初中数学动态几何问题

1、中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形 ABCD中，AD II BC , AD =3, DC =5 , BC =10，梯形的高为4 .动 点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点 出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动.设运动的时间为t （秒）.（1）当MN I AB时，求t的值；2）试探究：t为何值时， MNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分 析动态条件和静态条件之间的关系求解

2、。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间， 就本题而言，M , N是在动，意味着 BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这 些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程， 自然得出结果。【解析】解：（1 ）由题意知，当 M、N运动到t秒时，如图，过D作DE II AB交BC于E点，则 四边形ABED是平行四边形.T AB II DE , AB II MN . DE II MN .（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化

3、成平行时候的静态问题） MC NCEC CD .（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）-.解得“50.10 -3517【思路分析2】第二问失分也是最严重的， 很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是 MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=C两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了 较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论： 当MN =NC时，如图作NF_BC交BC于F，则有MC =2FC 即.(利用等腰三角 形底边高也是底边中线的性质)DF 4-sin £C

4、=CD 53cos EC510 2t =2 5解得t二25 8当MN =MC时，如图，过M作MH丄CD于H.贝V CN =2CH ,3二 t =2 10 -2t 5 $.17当MC =CN时,则 10 _2t 二t .1025综上所述，当t =勺、860或10时,173 MNC为等腰三角形.【例2】在厶ABC中，/ ACB=45o点D (与点B、C不重合)为射线 BC上一动点，连接 AD, 以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF.(1) 如果AB=AC.如图，且点 D在线段BC上运动.试判断线段 CF与BD之间的位置关 系，并证明你的结论.(2) 如果ABM AC,如图，且点 D在线段B

5、C上运动.(1)中结论是否成立，为什么？ 若正方形ADEF的边DE所在直线与线段 CF所在直线相交于点 P,设AC= 4、2 , BC = 3 , CD=X，求线段CP的长.(用含X的式子表示)B【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给 出那个“静止点”，所以需要我们去分析由 D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递， 就可以得解。【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：丫 AB=AC，/ ACB=45o :丄 ABC=45o 由正方形 ADEF得 AD=

6、AF，v/ DAF=Z BAC =90o / DAB=/ FACDABA FAC ，ACF=/ ABD. / BCF=/ ACB+/ ACF= 90o 即 CF丄 BD.【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑 一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。(2) CF丄BD.中结论成立.理由是：过点 A作AG丄AC交BC于点G，. AC=AG 可证： GADA CAF/ BCF=/ ACB+/ ACF= 90o.【思路分析3】这一问有点棘手， 样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 似三角形的比例关

7、系即可求出CP.(3) 过点A作AQ丄BC交CB的延长线于点 Q，点D在线段BC上运动时，V/ BCA=45q 可求出 AQ= CQ=4. FC/ ACF=Z AGD=45o即CF丄BDD在BC之间运动和它在 BC延长线上运动时的位置是不一4+X还是4-X。分类讨论之后利用相DQ=4-x,易证 AQDS4 DCP, 兰DQ AQCP4 x2xCPx .4点D在线段BC延长线上运动时，/ BCA=45o 可求出 AQ= CQ=4,.过A作AG AC交CB延长线于点 AQ"A DCP, 空DQ AQDQ=4+x.G，则 AGD 二 ACF .CF丄 BD,CP丄4x42x.CPx .4【

8、例3】已知如图，在梯形ABCD中, MBC是等边三角形.AD / BC, AD =2, BC =4,点 M 是 AD 的中点,(1) 求证：梯形 ABCD是等腰梯形；(2) 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且/ MPQ =60保持不变.设PC二x, MQ二y,求y与x的函数关系式;(3)在(2)中，当y取最小值时，判断P【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在 PQ运动过程中什么东西是不变的。题目给定/MPQ=60 ° ,这

9、个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了 起来.因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1) 证明： MBC是等边三角形 MB =MC,/ MBC 二/ MCB =60 M是AD中点 AM =MD/ AD / BC / AMB =Z MBC =60 ,/ DMC =Z MCB =60 AMBDMC AB 二 DC梯形ABCD是等腰梯形.(2) 解：在等边 MBC 中，MB 二 MC 二 BC=4,/ MBC =Z MCB = 60 ,Z MPQ =60 Z BMP Z BP

10、M 二 Z BPM Z QPC =120(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩） Z BMP 二 Z QPC BMP CQPPCCQBM BPPC 二x, MQ = y BP = 4x, QC = 4 -y44 x y = x2X 44(设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子 )【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当 X取对称轴的值时 Y有最小值。接下来就变成了 “给定 PC=2求厶PQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解： PQC为直角三角形1 2 y x-234当y取最小值时，x =

11、PC =2 P是 BC 的中点，MP _ BC,而/ MPQ =60 , Z CPQ =30 , Z PQC =90以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如 某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需 要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思 路是不是一样呢？接下来我们看另外两道题 .【例4】已知正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF _ BD交BC于F，连 接DF , G为DF中点，连接EG,CG .（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中.：BEF绕

12、B点逆时针旋转 45，如图2所示，取DF中点G，连接EG , CG , 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.（3） 将图1中.BEF绕B点旋转任意角度，如图 3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）DCC【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将 BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题 的核心条件就是 G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的

13、 全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想 到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1）CG =EG（2）（ 1）中结论没有发生变化，即 CG=EG 证明：连接 AG，过G点作MN _ AD于M，与EF的延长线交于 N点.在DAG与DCG中，AD 二 CD, ZADG 二.CDG , DG 二 DG , DAG 姿 DCG 二 AG 二 CG 在.DMG与. FNG中， . DGM =. FGN , FG =DG , MDG = NFG ,DMG 也. ：F

14、NG MG =NG在矩形 AENM中，AM =EN在 Rt AMG 与 Rt ENG 中，/ AM =EN ,MG =NG , AMG 也 ENG AG =EG - EG =CGDC【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。 将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果 BEF任意旋转,哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍 EG到H,从而构造一个和 EFG全等的三角形，禾U用 BE=EF

15、这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。(3) (1)中的结论仍然成立.C【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接 AE交射 线DC于点巳将厶ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.BE(1) 当 =1 时，CF=cm,CEBE当CE=2时，求sin / DAB的值;BE(3)当=x时(点C与点E不重合)，请写出 ABE翻折后与正方形 ABCD公共部CE分的面积y与x的关系式，(只要写出结论，不要解题过程)【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，

16、翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1第二问比例为 2,第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些 条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以 轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。A B【解析】（1） CF= 6 cm；（延长之后一眼看出，EAZY（2）如图1,当点E在BC上时，延长 AB'交DC于点M ,

17、AB/ CF,. ABEA FCEBECEAB"FCBECE=2,CF=3.AB / CF,aZ BAE=Z F.又/ BAE=Z B'AE, / B'AE=/ F.a MA=MF .设 MA=MF=k，贝U MC=k -3, DM=9-k.在RtAADM中，由勾股定理得:2 2 2k =(9- k) +6 ,解得k=MA= 13 .5DM=5 .（设元求解是这类题型中比较重要的方2sin / DABDM _ 5AM 13AR图22 2 2 m =(12- m) +6 ,解得“ 15 m=AN=.2 B' N=-2 si n/DAB'=BN3AN5法）

18、如图2，当点E在BC延长线上时，延长 AD交B'于点N, 同可得NA=NE.设 NA=NE=m，贝U B'N=12-m.在RtAAB'N中，由勾股定理，得18x(3) 当点E在BC上时，y=8;x +1（所求 A B' E的面积即为 ABE的面积，再由相似表示出边长）当点E在BC延长线上时，y= 18 18 .x【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形 动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻，但是希望考生拿到题以后不要慌张，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中 那些不变的量

19、。只要条分缕析 ，一个个将条件抽出来，将大问题化成若干个小问题去解决 ，就 很轻松了 .为更好的帮助考生，笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量， 要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析 它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量 的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学 丢分就丢在没有讨论，只是想

20、当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方 式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考1】已知：如图（1），射线AM /射线BN，AB是它们的公垂线，点 D、C分别 在AM、BN上运动（点 D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动 点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持 DE _ EC，且AD DE = AB = a .（1）求证：.ADE s BEC ;（2）如图（2）,当点E为AB边的中点时，求证： AD + BC = CD ；（3） 设AE = m，请探究：. BEC的周长是否与 m值有关？若有关，请用含

21、有 m的代 数式表示 BEC的周长；若无关，请说明理由.BC N第25题（1）BC N第25题(2)【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多 个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长， 要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考2】 ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点， BP=BA若0 v/ PBC< 180°(1)当BP与BA重合时（如图 1）,/ BPD=O(2) 当§ BP在/

22、ABC的内部时（如图2), 求/BPD的度数；(3) 当§ BP在/ ABC的外部时，请你直接写出/BPD的度数，并画出相应的图形A/zx且/ PBC平分线上的一点 D满足DB=DA图1BB 2C【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有/ PBC,以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且 DB=DA从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事 实上，P点的轨迹就是以 B为圆心，BA为半径的一个圆，那 D点是什么呢？留给大家思考 下 3【思考3】如图：已知，四边形 ABCD中，AD/BC, DC丄BC,已知AB=5, BC=6, cosB=，.5点0为BC边上的一个

23、动点，连结 OD,以O为圆心，BO为半径的O O分别交边AB于点P, 交线段OD于点M，交射线BC于点N,连结MN .(1 )当BO=AD时，求BP的长；(2) 点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN; 若不存在，请说明理由；(3) 在点O运动的过程中，以点 C为圆心，CN为半径作O C,请直接写出当O C存在时， O O与O C的位置关系，以及相应的O C半径CN的取值范围。【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关 的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问 比较简单，等腰梯

24、形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP,从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考4】在ABCD中，过点C作CE丄CD交AD于点E将线段EC绕点E逆时针旋转90得 到线段EF如图1)(1)在图1中画图探究： 当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时，连结ER绕点E逆时针旋转90得 到线段EG.判断直线FG与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EF2,将线段EF2绕点E逆时针旋转9QC得到线段EC2.判断直线GC2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论4(2) 若AD=6,tanB= ,AE=1,在的

25、条件下，设3cpi=x，S RFCj =y，求y与x之间的函【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同 学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90。自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函 数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常 可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营 的去解答。第三部分思考题解析【思考1解析】(1)证明： DE _ EC，二 DEC 二 90 .二 AED BEC = 90 .

26、又. A"B=90，二 AED EDA =90 .BEC=/EDA 二 ADE BEC A D MBC第25题(2)证明：如图，过点 E作EF /BC，交CD于点F ,12在 Rt DEC 中，DF =CF1 EFCD2 E是AB的中点，容易证明 EF (AD BC).-(AD BC) =-CD .2 2AD BC 二 CD (3)解： AED 的周长二 AE AD DE 二 a m , BE 二 a - m 设AD 二x，贝U DE = a x.A =90，二 DE? = AE2 AD2 即 a2 - 2ax x2 = m2 x2.a -m2a由（1 知 ADE s .iBEC ,

27、ADE的周长2 2 a -mAD2aa mBEC的周长BEa -m一 2a2aBEC的周长ADE的周长二2a a m：BEC的周长与m值无关.【思考2答案】解：（1）/ BPD=30° ;（2）如图8,连结CD.解一：点D在/ PBC的平分线上， / 1=7 2. ABC是等边三角形， BA=BC=AC 7 ACB= 60°./ BP=BA BP=BC/ BD= BD, PBDA CBD. 7 BPD=7 3.3 分/ DB=DA, BC=AC CD=CD BCDA ACD.1._3 =. 4ACB =30 .27 BPD =30 °解二: ABC是等边三角形,B

28、A =BC=ACDB=DA,CD垂直平分AB.13= 4ACB =30 .2BP=BABP=BC点D在7 PBC的平分线上, PBD与厶CBD关于BD所在直线对称. / BPD=Z 3. / BPD =30 °(3)Z BPD=30° 或 150°.图形见图9、图10.图9【思考3解析】3解：(1)过点 A 作 AE± BC在 RtAABE 中，由 AB=5, cosB=得 BE=3.5CD丄 BC, AD/BC, BC=6, AD=EC=BC- BE=3.当BO=AD=3时，在O O中，过点 O作OH丄AB贝U BH=HPBHBO39=cosB, BH=35518 BP=.5(2)不存在 BP=MN的情况-假设BP=MN成立，/ BP和MN为O O的弦，则必有/ BOP=Z DOC. 过P作PQ丄BC,过点O作OH丄AB,/ CD丄 BC,则有 PQ8A DOC- OQ=x -18x 二257x .25BH33设 BO=x,贝U PO=x,由cosB ?得 BH= xx55