工程制图234直线上的点

1、BAaa b ba b 若若点点在直线上在直线上, 则则点的投影点的投影必定在该直线必定在该直线的的同面投影同面投影上上。 反之，若点的各面反之，若点的各面投影均在直线的同面投投影均在直线的同面投影上，则该点必在该直影上，则该点必在该直线上。线上。 k kk K四、四、 直线上的点的投影特性直线上的点的投影特性:BAaa b ba b 同一直线上的两线段同一直线上的两线段长度之比等于其投影长度长度之比等于其投影长度之比。即：之比。即：AK/KB=ak/kb= a k / k b = a k / k b 定比定理定比定理k kk K 【例【例21 】已知直线】已知直线AB，求作，求作AB上上的的

2、C点，使点，使ACCB=23。【解】【解】用辅助线法作图求解。用辅助线法作图求解。 【例例22】试判断试判断K点是否在侧平线点是否在侧平线MN上？上？【解】【解】按直线上的点的投影特性进行判断。按直线上的点的投影特性进行判断。方法一：方法一：作出直线和点的第三投影加以判断作出直线和点的第三投影加以判断-方法二：方法二：根据定比性根据定比性mk: knmk:kn, K点不在点不在MN上。上。否。否。 【例例23】已知直线已知直线CD，试在，试在C与与D之间取一点之间取一点E，使，使CE等于定长。等于定长。【解】【解】分析：分析：为了在已知直线为了在已知直线CD上取定长的线段上取定长的线段CE，必

3、须先求出已知直线，必须先求出已知直线CD的真长，然后在真长上从端点的真长，然后在真长上从端点C截取截取CE的真长，最后按与分割直的真长，最后按与分割直线真长相同的比例，在直线的投影上作出分点线真长相同的比例，在直线的投影上作出分点E的投影。的投影。作图作图： （1）求真长）求真长cdo ；（；（2）取）取ceoCE ，求出，求出 e 和和e。五、两直线的相对位置五、两直线的相对位置1、两直线的相对位置有三种情况：、两直线的相对位置有三种情况： 平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。共面线共面线异面线异面线【例例】观察分析房屋模型中线段与线段的相对位置。观察分析房屋模型中线段与线段的相对位置。AB

4、与与EF_。CG与与DH_。AB与与AP_。CD与与DH_。AE与与CD_。AB与与CG_。平行平行平行平行相交相交相交相交交叉交叉交叉交叉 空间两直线平行，则其所有空间两直线平行，则其所有同名投影同名投影必必相互平行。相互平行。反之亦然反之亦然。 平行两线段之比平行两线段之比=各同面投影之比各同面投影之比HabABcdCD投影特性投影特性2、两直线平行、两直线平行 因：因：AB/CD，Aa/Cc所以：所以：ab/cd所以：平面所以：平面ABba/平面平面CDdc证明：证明： db d c a cbad b a c abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是

5、否平行。 对于对于一般位置一般位置直直线，线，只要有两个同面只要有两个同面投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置特殊位置直线，直线，只有两个同面投影只有两个同面投影互相互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行不平行例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？ 空间两直线相交，其空间两直线相交，其各组同面投影必相交，且交点各组同面投影必相交，且交点符合点的投影规律。符合点

6、的投影规律。 XZYHYWOabababcdcdcdkkkABCDKcdabkab ab 、cdcd交于交于k kabab、cdcd交于交于k k abab、cdcd交于交于kk3.两直线相交两直线相交投影特性投影特性反之，若有两条直线，其三组同面投影均相交，反之，若有两条直线，其三组同面投影均相交，而且符合点的投影规律，则空间两直线必相交。而且符合点的投影规律，则空间两直线必相交。 投影特性投影特性 【例【例3】 AB是侧平线，是侧平线，CD是一般线，是一般线， 问：问：AB与与CD相交吗？相交吗？答案：答案：AB与与CD不相交。不相交。AB与与CD是交叉两直线。是交叉两直线。解法一解法一解

7、法二解法二d b a abcdc 【例【例4】 问：问：AB与与CD相交吗？相交吗？总结总结 对于一对一般位置直线，要判断它们是否相交，只需检查任意两面投影交点的投影连线是否垂直于投影轴即可。 对于一对特殊位置直线，要判断它们是否相交，需要检查 3组同面投影相交，并且是否符合点的投影规律来判断。 abcdabcdVHOX 在空间既不平行也不相交的在空间既不平行也不相交的两直线，叫交叉直线。两直线，叫交叉直线。4321XO(4)3abcd2(1)ABDCcdab3(4)交点是一对重交点是一对重影点的投影。影点的投影。4. 交叉两直线交叉两直线2(1)12d b a abcdc1 (2 )3(4

8、)投影特性投影特性： 同面投影同面投影可能相交，可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律。 投影的投影的“交点交点”是两是两直线上的一直线上的一 对对重影点重影点的的投影，用其可帮助判断投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点， 、是是H面的重影点。面的重影点。3 4 【例】【例】 AB与与CD是两条侧平线，是两条侧平线， 问：问：AB与与CD两直线的两直线的相对位置？相对位置？AB与与CD交叉交叉AB与与CD不平行不平行AB与与CD不相交不相交例：试判断两根水管例：试判断两根水管AB和和CD的相对位置，的相对

9、位置，并判别可见性并判别可见性cdababcdOXOXcdababcd212(1)343(4) 交叉的两直线在某些特殊情况下，可以有一组或两组投影相互平行，但绝不会出现第三组投影相互平行，如果三组同面投影平行，那么两直线平行。 交叉的两直线一般可以有一对、两对，甚至三对投影都相交，但投影交点觉不会符合点的投影规律。六、直角投影定理六、直角投影定理 空间两相交垂直直线或两交叉垂直直线，若其中一条空间两相交垂直直线或两交叉垂直直线，若其中一条直线平行于某投影面，则这两条直线在该投影面上的投影直线平行于某投影面，则这两条直线在该投影面上的投影仍为直角（仍互相垂直），直角的这一投影特性称为仍为直角（仍

10、互相垂直），直角的这一投影特性称为直角直角投影定理投影定理。 反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必相互垂有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必相互垂直。直。 已知已知: ABH， ABBC 。 问：问：abcd? 分析：分析：ABBC，ABBb，ABBbcC; ABH，abAB; ABBbcC，abBbcC，abbc。【例】【例】 求求A点与侧平线点与侧平线BC的距离。的距离。已知条件已知条件作图过程作图过程几何分析几何分析:过点过点A作作BC的垂线，求出垂足的垂线，求出垂足D，AD的长度

11、即为所求。的长度即为所求。投影分析：投影分析：BC是侧平线，是侧平线，根据一边平行于投影面的直角的投根据一边平行于投影面的直角的投影特性，有影特性，有adbc的关系，从而可求出垂足的关系，从而可求出垂足D,再由直角三角再由直角三角形法求形法求AD的真长。的真长。作图步骤：作图步骤：1、作垂线；、作垂线；2、求垂足；、求垂足；3、求实长。、求实长。【解】【解】 【例】【例】 已知交叉两直线已知交叉两直线AB、CD，作出它们的公垂线，作出它们的公垂线MN，并求出这，并求出这两条交叉直线之间的距离。两条交叉直线之间的距离。【解】【解】 几何分析几何分析: 公垂线公垂线MN是与交叉两直线是与交叉两直线

12、AB、CD都垂直的直线，垂足都垂直的直线，垂足M与与N之间的距离，即为所求。之间的距离，即为所求。 投影分析：投影分析：AB是铅垂线，是铅垂线，MN与与AB垂直，垂直，MN必为水平线。又必为水平线。又MNCD，按一边平行于投影面的直角的投影特性，有，按一边平行于投影面的直角的投影特性，有mncd。由于。由于AB是是铅垂线，铅垂线，MN在在AB上的垂足上的垂足M的的H面投影面投影m，必积聚在，必积聚在ab上。上。 作图步骤：作图步骤：1、作垂线、作垂线mn；2、作垂足、作垂足n；3、作、作mn; 4、mn即为所求。即为所求。小结：小结：23 直直 线线 的的 投投 影影一、直线的投影特性一、直线的投影特性二、直线上的点的投影