高中数学高考综合复习专题二十直线与圆1

1、高中数学高考综合复习 专题二十 直线与圆一、知识网络 二、高考考点1.直线的倾斜与斜率；2.直线的方程及其应用；3.两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式；4.简单的线性规划问题；5.圆的方程及其应用；6.直线与圆的相切与相交问题；7.两圆的位置关系；8.直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题.三、知识要点（一）直线1、直线的倾斜角定义与规定（1）定义：对于一条与x轴相交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作.（2）规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角 的取值范围是0

2、76;，180°）或0，）.提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.（3）直线的斜率与方向向量（）定义1：当直线l的倾斜角不是 2 时，的正切叫做直线l的斜率，直线的斜率通常用k表示即：k=tan(0<，且2)特例：当直线的倾斜角为 2 时，直线的斜率不存在.认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：0<<2k>0； 2<<k<0=0k=0； =2lx轴；（直线的斜率不存在）（）斜率公式已知直

3、线l上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(x1x2)，则直线l的斜率：k=y2-y1x2-x1=(y1-y2x1-x2) .（）定义2：直线l上的向量P1P2与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.设P1(x1,y1)、 P2(x2,y2)，则直线l的方向向量P1P2 的坐标是(x2-x1，y2-y1) ；当直线l不与x轴垂直时，(x1x2，此时，直线l的方向向量可化为1x2-x1（1，k）（这里k为直线l的斜率）.2、直线的方程（1）理论基础：直线的方程与方程的直线之定义在直角坐标系中，如果直线l和二元方程fx，y=0 的实数解之间建立了如下关系：直线l上的点的坐标都是方程fx，y

4、=0的解（纯粹性）以方程fx，y=0的解为坐标的点都在直线l上（完备性）那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.（2）直线方程的几种形式（）点斜式：已知直线l的斜率为k，且过点M(x0,y0) ，则直线l的方程为：y-y0=k(x-x0)（）斜截式已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则直线l的方程为： y=kx+b注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例。直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x轴垂直的直线的方程。因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。（）两点式已知直线l经过两

5、点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(x1x2)，则直线l的方程为：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1.(x1x2，y1y2)（）截距式已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为a,b(a,b0)，则直线l的方程为：xa+yb=1注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线。运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线。（）一般式方程Ax+By+C=0(A2+B20) 叫做直线方程的一般式直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一

6、般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x，y的一次方程，反之，任何关于x，y的一次方程都表示一条直线。这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一。3、两条直线的位置关系（1）两条直线平行的条件设l1、l2为两条不重合的直线，则（）l1l2l1与l2的斜率相等或它们的斜率都不存在.因此，已知）l1l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论。（）若设直线l1：A1x+B1y+C1=0 ，l2：A2x+B2y+C2=0 ，则l1l2A1B2=A2B1且B1C2=B2C1（此式包含了一般与特殊两种情形）（）平行于直线l Ax+By+C=0(A2

7、+B20)的直线（系）方程为：Ax+By+=0 (R)（2）两条直线重合的条件对于两条直线l1和l2（）l1l2 l1与l2的斜率之积等于1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在（）若设直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1l2A1A2+B1B2=0，（此式包含了一般与特殊两种情况）（）垂直于直线l：Ax+By+C=0(A2+B20)的直线（系）方程为：Bx+Ay+=0(R)（3）直线l1 到l2的角；直线l1与l2的夹角设l1与l2相交（）直线l1 到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作l1 到l2的角中的“到”字，画

8、龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1l2时不定义l1 到l2的角，故的取值范围为（0，）设l1 与l2的斜率分别为k1，k2，l1 到l2的角为，则当1+ k1k2=0时，=2；当1+ k1k20时，tan=k2-k11+k1k2 （注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）（）直线l1 与l2的夹角，是指l1 与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为.l1 与l2的夹角没有方向性，注意到当l1l2时不定义l1 与l2夹角的概念，故得的取值范围为：(0,2设l1 与l2的斜率分别为k1，k2，l1 与l2的夹角为 ，则当1+ k1 k2=0时，=2 ；当1+ k1 k20时

9、，tan=|k2-k11+k1k2| .（4）点到直线的距离设点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l距离：d=|Ax0+By0+C|A2+B2讨论（两平行直线间的距离）：设两条平行直线l1：Ax+By+C1=0 ，l2：Ax+By+C2=0(C1C2)，则l1 与l2之间的距离为|C1-C2|A2+B2.（5）两条直线的交点（1）直线l1：A1x+B1y+C1=0 与l2：A2x+B2y+C2=0 相交于P(x0,y0)方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0有唯一解x=x0y=y0（2）经过直线l1 与l2的交点的直线（系）方程为(A1x+B1y+C1)

10、+A2x+B2y+C2=0 （这里不含l2）(二)圆的方程1、定义与方程（1）定义（2）方程（）标准方程：(x-a)2+y-b2=r2(r0)圆心为（a、b），半径为| r |（）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圆心为(-D2,-E2 )，半径为12D2+E2-4F（III）参数方程：x=a+rcosy=b+rsin 0,2)圆心为(a，b)，r为半径长2、性质与应用（1）圆的基本性质（）关于弦的性质圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）；两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线；若设圆半径为r，弦心距d，弦长为2l，则有r2=d2+

11、l2（）关于切线的性质切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径（2）圆的性质的应用解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快.关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：（）巧设圆心坐标若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.（）巧设圆的方程一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果.3、直线与圆设直线l：Ax+By+C=0(A2+B20)，圆C: (x-a)2

12、+y-b2=r2(r0) ，则直线与圆的位置关系有两种判别方法：（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）：设圆心C到直线l的距离为d，则d<r直线l与圆C相交； d=r直线l与圆C相切； d>r直线l与圆C相离.（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：将上述直线方程与圆方程联立，消去x(或y)所得一元二次方程的判别式为，则 >0直线与圆C相交；=0直线与圆C相切；<0直线与圆C相离.4、挖掘与引申（1）两圆的公共弦所在直线的方程设C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交于A、B两点，则由-

13、得两圆公共弦AB所在直线的方程为：D1-D2x+E1-E2y+F1-F2=0（2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程对于圆x2+y2=r2(r>0)（）当点M(x0,y0)在圆上时，以M为切点的切线方程为x0x+y0y=r2；（）当点M(x0,y0)在圆外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为x0x+y0y=r2.引申：当点M(x0,y0) 在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为x0x+y0y+Dx+x02+Ey+y02+F=0四、经典例题例1求经过

14、点A（5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.分析：由题意知直线l与两坐标轴都相交，因为不存在直线l垂直于x轴的情形。但是，注意到直线l的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论。解：由题意知直线l与两坐标轴都相交.（1）当直线l在两轴上的截距均不为零时，设直线l的方程为：xa+y-a=1 (a0) Al：5a+2-a=1，即 a=3. 此时直线l的方程为：x-y-3=0 .（2）当直线l在两轴上的截距为零，即直线l过原点时，直线l的方程为：2x-5y=0 综合（1），（2）得所求直线l的方程为x-y-3=0或2x-5y=0 .点评：运用直线的某一种特殊

15、形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件.因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜.在这里，直线的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线.因此，要对这些特殊直线单独考察.例2直线l被两平行直线l1：x+2y-1=0及l2：x+2y-3=0 所截线段AB的中点M在直线x-y-1=0上，且l到l2的角为45°，求直线l的方程.分析：由已知条件易得直线l的斜率。欲求点M坐标，先考察点M的位置特征，注意到l1l2点M为线段AB的中点，故点M在与l1、l2 等距离的另一直线l3 上.因此，为避

16、免复杂运算，可先求l3的方程.解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M在与l1，l2等距的直线l3上，注意到l1，l2的纵截距分别为12和32 ，故l3的纵截距为l，由斜截式得l3的方程为x+2y-2=0 将与x-y-1=0 联立解得M（43，13）设直线l的斜率为k，则又由已知得tan45°=-12-k1+(-12)k ，解得k=-3 于是由得所求直线l的方程为9x+3y-13=0点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算.请在

17、下面的例题中注意上述技巧的刻意运用.例3已知点A（1，-1）和直线l1：2x-6=0 ，过点A作直线l2 与l1交于点B，使|AB|=5 ，求直线l2的方程.分析：欲求l2 的斜率k，如直面求直线l1、l2 联立的方程组，再利用两点间的距离公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求l1与l2 的夹角的三角函数值。为此，利用已知条件率先构造含有的Rt。解（对交点坐标不设不解）：过点A作ACl1C，则|AC|=5|BC|=25又ABC= 为直线l1与l2的夹角由RtABC 得tan=12（1）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的斜率为k，则由两直线的夹角公式得k-(-2)1+(-2)k=122k+2=2

18、k-1k=-34此时，直线l的方程为y+1=-34x-1即3x+4y+1=0（2）当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为x=1，此时易得B（1，4），|AB|=5符合已知条件.综合（1）（2）得所求直线l2的方程为3x+4y+1=0或x-1=0点评：借助平面图形的特征，人为地构造与求解Rt，进而转化为运用夹角公式求解目标直线的斜率,刻意避免了求解直线l1与l2的交点坐标.这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一.例4在ABC 中，A（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0，B 的平分线所在直线方程为x-4y+10=0 ，求BC边

19、所在直线方程.分析：如何利用B的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，所用l1与l2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化。我们这里选择第二条途径。解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B（4t-10,t）则AB边中点D(2t-72,t-12)点D在直线6x+10y-59=0 上，6(2t-72)+10(t-12)-58=0t=5点B（10，5） 又注意到AB与BC边所在直线关于B的平分线所在直线x-4y+10=0对称，故点A（3，-1）关于直线x-4y+10=0 对称点A（m,n）一定在直线BC上由点A、A关于直线x-4y+10=0 对称得14n+1m-3=-1 m+

20、32-4n-12+10=0m=1n=7A（1，7） 于是由得直线AB即直线BC的方程为2x+9y-65=0点评：本题解题特色，一是利用已知直线方程巧设点B和点D坐标；二是利用平分线性质转化为点的对称问题.此为解决这类直线问题的基本策略.例5已知过点A（1，1）且斜率为-m(m>0)的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q分别作直线l1：2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值.分析：这里的四边形PRSQ为直角梯形且PRSQ，故梯形的高RS为平行线QS与PR间的距离，从设直线l的方程切入.解：设直线l的方程为y-1=-mx-1(m>0) 在中令x=0得

21、y=m+1 Q（0,m+1）在中令y=0得x=1m+1 P（1m+1,0）将P、Q两点到直线l1:2x+y=0的距离分别记为d1,d2 ,则|PR|+|QS|=d1+d2=m+2m+35 又直线QS方程为y-(m+1)= 12x x-2y+2m+1=0，直线PR方程为y=12x-1-1mx-2y-1m-1=0，直线PR与QS间的距离h=2m+1+(1m+1) 5=2m+1m+35即|RS|=2m+1m+35 由得：Sprsq=12d1+d2h=11014+9m+1m+2(m2+1m2)11014+9×2m×1m+2×2(m2×1m2)=185（当且仅当m

22、=1m m=1时等号成立）于是可知，四边形PRSQ的面积的最小值为185 （当且仅当m=1时取得）点评：从设直线l的方程切入，点P、Q坐标以及点P、Q到l的距离依次登场，循序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS，四边形面积的表达式便呼之欲出了.解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界.例6设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在此圆上，且该圆与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆的方程.分析：圆上的点A关于直线x+2y=0 的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上知，圆心在直线x+2y=0

23、上可设圆的圆心坐标为（2t，-t），圆的方程为(x-2t)2+(y+t)2=r2 (r>0) 则由题设条件得：r2=(|3t+1|2)2+(2)2 r2=(2-2t)2+(3+t)2由解得t=3 r2=52 或 t=7 r2=244所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或 (x-14)2+(y+7)2=244点评：要善于认知题设的真面目：点A关于直线x+2y=0 的对称点A' 在此圆上 弦AA' 的垂直平分线为x+2y=0 直线 x+2y=0过圆心例7一个圆与直线l1：x-6y-10=0·相切于点P（4，-1），且圆心在直线l2：5x-3y=0上，求圆的

24、方程。分析：求圆的方程，当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程.解（巧设圆心坐标）：圆心在直线5x-3y=0上设圆心C的坐标为（3t，5t）又PCl1KPCKl1=-1由此得5t+13t-416=-1解之得t=1圆心C（3，5），半径r=|PC|=37 所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质.上述解答便是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径.例8已知圆C与圆x2+y2-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0，又圆C经过点A（-2，3），B（1，4），求圆C的方程。

25、分析：题设条件中出现两圆的公共弦.对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同，随之的解法也会不同.解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C方程为x2+y2-Dx+Ey+F=0，则圆C与已知圆的公共弦所在直线方程为Dx+E+7y+(F-10)=0由题设得：-DE+7=233D+2E=-14 又点A、B在圆C上，故有：2D-3E-F=13D+4E+F=-17所求圆C的方程为：x2+y2+2x-10y+21=0解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C的弦AB的中点坐标为(-12,72)圆C的弦AB的垂直平分线方程为3x+y-2=0 又已

26、知圆圆心为(0，72)两圆连心线所在直线的方程为y-72=-32x3x+2y-7=0设圆心C（a,b），则由、得3a+b-2=03a+2b-7=0解之得a=-1b=5再注意到圆C的半径r=|CA|=5所求圆C的方程为(x+1)2+(y-5)2=5点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些.例9已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1，点Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B，试求弦AB的中点P的轨迹方程.分析：本题出现“切点弦”.鉴于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程.解：由已知得M（0，2），圆M方程为x2+y2-4y+3=0设Q（t，0

27、），则由得切点弦AB所在直线方程为tx-2y+3=0又设P（x，y），则由MPAB 得y-2x=2tt=2x2-y(xt0)将代入得2x22-y-2y+3=0(x0)2x2+2y2-7y+6=0(x0且y2)x2+(y-74)2=116(x0且y2)讨论：当t=0时有x=0，代入得y=32，点（0，32）满足式，故点（0，32）也是所求轨迹上的点.综上可知，所求弦AB的中点P的轨迹方程为：x2+(y-74)2=116(y2)说明：这里的切点弦AB所在直线的方程是需要推导或证明的.本题略去的推导或证明过程，请大家练习.例10已知直线l：x+2y-3=0与C:x2+y2+x-2ay+a=0相交于A

28、、B两点（1）当CACB时，求C的方程；（2）当OAOB时，求C的方程（O为原点）解：（1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解”注意到C的方程为(x+12)2+(y-a)2=a2-a+14弦心距d=|2a-72|5=|4a-7|25由CACB得r=2dr2=2d2a2-a+14=(4a-7)21010a2-10a+52=16a2-56a+496a2-46a+932=012a2-92a+93=0a=23±5106所求C方程为：6x2+6y2+6x-2(23-510)y+23-510=0或6x2+6y2+6x-223+510y+23+510=0（2）对交点A、B坐标“既设又解”设:A(x

29、1,y1)、B(x2,y2)将直线方程与C方程联立得：x+2y-3=0x2+y2+x-2ay+a=0消去x得5y2-2a+14y+a+12=0由题意知：y1、y2为方程的两个不等实根=2a+142-20a+12>0a2+9a-11>0由韦达定理得：y1+y2=25(a+7)y1y2=15(a+12)x1x2=3-2y13-2y2=9-6y1+y2+4y1y2=15(9-8a)又由OAOBx1x2+y1y2=0由、得：159-8a+15a+12=0解得：a=3（满足式）所求C方程为x2+y2+x-6y+3=0点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半

30、意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解.例10的改作：（1）已知C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0相交于A、B两点，且OAOB（O为原点），求m的值.（2）已知C的圆心坐标为(0，52)，C与已知直线3x+4y-10=0相交于A、B两点，且OAOB（O为坐标原点），求C方程（3）已知过点（3，0）的直线l与C：x2+y2+x-6y+3=0相交于A、B两点且OAOB（O为坐标原点），求直线l的方程.五、高考真题（一）选择题1.（2005·北京卷）“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的（）A.充

31、分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分又不必要条件2.（2004·湖南卷）设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（）A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=03.（2005·湖南卷）设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）A.20B.19C.18D.164.(2005天津卷)将直线2x-y+=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值为（）A.3或7B.2或8C.0或10D.1或115.

32、（2005全国卷）已知直线l过点（2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A.（-22，22）B.（-2，2）C.（-24，24）D.（-18，18）6.（2005北京卷）从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（）A.6B.3C.2D.237.（2005·湖南卷）已知点P（x,y）在不等式组x-20y-10x+2y-20表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（）A.-2，-1B.-2，1C.-1，2D.1，28.（2004·全国卷III）已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，

33、则圆C的方程为（）A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y-1)2=1（二）填空题1.（2005·上海卷）直线y=12x关于直线x=1对称的直线方程是.2.（2005·湖南卷）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程为.3.（2004·辽宁卷）若经过点P（-1，0）的直线与圆x2+y2+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是.4.（2005·重庆卷）若x2+y2=4，则xy的最大值是.5.（2005·湖南卷）已知直线ax+by+c=0与圆o

34、:x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|=3，则OAOB=.6.（2004·全国卷）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60°，则动点P的轨迹方程为.7.（2005·福建卷）非负实数x,y满足2x+y-40x+y-30，则x+3y的最大值为.8.（2005·山东卷）设x,y满足约束条件x+y53x+2y120x30y4，则使目标函数z=6x+5y的值最大的点（x,y）是.9.（2005·江西卷）设实数x,y满足x-y-20x+2y-402y-30，则yx的最大值为（三）解答题1.（2005·北

35、京卷）如图，直线l1：y=kx（k>0）与直线l2：y=-kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.（1）分别用不等式组表示W1和W2；（2）若区域W中的动点P（x,y）到l1，l2 的距离之积为d2 ，求点P的轨迹C的方程；（3）设不过原点O的直线l与（2）中曲线C相交于M1M2 两点，且与l1，l2 分别交于M3M4两点，求证：OM1M2的重心与OM3M4的重心重合.2.（2005·广东卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线

36、段DC上（1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（2）求折叠的长的最大值.3.（2004·湖南卷）如图，直线l1：y=kx+1-k（k0，k±12） 与l2：y=12x+12 相交于点P，直线l1 与x轴交于点p1 ，过点p1 作x轴的垂线交l2 于点 ，过点 作y轴的垂线交直线l1 于点 ，过点 作x轴的垂线交l2 于 ，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，点的横坐标构成数列 . （1）证明： ；（2）求系数 的通项公式；（3）比较 与 +5的大小.分析与解答（一）选择题1.选B分析：当 时，两直线为 和 ，显然垂直，条件具充分性；当两

37、直线互相垂直时，由 得：或 ，条件不具必要性.故应选B.2.选D.分析：由 为倾斜为得 又由 得 ， ，即a=b，故应选D.3.选C.分析：注意到A、B的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为 中A、B的值有 种解法，但其中有“A=1，B=2”与“A=2，B=4”表示同一直线，“A=2，B=1”与“A=4，B=2”表示同一条直线，所以不同直线的条数为 ，应选C.4.选A分析：把直线 即 向左平移1个单位得直线 .解法一：若注意到圆与y轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y轴的相交弦为x=0 ，当 时，直线 都和圆与y轴的相交弦相交，从而否定B，C，D，应选A.解法二：将 代入圆方程

38、得 ，当 得 解得 或 ，从而应选A.5.选C.分析：将直线 代入 得，故选C.6.选B.分析：已知圆 的圆心C（0，6），设两切点为A、B，则在 中， ，则 ，应选B.7.选C.分析：首先由不等式确定可行域，而后研究目标函数 （即 ）.结合图形易知：当直线 ，过点A（0，1）时， ；当直线 ，过点B（2，0）时， ，故应选C.8.选C.分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线的对称点为（0，-1），由此否定A，B，D，应选C.（二）填空题1.分析：从点的对称切入，当直线y=12x 上的点（0，0）关于x=1的对称点为A（2，0），直线 y=12x上的点（2，1）关于x=1的对称点为B（0，1）

39、，则KAB=-12 ，从而直线AB的方程为y=-12x+1x+2y-2=0，故所求对称直线方程为x+2y-2=0 2.分析：已知圆圆心（1，0），KAB=- ， 弦AB的垂直平分线的斜率为 ， 弦AB的垂直平分线的方程为 ，故所求直线方程为：3. 分析：已知圆方程为： ，经过点P（-1，0）且与圆相切的直线的斜率存在，设这一切线的方程为，则 ，由此解题k=1， 上述切线的方程为 y=x+1，其在y轴上的截距是1，故应填1.4.分析：根据已知设 ，则 （ 为辅助） x-y的最大值为 5.分析：由题设在 中， ， ， 应填 6.分析：由题设得 ，又 ， ， 动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.

40、 动点P的轨迹方程为 点评：首先认知动点P的运动轨迹，而后据此导出动点P的轨迹方程，此为求动点轨迹方程的又一途径。7.分析：由不等式组解得可行域.可行域边界上各交点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（0，3），C（1，2），当 ，则比较u在各交点处的函数值得 点评：在x,y不受其它限制的情况下，目标函数 的最值一定是在可行域边界上的“交点”处取得.因此，相关问题均可仿7解决.8.分析：由不等式作出可行域，求出可行域边界上的各个“交点”的坐标，则仿7可得答案是点（2，3）.9.分析：由不等式组作出可行域，则可行域为 所包围的平面区域（包含边界）， ，注意到 表示区域内任一点P与原点的连线的斜率，又 ， （三）解答题1.分析：对于（1）从题设中的直线方程切入；对于（3），则可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明.为此，寻找三顶点同名坐标的和之间的联系.解：（1）由题设得：，.（2）直线 ，直线 .由题意得： ，即： 点 由，得：整理得 所求动点P的轨迹C的方程为： （3）证明：（）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为 ， 直线