第3章一元函数积分学

1、第三章 一元函数积分学一、原函数与不定积分的概念及基本性质(一)原函数与不定积分的概念1.原函数与不定积分的定义2.原函数与不定积分的相互关系（二）原函数的存在性及初等函数的原函数1、原函数的存在性，区间连续，存在原函数，若在区间上有第一类间断点，区间上不存在原函数2.初等函数的原函数；初等函数定义域上连续，因此一定存在原函数，但原函数不一定是初等函数（三）不定积分的基本性质和基本积分公式1.不定积分的基本性质（1）（2）2.基本积分公式 二、不定积分的计算 最基本的积分方法是分项积分法、换元积分法和分部积分法，而换元积分法又分为第一换元积分法（凑微分法）与第二换元积分法(一)分项积分法 （二

2、）第一换元积分法（凑积分法） （三）第二换元积分法情形1，被积函数中含有二次根式的不定积分 一般的二次根式 化为若, 情形2，被积函数中含有形如的根式的简单无理函数的积分 （四）分部积分法（五）基本积分公式的扩充 （六）有理函数的积分待定系数法 比较系数法 赋特殊值法（七）三角函数的有理式积分（万能代换）三、定积分的概念与基本性质、基本定理（一）定积分的概念1.定积分的定义2.理解定积分应注意的问题（1） 定积分要求积分区间有限，被积函数有界（2） 区间分割任意，点都是任意的（3） 定积分是一个数，定积分存在，其值与积分变量无关，与被积函数与积分区间有关（4）（5）（二）定积分的几何意义，函数

3、的可积性及不定积分与定积分的关系1.定积分的几何意义2函数的可积性(1)可积的必要性(2)可积的充分条件，以下三类函数的区间上可积3.不定积分与定积分的关系（三）定积分的基本性质（1）性质性质（2）对区间的可加性质（3）比较定理（4）积分中值定理（5）连续非负函数的积分性质（6）（四）基本定理1.变上限积分2.牛顿-莱布尼茨公式四、定积分的计算（一）定积分的分项积分法与分段积分法善利用三角函数的积化和差，搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的关系（二）定积分的换元积分法(三)定积分的分部积分法选择一个函数的上下限处的函数值为零可以简化计算过程五、反常积分（广义积分）（一）无穷区间上的反常积分的概

4、念（二）无界函数的反常积分的概念上述极限都存在，则反常积分收敛无界函数的反常积分也称瑕积分，被积函数在其领域内无界的点称为瑕点（三）几个常见的反常积分（四）反常积分的计算六、定积分的几何应用（一）平面图形的面积用定积分求平面图形的面积，一般先作出图形的草图，定好积分变量及积分的上下限；表示面积的定积分，其被积函数往往带有绝对值，在计算时要根据函数值的正负号去掉绝对值，需要时候分段计算定积分(二)立体的体积1.已知平行截面面积的立体体积2.旋转体的体积七、定积分的简单经济应用八、奇偶函数在对称区间上的积分性质、周期函数的积分性质九、积分的解题思路1.原函数与不定积分的区别：原函数是一个函数，不定

5、积分是全体原函数2.定积分是一个数，原函数是一个函数3.定积分是有界函数在有限区间上的积分，而反常积分则是变限定积分的极限，要考虑反常积分的收敛性4.若函数在区间内有跳跃间断点，则函数在该区间不存在原函数5.若函数在区间内有第二类间断点，则需要具体分析判断是否存在原函数6.若函数在区间只有可去间断点，可把函数修改为连续函数，连续函数必有原函数7.应用定积分的几何意义直接得出某些定积分的值8. 十、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关原函数与定积分概念的问题题型二、积分值的比较与积分值符号的判断题型三、估计积分值题型四、有关原函数存在性的问题题型五、求分段函数的原函数题型六、各类被积函数不定积分的计算题型七、各类被积函数定积分的计算题型八、利用积分技巧计算积分题型九、