量子电子学第三讲

1、第二章 量子化 一维线性谐振子的量子化一维线性谐振子的量子化 电磁场的量子化电磁场的量子化 光子数态及其性质光子数态及其性质 位相态位相态 相干态相干态产生、湮灭算符线性谐振子的线性谐振子的Hamiltonian为：为： 222212xmmPH) (2)(21xPPxiPixmPixmmH)(21)(21PixmmaPixmma如果取：如果取：则：则：)21(aaH称为称为 湮灭算符湮灭算符 产生算符产生算符 对易关系 )()2(1PixmPixmmaa)()2(22221xPPximPxmm, 2)(1PxiH)2()(1H11() ()2aaH1,aaaaaa 本征函数与本征值 aa1nn

2、na的本征值与本征态 H)21(aaH1()2HNHH的本征矢 粒子数表象中的表示aa0哈密顿量算符本征函数？本征函数？坐标与动量算符坐标表象表象体系的状态可以用坐标体系的状态可以用坐标(x,y,z)的函数表示：的函数表示：1）波函数是坐标的函数）波函数是坐标的函数2）力学量则用作用于坐标函数的算符表示。）力学量则用作用于坐标函数的算符表示。这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，波函数也可以选用其它变量的函数，波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。这正如几何学中选用坐标系不是

3、唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 坐标，坐标， 动量，动量， 占有数等占有数等表象之间的变换：幺正变换表象之间的变换：幺正变换电磁场的量子化电磁场的量子化 Maxwell 方程方程0BtDjHtBEPDEPPED00物质方程为物质方程为 电磁场的总能量电磁场的总能量 dvHHEEv)(21选择选择Cartesian坐标系，使得

4、单模电磁场沿坐标系，使得单模电磁场沿z轴传播，电场轴传播，电场振动方向（即偏振方向）在振动方向（即偏振方向）在x轴方向上，则轴方向上，则E=(Ex, 0, 0)，磁，磁场振动方向在场振动方向在y轴上轴上H=(0, Hy, 0)，假定电磁场处于两镜腔，假定电磁场处于两镜腔内，沿内，沿x、y轴方向变化可忽略不计，则腔中单模电磁场的轴方向变化可忽略不计，则腔中单模电磁场的波动方程为波动方程为2222222222( , )( , )( , )( , )0, 0yyxxHz tHz tEz tEz tzctzct单模电磁场单模电磁场可用分离变量法求解以上方程，可得到可用分离变量法求解以上方程，可得到(

5、, )expi(1.2()sin 4 )xEz tAtkz即有即有A为振幅，为振幅，为初相，为初相，k为波矢，为波矢，=kc为角频为角频率。单模率。单模场处于两镜腔内，满足场处于两镜腔内，满足驻波条件驻波条件2, 1(1.2,2. 5)nnnnkncL0( , )( , )0sin0, 1,2,.xxzz LEz tEz tkLknL n(2-1)20( )2expi(1.26) )Q tVMAt20( , )2( )sin( 1.27) xEz tMVQ tkz其中其中V=LS为腔体体积，为腔体体积，L为谐振腔的长度为谐振腔的长度，S为谐振腔的横截面积，为谐振腔的横截面积，M为归一化因子为归

6、一化因子（具有质量量纲）（具有质量量纲）定义单模电磁场的广义坐标定义单模电磁场的广义坐标(具有长度量纲具有长度量纲)则方程则方程(2-1)可以表达为可以表达为(2-2)(2-3)显然广义坐标显然广义坐标Q(t)满足如下谐振子方程满足如下谐振子方程2( )( )0Q tQ t另一方面，由另一方面，由Maxwell方方程程 0 yzzyyxHHHzEt 0tHE0( , )( , )dyxHz tEz tz 和和H=(0, Hy, 0)有：有：故将将(2-3)式代入上式，得到式代入上式，得到20220( , )2( ) sind 2( )cosyHz tMVQ tkz zMk VQ tkz 222

7、001kc 利用利用上式可以写成上式可以写成0( , )2( )cos(1.28) yHz tMVQ tkz2-4引入场的广义动量（具有动量量纲）引入场的广义动量（具有动量量纲）( )( ) (1.29)P tMQ t0(1.32( , )( )cos 0)yHz tP tkzMV光腔体积内的电磁场能量为光腔体积内的电磁场能量为利用利用(2-4)和和(2-5)两式，得到两式，得到22001()d (1.2) 31xyHEHV(2-5)(2-6)(2-7)2222222222022222022211(sincos)d11 (sincos)dd11 (sincos)d1 ()2LLHMQkzPkz

8、VVMMQkzPkzzSLSMnnMQzPzzLLMLPMQM将将(2-3)和和(2-6)式代入上式，利用驻波条件得式代入上式，利用驻波条件得因此电磁场的哈密顿量为：因此电磁场的哈密顿量为：222(1.321 22)PHMQM这跟质量为这跟质量为M、频率为、频率为的简谐振子的哈密顿的简谐振子的哈密顿量相同。把量相同。把Q(t)看作广义坐标，把看作广义坐标，把P(t)看作广看作广义动量义动量。(2-8)电电磁场的量子磁场的量子化：化：在场的量子化中，把经典的广义坐标广义动在场的量子化中，把经典的广义坐标广义动量共轭对量共轭对Q和和P换成对应的算符，且让它们满换成对应的算符，且让它们满足对足对易关

9、系：易关系： , i (1.33)Q P 0, QQpp(2-9)描述电磁场粒子性描述电磁场粒子性引入新的算符引入新的算符1(i )21(i )2aM QPMaM QPM ()aa或相应的有：或相应的有：(), i()22MQaaPaaM , 1a a(2-10)(2-11)将将(2-11)和和(2-8)式，式，电磁场的电磁场的Hamiltonian算符为算符为于是电磁场算符可以表达为：于是电磁场算符可以表达为：22211(), 22 2PHMQNNaMa2002( , )( )sinsin()xMEz tQ tkzkazaVV00i()2( , )( )coscosyHz tP tkzaak

10、zMVV 多模电磁场对应多个不同频率的单模电磁多模电磁场对应多个不同频率的单模电磁场的叠加，它是场的叠加，它是Maxwell方程组的一般解。方程组的一般解。因此在与前面相同的条件下，多模电磁场因此在与前面相同的条件下，多模电磁场可以表达为可以表达为其中其中s=1, 2,，而，而是第是第s个模（纵模）的广义坐标和广义动量个模（纵模）的广义坐标和广义动量200( , )( , )2( )sin( , )( , )2( )cosxxsssssssyyssssssEz tEz tMVQ tk zHz tHz tM V P tk z20( )2expi(), ( )( )sssssssssQ tVMAt

11、P tM Q t多模电磁场多模电磁场 量子化之后，经典力学量换成对应的算符，量子化之后，经典力学量换成对应的算符，由此得到多模电磁场的由此得到多模电磁场的Hamiltonian算符为：算符为：2221()2ssssssssPHHMQM其中其中 为第为第s模的模的Hamiltonian算符：算符：sH2221()2ssssssPHMQM广义坐标算符与广义动量算符满足以下对广义坐标算符与广义动量算符满足以下对易关系：易关系：,i, ,0ssssssssQ PQ QP P与单模电磁场相似，引入光子的湮灭算符与单模电磁场相似，引入光子的湮灭算符和产生算符分别如下：和产生算符分别如下：1(i)21(i)

12、2ssssssssssssssaMQPMaMQPM根据坐标算符与动量算符之间的对易关系根据坐标算符与动量算符之间的对易关系，可以求得：，可以求得：, , , , 0ssssssssaaaaaa用用 表示第表示第s模的粒子数算符本征态，则有模的粒子数算符本征态，则有sn , 0,1,2.(1 2)sssssssssssssN na a nn nnHnnn对于多模辐射场，假设第对于多模辐射场，假设第s个模中有个模中有ns个光个光子（子（s=1,2,，ns=0,1,2），则粒子数算），则粒子数算符的本征态矢可以写成所有单模本征态矢的符的本征态矢可以写成所有单模本征态矢的张量积（并式矢）张量积（并式矢

13、）1212.(1,2,. , )llnnnn nnsl l 则有则有111 . . . .iiliiiliilN nnna a nnnn nnn利用上式可得利用上式可得12121.(1 2).llsslsH n nnnn nn即多模电磁场的总能量等于各个单模能量即多模电磁场的总能量等于各个单模能量之和。第之和。第s模的产生和湮灭算符只对第模的产生和湮灭算符只对第s模模的本征态作用，故有的本征态作用，故有1111. .1. .1.1.iiliiliiliila nnnn nnna nnnnnnn光子数态光子数态 （Fock态 ）2012诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 法国科学家塞尔日法国科学家塞尔

14、日阿罗什阿罗什(Serge Haroche)与美国科与美国科学家大卫学家大卫维因兰德维因兰德(David Wineland)获奖。获奖理由是获奖。获奖理由是“发现测量和操控单个量子系统的突破性实验方法发现测量和操控单个量子系统的突破性实验方法”。 光子数的非破坏性测量Serge Haroche 在一般的量子测量中，测量将改变（或破坏）系统原来的状在一般的量子测量中，测量将改变（或破坏）系统原来的状态。例如，利用光电探测器探测量子光场的光子数，光电探测态。例如，利用光电探测器探测量子光场的光子数，光电探测器将吸收光场的光子，从而改变了光场原来的量子态。借助于器将吸收光场的光子，从而改变了光场原来

15、的量子态。借助于腔量子电动力学方法，可以达到不吸收光子而能够确定腔场光腔量子电动力学方法，可以达到不吸收光子而能够确定腔场光子数的目的。这属于所谓的子数的目的。这属于所谓的量子非破坏性测量量子非破坏性测量。 光子数态 的性质对于单模光子数态对于单模光子数态|n，电场算符的期望值为，电场算符的期望值为：2010, () 2n E nn EnnV场的强度的期望值为：场的强度的期望值为：2002( , )( )sinsin()xMEz tQ tkzkazaVVkznVnEn202sin212注意，这里的注意，这里的z是指特定的位置。是指特定的位置。下图表示单模光子数态下图表示单模光子数态|n的振荡电

16、场是时间的的振荡电场是时间的函数（单模下每个正弦波的振荡频率都一样），函数（单模下每个正弦波的振荡频率都一样），最大最大振幅是确定的，但相位在振幅是确定的，但相位在02之间完全随之间完全随机分布，即相位是混乱的，完全不确定的。机分布，即相位是混乱的，完全不确定的。位相态位相态 ie相位一般表示 21212121) 1() 1() 1() 1() 1(1NeeNNNNaaaaii1iieeieNa21) 1(21) 1(Neai定义： 位相算符位相算符aNei) 1(2121) 1(NaeiaNaeeii) 1(1,1对易关系：1) 1() 1(2121nNnnaNnei22142312111NNN时当时当0,00,111111)1(4231)1(211 (1)4231211 (212122nnnnnnnnnnnnnnNNnnei 1nnei可见：光子位相算符作用于光子数态后，使光子数增加或减少可见：光子位相算符作用于光子数态后，使光子数增加或减少1个光子个光子，位，位相算符的矩阵表示：相算符的矩阵表示：1,1nninnnen1,1nninnnen因此，在光子数表象中，位相算符的矩阵元是非对角化的。因因此，在光子数表象中，位相算符的矩阵元是非对角化的。