第六章点的运动学

1、第6章 点的运动学本章介绍研究点的曲线运动的三种方法，即矢径法、直角坐标法和自然法。首先介绍如何确定一个动点在空间的位置，给出动点三种形式的运动方程。再研究动点矢径随时间的变化，给出动点运动的速度和加速度的公式。最后给出速度和加速度在直角坐标轴和自然轴上的投影表达式，以及利用这些投影求速度和加速度的大小和方向的公式。例1 椭圆规的曲柄可绕定轴转动，其端点与规尺的中点以铰链相连接，规尺的两端分别在互相垂直的滑槽中运动，如图所示。已知：，试求规尺上点、的运动方程和运动轨迹。图6-4解：分析各点的运动情况，点、的轨迹为直线，点的轨迹为平面曲线，取直角坐标系，如图所示，建立它们的运动方程。点的运动方程

2、为点的运动方程为点的运动方程为消去时间，得点的轨迹方程可见点的轨迹是一个椭圆，长轴和轴重合，短轴和轴重合。点的轨迹为圆，在其轨迹曲线上取为弧坐标原点，设定弧坐标正向如图所示，点的运动方程为点的轨迹为半径的圆。例2如图所示，半圆形凸轮以等速沿水平方向向左运动，从而推动活塞杆沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆端在凸轮的最高点上。如凸轮半径，试求活塞相对于地面的运动方程、速度和加速度。  图6-13解：活塞连同活塞杆在铅直方向运动，可用其上一点的运动来描述。以下研究点的运动情况。点相对于地面作直线运动。沿点的轨迹取轴，如图所示。点的运动方程为求导得例3 曲柄摇杆机构如图所示。曲

3、柄长，绕轴转动，,摇杆长，距离。试求点的运动方程、速度和加速度。图6-14解：点的轨迹是以为半径的圆弧，时，点在处。取为弧坐标原点，由图得点的弧坐标为由于是等腰三角形，故，代入上式，得这就是点沿已知轨迹的运动方程。点B的速度、加速度的大小分别为其方向如图所示,本题也可用直角坐标法求解，可自己计算。例4如图所示的平面机构中，尺铰接于滑块、，滑块在互相垂直的直线轨道上运动，尺和轴的夹角，为常数。设，试求：（1）点的轨迹；（2）当，时，点的曲率半径。解：点的运动轨迹为平面曲线，取直角坐标系如图。点的运动方程为图6-15 （）消去时间，得点的轨迹方程可见点A的轨迹为椭圆。将式(1)对时间求一阶导数，得

4、（）（）再将式(2)对时间求一阶导数，得（）式(3)对时间求一阶导数可得点A的切向加速度故点A的法向加速度点A的曲率半径为时，得时，得例5.已知飞机与水面接触时的速度为，当飞机在水面上滑行后，速度降为。如果减加速度与飞机在水面滑行速度的平方成比例，即，试求表征螺旋桨形状与大小的参数值应为多少？并求飞机速度由降为所需的时间。解：这是一个加速度为速度的函数的问题，欲求及可用不同的分离变量方式进行积分，即可求得所需的结果。（1）求值 （2）求 22.4例6.若轰炸机以角度俯冲投弹时，其俯冲速度，度度。问轰炸俯冲时应超前目标多少角度投弹方能击中目标？图6-16解：选取如图所示的坐标系，则炸弹的运动方程

5、可写为 (a) (b)由式()即可求得时间 将代入式()，可得 所以即轰炸机俯冲时应超前目标方能击中目标。例7.第三级火箭在点脱离时，其速度为，然后在没有推进力的情况下飞行到。到点后发动机才再次点火，这时轨道与水平线的夹角为。在、这段间隔内，引力加速度的大小与方向均可认为不变，可取。求从到所需的时间（这个时间在设计点火控制系统时是很有用的），并求在这过程中高度的增量。图6-17解：在任一瞬时第三级火箭的加速度在，方向上的投影为 积分一次后，可得 选第三级火箭刚脱离时的点A为初瞬时点，则有 时 把这个初始条件代入上式，可得 (a) (b)当第三级火箭飞行到B点时速度为，则有 将第一个式子代入式(

6、a)可得 由式(b)可得 由式(b)再积分一次，可得 当时，故得，则有 将代入上式，可得 例8.点沿空间曲线运动，某瞬时其速度与加速度为，。证明：速度与加速度是互相垂直的，并求点的切向加速度及轨迹在密切面内的曲率半径。解：按矢量运算的性质，若两矢量互成垂直时，则它们的数量积必为零。由 故与垂直。由切向加速度 则有，而，故 例9.若不计空气阻力，在地球上空某高度飞行的火箭，其引力加速度。由于推进力的作用，火箭还产生另一加速度，方向与轨迹相切，并与该瞬时的铅垂线夹角为。若该瞬时火箭的速度为，求此时轨迹的曲率半径及切向加速度。解：写出该瞬时火箭的两个分加速度及在切线方向及法线方向的投影，即可求得切线

7、加速度及法向加速度。 故图6-18例10.机车沿直线轨道以等速行驶，车轮的半径。如车轮只滚不滑，求：(1)轮缘上任一点的运动方程。(2)每一瞬时点速度的大小和方向。(3)每一瞬时点加速度的大小和方向。(4)该点运动到轨迹上的最高点时的切线加速度及曲率半径。解：(1)当车轮沿水平直线作只滚不滑的运动时，则轮缘上的一段弧长必定与地面上的一段距离相等，即 (a)这里与均为时间的函数。车轮上各点的运动都比较复杂，但唯独轮心这一点的运动比较简单。车轮中心始终是作平行于地面的水平直线运动，因此可用坐标来表示轮心的运动。把式(a)对时间求一次导数，可得 即式中表示车轮中心的速度，表示车轮的角速度，。当为常数

8、时，。选轮缘上任一点在初瞬时与地面重合点作为坐标原点，并选，轴如图所示，则轮缘上任一点的坐标可写为 (c)这就是轮缘上一点的运动方程式。(2)要求任一瞬时点的速度，可将式()对时间求一次导数，可得 (d)这就是任一瞬时点的速度分量的表达式。图6-19(3)要求任一瞬时M点的加速度，可将式()对时间再求一次导数，可得 由上面两式，可得 所以有故任一瞬时点的加速度为常数，方向始终指向轮心。(4)要求任一瞬时的切线加速度，可先求出速度为时间的函数，然后对时间再求一次导数即得。由式(d) (f) 当点位于位置时，则，把它代入上式可得 欲求点轨迹的曲率半径，可先求出该点的法线加速度。由于点的切线加速度，

9、故 由式()，代入后可得 故点的曲率半径为 例11.绳的一端连在小车的点上，跨过点的小滑车，绕在鼓轮上，滑车离点的高度为。若小车以等速水平 向右运动。求当时，、之间绳上一点的速度、加速度及各为多少？解：如果用极坐标表示小车上点的运动，那么，求点的速度及加速度就相当于求点的及。分析点的径向速度及横向速度后，显然有 (a)这就是绳上任一点P的速度。图6-20因小车以等速运动，故它的加速度 则有 下面求，由 (b)知需先求出及，式(a)为，而可由下列关系式求出 但，故 (c)将式(a)(c)代入式(b)，可得 因代入上式，可得 当时，负号说明与规定的角的正方向相反，故为顺时针方向转动。例12.已知点

10、P在某瞬时的极坐标位置如图所示，其速度，与向径的夹角为，加速度分量为，。求该瞬时点的，和该点轨迹的曲率半径。图6-21解：如果以，表示加速度的直角坐标分量，以，表示加速度的极坐标分量，以，表示加速度的自然轴坐标分量，方向如图所示，显然无论用哪种坐标表示，它们合成后的加速度一定都是相同的。已知，写出加速度在横向方向的投影式，则可求得求：向方向投影 负号表明的实际方向与图示方向相反。求：向方向投影 求，： 求： 点的曲线运动小结：1.直角坐标系这种类型的问题一般分为两类：（1）已知加速度分量（或是其中一个或两个加速度分量等于零），求速度分量，运动规律或轨迹。一般进行积分即可。（2）根据已知运动条件

11、写运动方程，进行微分，即可求出速度及加速度。无论哪种情况，欲求轨迹，只要从运动方程式中消去时间即可。2.自然轴坐标系切线加速度是描述速度大小的变化，法线加速度是描述速度方向的变化。根据切线加速度与速度是同向还是反向，可以判断点在某瞬时是作加速运动还是减速运动。由于任一瞬时的法线加速度总是与速度垂直，因此求出与速度垂直的加速度分量，然后根据，即可求出该瞬时轨迹的曲率半径。如果已知点的轨迹方程，根据即可求出点在不同瞬时轨迹的曲率半径。3.极坐标系极坐标系的速度与加速度表达式与点的复合运动描述方法是完全一致的。对于给定，并指定要求或的问题，这种方法有它一定的优越性。例13.、两个带滑槽的导杆可分别沿水平及铅垂两导轨运动，销钉可在两个滑槽里运动。已知某瞬时导杆的速度为，其方向向右；加速度为，方向向左。与此同时，导杆以等速铅垂向下运动。求该瞬时销钉的轨迹的曲率半径，并在图上画出曲率的中心位置，说明该瞬时销钉是作加速运动还是减速运动。图6-22解：由题意，销钉被套杆带动具有速度，同时又被套杆带动具有速度，因此销钉的速度为 该速度与铅垂线的夹角为 求：由题意销钉具有水平向左的加速度，这个加速度在该点法线方向的投影就是该点的法向加速度。由图 再由，就