多少。例题分析例题分析CAMMM1、平衡方程2、位移协调方程MAMC21120CAppM lM lGIGI解得：1 21 22 12 11 22 1pApppCppI l MMI lIlIl MMI lIl 例题分析例题分析解：MA

10、MC3、应力分析2BCmax1ABmaxWMWMCA4、最大M条件ABmaxBCmax=16)1 (32)1 (16324314413141DWDIDWDIPP，21ll 例题分析例题分析例题分析例题分析例二：从受外力偶矩T作用的圆轴中，用横截面ABE，CDF和通过轴线的水平纵截面ABCD截出杆的一部分，截出部分长为l，如图a所示，根据切应力互等定理，水平纵截面ABCD上的切应力如图b所示。1、试证水平纵截面ABCD上切应力所构成的合力偶矩大小为2、试分析水平纵截面切应力所构成的合力偶与杆件上的什么力偶平衡RTl/34解：解：pIT23244RDIp微面积lddA微面积上的合力为dAydMdA

11、232433RRyRRPpTlTlRTlMdAdIIR例题分析例题分析由图d可知，在DCF面上距圆心为的任一点切应力沿y和z轴的分量为 和 。分量 关于y轴反对称，故其合力为零，其合力矩与ABE面上由 形成的合力矩平衡。分量 将合成一个合力和合力矩，其合力矩与ABE面上 的合力矩平衡，其合力与ABE上的合力形成对y轴的一个力偶与水平纵截面上切应力所构成的合力偶平衡。 yzyyzz例题分析例题分析43yzyTlMF lMR 同理在ABE面上会形成一反方向的合力，大小同 ，两者的合力偶为zF例题分析例题分析dddAdFzsinsin00200sin4sin3RzRpFddTddIR 例题分析例题分

12、析例三：某宇航员在太空飞行的空闲时间，仔细地从一块均质圆板上裁出半个太极图形，并建立了与图形固结的坐标系 ，如图所示。他发现，该图形虽然不对称，但仍具有很漂亮的几何性质： ，并随意将 绕O点转动 角，得到新坐系 ，仍有 ，试证明他的结论。xyOxzIIxzIIxzOx zO 证明：半圆半太极AxzAxAzxzdAIdAzIdAxI , 22，因为z轴为半圆的对称轴，可知III+=0 xzxzxzIIIcircleIII+2xxxxIIIIcircleIII+=2zzzzIIII分析半圆例题分析例题分析circlecirclexzII又xzII所以：分析半太极IIIII+xxxIIIIIIII+

13、zzzIII因为IIIIIIIIIIII=xxzzxzxzIIIIII，故同样：xzII半太极0 xzIIIIII+xzxzxzIII例题分析例题分析cos2sin222xzxzxxzxIIIIIIIcos2sin222xzxzzxzxIIIIIIIxzII0 xzI证毕。例题分析例题分析例题分析例题分析例四：为传递扭矩 ，将一实心圆轴与一空心圆轴以紧配合的方式连接在一起，如图所示。设两轴间均匀分布的配合压强为 ，摩擦系数为 ，实心轴直径为 ，空心轴外径为 ，连接段长度 均为已知，且两轴材料相同。试分析：（1）两轴在连接段全部发生相对滑动时的临界扭矩（2）设内外轴受扭初始扭矩为零，当传递扭矩从

14、零增加到 时，两轴间的扭矩值。TpfdDlcrT)(crTTT解： （1）相对滑动，两轴间单位长度上摩擦力对实心圆轴轴线的力偶矩222pdfddpfm222200lpdfdxpdfmdxTllcr例题分析例题分析例题分析例题分析Tllm)(212mlTBCt1mlTBCsptBCtGIlml32psBCsGIlml31BCsBCtpsptGImlGIml12)()(1ptpspscrptpspsIIITTlIImTIl)()(2ptpsptcrptpsptIIITTlIImTIl（1）（2）由（1）和（2）例题分析例题分析例五：一变厚度薄壁圆管如图所示，在两端承受力偶矩 作用。已知管长为 ，平均半径为 ，最小壁厚为 ，最大壁厚为 ，壁厚 随 呈线性变化，管材料的切变模量为 。试求方位角为 处的扭转切应力 与圆管两端相对转角 。Ml0