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文档简介
1、矩阵及其变换 高中数学高中三年级江苏60线性变换与二阶矩阵复合变换与二阶矩阵的乘法逆变换与逆矩阵了解矩阵的相关知识,如行、列、元素、零矩阵的意义和表示。 通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件;通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在。矩阵的运算、逆矩阵的求法 求矩阵的逆矩阵利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程 本讲从内容上看,主要考查二阶矩阵的基本运算,考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等从形式上看,以解答题为主,本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识,一般以基础题目为主,难度不大又经常与其他知识结合,在考查基础知识
2、的同时,考查转化与化归等数学思想,以及分析问题、解决问题的能力 矩阵乘法的定义一般地,我们规定行矩阵a11,a12与列矩阵的乘法规则为a11,a12a11b11a12b21,二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为.说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换 乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法法则:a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则:.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,其乘法法则如下:.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律,即(AB)CA(BC)(5)AkAlAkl,(Ak)lAk
3、l(其中k,lN*)常见的平面变换(1)恒等变换:因为,该变换把点(x,y)变成(x,y),故矩阵表示恒等变换(2)反射变换:因为,该变换把点(x,y)变成(x,y),故矩阵表示关于y轴的反射变换;类似地,分别表示关于x轴、直线yx和直线yx的反射变换(3)伸缩变换:因为,该变换把点(x,y)变成点(x,ky),在此变换中,点的横坐标不变,纵坐标变成原来的k倍,故矩阵表示y轴方向上的伸缩变换;类似地,矩阵可以用来表示水平伸缩变换(4)旋转变换:把点A(x,y)绕着坐标原点逆时针旋转角的变换,对应的矩阵是.(5)切变变换:表示的是沿x轴的切变变换沿y轴的切变变换对应的矩阵是.(6)投影变换:,该
4、变换把所有横坐标为x的点都映射到了点(x,0)上,因此矩阵表示的是x轴上的投影变换类似地,表示的是y轴上的投影变换 (2014·扬州模拟)已知矩阵A,B,若矩阵AB对应的变换把直线l:xy20变为直线l,求直线l的方程4xy80.易得AB,在直线l上任取一点P(x,y),经矩阵AB变换为点Q(x,y),则,即代入xy20中得xy20,直线l的方程为4xy80. 求使等式M成立的矩阵M. M.解设M,则M,则即M. 在直角坐标系中,已知ABC的顶点坐标为A(0,0),B(2,0),C(2,1),求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形ABC的面积,其中M,N.4解:因为ABC在MN作用
5、下变换为ABC,且MN,所以,.即A(0,0),B(0,4),C(2,4)可得SABC4.所以ABC在矩阵MN作用下变换所得的图形的面积为4. 已知直线l:axy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l:xby1.(1)求实数a,b的值;(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A,求点P的坐标(1,0)解(1)设直线l:axy1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x,y)由,得又点M(x,y)在l上,所以xby1,即x(b2)y1,依题意得解得(2)由A,得解得y00.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x01.故点P的坐标为(1,0) 已知M,N,设曲线ysin x在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程 y2sin 2x.由题设得MN设所求曲线F上任意一点的坐标为(x,y),ysin x上任意一点的坐标为(x,y),则MN,解得把代入ysin x,化简得y2sin 2x.所以,曲线F的方程为y2sin 2x.1
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