第9章圆轴扭矩的应力变形分析与强度设计

1、2021-11-111第九章第九章 圆轴扭转时的圆轴扭转时的应力变形分析应力变形分析和和强度刚度强度刚度设计设计2021-11-112扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。2021-11-113工程上将主要承受扭转的杆件称为工程上将主要承受扭转的杆件称为轴轴汽车传动轴汽车传动轴2021-11-114汽车方向盘汽车方向盘2021-11-115丝锥攻丝丝锥攻丝2021-11-116一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率

2、、转速与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）2021-11-1179.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形工程上传递功率的圆轴及其扭转变形 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等, ,方向方向相反且相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, ,使杆件的横截面绕轴线产生转动。使杆件的横截面绕轴线产生转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。扭转。2021-11-1183 扭矩

3、的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图2021-11-1194 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT2021-11-1110复习复习剪切剪切和和切应力切应力杆件受杆件受大小相等大小相等、方向相反

4、方向相反、作用线相距很近作用线相距很近的横向力作的横向力作用时，两力之间的截面将发生用时，两力之间的截面将发生相对错动相对错动，这种变形称为剪，这种变形称为剪切。发生错动的面称为切。发生错动的面称为受剪面受剪面。剪切时，受剪面上的内力为剪力剪切时，受剪面上的内力为剪力Q，相应的应力为剪应力，相应的应力为剪应力。2021-11-11111.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。2021-11-11123.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各

5、圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。2021-11-1113 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。 圆轴上的每个微元的圆轴上的每个微元的直直角角均发生变化，这种直角的均发生变化，这种直角的改变量即为改变量即为切应变切应变。 这表明圆轴这表明圆轴横横截面截面和和纵纵截面上都将出现截面上都将出现切切应力应力，这是，这是平衡平衡所要

6、求所要求的。的。2021-11-1114 0故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz9.2 切应力互等定理切应力互等定理2021-11-1115该定理的内容为：该定理的内容为：同一点的同一点的、位于两个、位于两个互相垂直面互相垂直面上且上且垂垂直于两面交线的二剪应力直于两面交线的二剪应力，其

7、，其大小相等大小相等、方向均指向两面方向均指向两面的交线或均背离两面的交线的交线或均背离两面的交线。 2021-11-1116应明确，应明确，=只在同时满足下列条件时才成立：只在同时满足下列条件时才成立： 和和为为同一点同一点的剪应力；的剪应力； 和和广所在的广所在的两平面相互垂直两平面相互垂直； 和和的的方向方向都垂直它们所在的都垂直它们所在的。 否则，否则， 和和不存在互等关系不存在互等关系。 2021-11-11179.3 圆轴扭转时的圆轴扭转时的切应力分析切应力分析 分析圆轴扭转切应力的方法与分析分析圆轴扭转切应力的方法与分析梁纯弯曲正应力梁纯弯曲正应力的的方法基本相同，具体过程是：方

8、法基本相同，具体过程是：根据表面变形作出根据表面变形作出平面假定平面假定；由平面假定得到；由平面假定得到应应变分布变分布，亦即得到，亦即得到变形协调方程变形协调方程。再由变形协调方程与应力应变关系得到再由变形协调方程与应力应变关系得到应力分应力分布布，也就是含，也就是含有待定常数的应力表达式有待定常数的应力表达式。最后利用最后利用静力方程静力方程确定待定常数，从而得到计算确定待定常数，从而得到计算应力的公式。应力的公式。2021-11-1118 圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕邻的圆绕圆轴的轴线圆轴的轴线相互转过一角度。根据这

9、一变形特征，相互转过一角度。根据这一变形特征，假定：因轴受扭发生变形后，其假定：因轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面横截面依然保持平面，并，并且绕圆轴的轴线且绕圆轴的轴线刚性地刚性地转过一角度。这就是关于圆轴扭转转过一角度。这就是关于圆轴扭转的的平面假定平面假定。 所谓所谓“刚性地转过一角度刚性地转过一角度” 就是横截面上的就是横截面上的直径在横直径在横截面转动之后依然保持为一直线。截面转动之后依然保持为一直线。 2021-11-11199.3.1 变形协调方程变形协调方程mmOBArmm扭转角（扭转角（）,剪应变（剪应变（）,r为横截面的半径。2021-11-1120 xxGGdddtg

10、1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率，扭转角沿长度方向变化率，是常数是常数。2021-11-1121 Mx=m xM 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。9.3.2 弹性范围内的切应力弹性范围内的切应力切应变关系切应变关系2021-11-1122 G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa

11、。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1 (2EG2021-11-11232. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 切应力沿横截面的半径呈切应力沿横截面的半径呈线性线性分布。分布。一个不变的量。对于特定的某个截面是dxdGdxd)(2021-11-11243. 静力学关系：静力学关系：OdAAxGAxGAMAAAxddd ddd d22AIApd2令xGI Mpxdd pxGIMx dd 代入物

12、理关系式 得：xGdd pxIM)(rigitidytorsionalGI 为圆轴的扭转刚度2021-11-1125pxIM横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：Mx横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。9.3.4 圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的切应力切应力表达式表达式2021

13、-11-1126单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO2021-11-1127对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd2021-11-1128 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。2021-11-1129 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pxI

14、M由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWMdIMIdMptxpxpx令txWMmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt2021-11-1130已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最最大切应力大切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴空心圆轴的内外直径之比的内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长。二轴长度相同。度相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和

15、空心轴的外和空心轴的外直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴31616 716 20 045m=45mm40 10.d例题例题9-19-17 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaxxPMMWdTT2021-11-1131已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最大最大切应力切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的空心圆轴的内外直径之比内外直径之比 = 0.5

16、= 0.5。二轴长度。二轴长度相同。相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。空心轴空心轴d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1xxPMMWDTT2021-11-1132确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为长度相同的情形下，二轴的

17、重量之比即为横截面面积之比：横截面面积之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA2021-11-1133已知：已知：P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,z=120r/min,z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1= =70mm, 70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm. =35mm. 求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。P P1 1=14kW, =14kW, P P2

18、2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速M M1 1=T=T1 1=1114 N.m=1114 N.mM M2 2=T=T2 2=557 N.m=557 N.mM M3 3=T=T3 3=185.7 N.m=185.7 N.m2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩例题例题9-29-232021-11-1134 16.54MPaPa1070111416E9-31P1maxWT .69M

19、Pa22Pa105055716H9-32P2maxWT .98MPa12Pa10537 .18516C9-33P3maxWT3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力最大切应力32021-11-11359.4 承受扭矩时圆轴的承受扭矩时圆轴的强度设计强度设计和和刚度设计刚度设计9.4.1 扭转试验与扭转破坏扭转试验与扭转破坏2021-11-11362021-11-1137扭转试验过程：扭转试验过程：2021-11-11389.4.2 抗扭抗扭强度强度设计设计2021-11-11392021-11-11402021-11-11412021-11-11422021-11-114

20、32021-11-11442021-11-11459.4.3 扭转时的变形扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pxGIMx dd 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0 xpxlpxMGIlMxGIM2021-11-1146二、单位扭转角二、单位扭转角 ：(rad/m) dd pxGIMx /m)( 180 dd pxGIMx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxpxGIM /m)( 180 maxpxGIM 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。 称为许用单位

21、扭转角。2021-11-1147刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。2021-11-1148 例例33长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxxtMW 116D 43）（tW314max 116）（xMD2021-11-1149314max 116）（xMD40NmxMx代入数值得：D 0

22、.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPxGIM2021-11-115040NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP2021-11-11512021-11-11522021-11-11539.5 结论与讨论结论与讨论9.5.1 关于关于圆轴圆轴强度与刚度设计强度与刚度设计 圆轴是很多工程中常见的零件之一，其强度设计和刚度圆轴是很多工程中常见的零件之一，其强度设计和刚度设计一般过程如下：设计一般过程如下：T根据轴传递的根据轴传递的功率功

23、率以及轴每分钟的以及轴每分钟的转数转数，确定作用在轴上的，确定作用在轴上的外加力偶的外加力偶的力偶矩力偶矩。T应用应用截面法截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加力偶时，需要画出扭矩图。个以上的绕轴线转动的外加力偶时，需要画出扭矩图。 根据轴根据轴的扭矩图，确定可能的的扭矩图，确定可能的危险面危险面和危险面上的和危险面上的扭矩数值扭矩数值。T计算危险截面上的计算危险截面上的最大切应力最大切应力或单位长度上的相对扭转角。或单位长度上的相对扭转角。 根据需要，应用根据需要，应用强度强度设计准则与设计准则与刚度刚度设计准则对因轴进行强度设计准则对因轴进行强度与刚度校核、与刚度校核、 设计轴的直径以及确定设计轴的直径以及确定许用载荷许用载荷。 2021-11-1154 工程结构与机械中有些传动轴都是通过与之联接的工程结构与机械中有些传动轴都是通过与之联接的零件或部件承受外力作用的。