第九章偏微分方程差分方法

1、第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程 （9.1）G是x,y平面上的有界区域，其边界为分段光滑的闭曲线。当f(x,y)0时，方程（9.1）称为Lapl

2、ace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 （9.2） 第二边值条件 （9.3） 第三边值条件 （9.4）这里，n表示上单位外法向，(x,y),(x,y),(x,y)和k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u(x,y)在区域G的一些离散节点（xi，yi）上的近似值ui,j(xi，yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解

3、差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G=0<x<a, 0<y<b为矩形区域，在x,y平面上用两组平行直线x=ih1, i=0,1,N1, h1=a/N1 y=jh2, j=0,1,N2, h2=b/N2将G剖分为网格区域，见图9-1。h1，h2分别称为x方向和y方向的剖分步长，网格交点（xi，yi）称为剖分节点（区域内节点集合记为Gh=（xi，yi）; （xi，yi）G）,网格线与边界的交点称为边界点，边界点集合记为h。 现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（xi，yi）上进行离散。在节点（xi，yi）处，方程（9.1）为 （9.5）需进

4、一步离散（9.5）中的二阶偏导数。为简化记号，简记节点（xi，yi）=(i,j)，节点函数值u（xi，yi）=u(i,j)。利用一元函数的Taylor展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i,j)处的离散形式 其中。舍去高阶小项，就导出了u(i,j)的近似值ui,j所满足的差分方程 （9.6）在节点(i,j)处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为，它关于剖分步长是二阶的。这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。在差分方程（9.6）中，每一个节点(i,j)处的方程仅涉及五个节点未知量ui,j，ui+1,j，u

5、i-1,j，ui,j+1，ui,j-1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h1= h2=h时，它简化为差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值ui,j ,(i,j)Gh外，还包括边界点值。例如，点(1,j)处方程就含有边界点未知量u0,j。因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。对于第一边值条件式（9.2），可直接取ui,j=（xi，yi）， (i,j)h （9.7）对于第三（k=0时为第二）边值条件式（9.4），以左边界点(1,j)为例，见图9-2,利用一阶差商公式 则得到边界点(0,j)处的差分方程 （9.8）联立差分方程（9.6）与（9.7）或

6、（9.8）就形成了求解Poisson方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量ui,j的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。考虑更一般形式的二阶椭圆型方程 （9.9）其中A(x,y)Amin>0, B(x,y) Bmin >0, E(x,y) 0。引进半节点利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程 （9.10）其中 （9.11）显然，当系数函数A(x,y)=B(x,y)=1, C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0时，椭圆型方程（9.9）就成为P

7、oisson方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。9.1.2 一般区域的边界条件处理前面已假设G为矩形区域，现在考虑G为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。考虑Poisson方程第一边值问题 （9.12）其中G可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线：x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,±1,对区域G进行矩形网格剖分，见图9-3。 如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j），（i-1,j），（i,j+1）和（i,j-1）属于，则称其为正则内点，见图9-3中打“。”号者；如

8、果一个节点（i,j）属于且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图9-3中打“.”号者。记正则内点集合为，非正则内点集合为。显然，当G为矩形区域时，成立。 在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式 （9.13）在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中D点，则利用边界条件可取uD=(D)对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B点，一般可采用如下两种处理方法。a.直接转移法.取与点B距离最近的边界点（如图9-4中E点）上的u的值作为u(B)的近似值uB，即uB=u(E)=

9、(E)直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。b.线性插值法.取B点的两个相邻点（如图9-4中边界点A和正则内点C作为插值节点对u(B)进行线性插值则得到点B处的方程 线性插值法精度较高，为二阶近似。对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。求解此方程组就可得到一般区域上边值问题（9.12）的差分近似解。对于一般区域上二阶椭圆型方程（9.9）的第一边值问题，可完全类似处理。第二、三边值条件的处理较为复杂，这里不再讨论。9.2 抛物型方程的差分方法本节介绍抛物型方程的差分方法，重点讨论差分格式的构造和稳定

10、性分析。9.2.1 一维问题 作为模型，考虑一维热传导的初边值问题 （9.14） （9.15） （9.16）其中a是正常数，都是已知的连续的函数。现在讨论求解问题（9.14）-(9.18)的差分方法。首先对求解区域G=0xl, 0tT进行网格剖分。取空间步长h=l/N,时间步长=T/M,其中N,M是正整数，作两族平行直线 将区域G剖分成矩形网格，见图9-5，网格交点（xj，tk）称为节点。用差分方法求解初边值问题（9.14）-（9.16）就是要求出精确解u(x,t)在每个节点（xj，tk）处的近似值。为简化记号，简记节点（xj，tk）=u(j,k)。 利用一元函数的Taylor展开公式，可推出

11、下列差商表达式 （9.17） （9.18） （9.19） （9.20）1.古典显格式 在区域G的内节点(j,k)处，利用公式（9.17）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为其中。舍去高阶小项，就得到节点近似值（差分解）所满足的差分方程 （9.21）显然，在节点(j,k)处，差分方程（9.21）逼近偏微分方程（9.14）的误差为，这个误差称为截断误差，它反映了差分方程逼近偏微分方程的精度。现将（9.21）式改写为便于计算的形式，并利用初边值条件（9.15）与（9.16）补充上初始值和边界点方程，则得到 （9.22）其中称为网比。与时间相关问题差分方程的求解通常是按时间方向逐层进行的。

12、对于差分方程（9.22），当第k层节点值已知时，可直接计算出第k+1层节点值。这样，从第0层已知值开始，就可逐层求出各时间层的节点值。差分方程（9.22）的求解计算是显式的，无须求解方程组，故称为古典显格式。此外，在式（9.22）中，每个内节点处方程仅涉及k和k+1两层节点值，称这样的差分格式为双层格式。差分方程（9.22）可表示为矩阵形式 （9.23）其中 2. 古典隐格式 在区域G的内节点(j,k)处，利用公式（9.18）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为舍去高阶小项，则得到如下差分方程 （9.24）它的截断误差为，逼近精度与古典显格式相同。改写（9.24）式为便于计算的形式

13、，并补充上初始值与边界点方程，则得到 （9.25）与古典显格式不同，在差分方程（9.25）的求解中，当第k-1层值已知时，必须通过求解一个线性方程组才能求出第k层值，所以称（9.25）式为古典隐格式，它也是双层格式。差分方程（9.25）的矩阵形式为 （9.26）其中 向量同（9.23）式中定义。从（9.26）式看到，古典隐格式在每一层计算时，都需求解一个三对角形线性方程组，可采用追赶法求解。3.Crank-Nicolson格式（六点对称格式）利用一元函数Taylor展开公式可得到如下等式 使用这两个公式，在点离散偏微分方程（9.14），然后利用（9.20）式进一步离散二阶偏导数，则可导出差分方

14、程 （9.27）其截断误差为，在时间方向的逼近阶较显格式和隐格式高出一阶。这个差分格式称为Crank-Nicolson格式，有时也称为六点对称格式，它显然是双层隐式格式。改写（9.27）式，并补充初始值和边界点方程得到 （9.28）它的矩阵形式为 （9.29）在每层计算时，仍需求解一个三对角形方程组。4. Richardson格式利用公式（9.19）和（9.20），可导出另一个截断误差为阶的差分方程称之为Richardson格式。可改写为 (9.32)这是一个三层显式差分格式。在逐层计算时，需用到和两层值才能得到k+1层值。这样，从第0层已知值开始，还须补充上第一层值，才能逐层计算下去。可采用

15、前述的双层格式计算。除上述四种差分格式外，还可构造出许多逼近偏微分方程（9.14）的差分格式，但并不是每个差分格式都是可用的。一个有实用价值的差分格式应具有如下性质：（1）收敛性。对任意固定的节点（xj，tk）,当剖分步长时，差分解应收敛到精确解u（xj，tk）。（2）稳定性。当某一时间层计算产生误差时，在以后各层的计算中，这些误差的传播积累是可控制而不是无限增长的。理论上可以证明，在一定条件下，稳定的差分格式必然是收敛的。因此，这里主要研究差分格式的稳定性。作为例子，先考查Richardson格式的稳定性。设是当计算过程中带有误差时，按Richardson格式（9.30）得到的实际计算值。是

16、理论值，误差。假定右端项的计算是精确的，网比，则满足 （9.31）设前k-1层计算时精确的，误差只是在第k层点发生，即。则利用（9.31）式可得到误差的传播情况，见表9-1。表9-1 r=1/2时Richardson格式的误差传播 j kj0-4j0-3j0-2j0-1j0j0+1j0+2j0+3j0+4k00000000k+1000-2000k+200-47-400k+30-617-2417-60k+4-831-6889-6831-8k+5-1049-144273-388273-14449-10k+671-260641-10961311-1096641-26071 从表中看出，误差是逐层无限

17、增长的。表中的计算虽然是就网比进行的，实际上对任何r>0都会产生类似现象，所以Richardson格式是不稳定的。利用误差传播图表方法考查差分格式的稳定性虽然直观明了，但只能就具体取定的r值进行，并且也不适用于隐式差分格式。9.2.2 差分格式的稳定性前节构造的几种双层差分格式都可以表示为如下的矩阵方程形式 （9.32）其中H称为传播矩阵。对于显格式H=A, 隐格式H=B-1,六点对称格式H=(I+B) -1 (I+A)。一般的三层格式也可以转化为双层格式。为了讨论方便，设在初始层产生误差，且假定右端项的计算是精确的。用表示当初始层存在误差时，由差分格式（9.32）得到的计算解，则满足方

18、程 （9.33）记误差向量，则满足方程 （9.34）定义9.1 称差分格式（9.32）是稳定的，如果对任意初始误差，误差向量在某种范数下满足 （9.35）其中C为与h,无关的常数。这个定义表明，当差分格式稳定时，它的误差传播是可控制的。从（9.34）式递推得到因此，差分格式稳定的充分必要条件是 （9.36）定理9.3 （稳定性必要条件）差分格式稳定的必要条件是存在与h,无关的常数M,使谱半径 （9.37）定理9.4 （稳定性充分条件）设H为正规矩阵，即,则（9.37）式也是差分格式稳定的充分条件。下面讨论几种差分格式的稳定性。为便于讨论，引进N-1阶矩阵 这个特殊矩阵的特征值为 （9.38）例9-1古典显格式 此时H=A=(1-2r)I+rS。 利用（9.38）式和三角函数公式，可求得H的特征值为 为使稳定性条件式（9.39）成立，必须且只须。由于H=A为实对称矩阵，所以古典显格式稳定的充分必要条件是网比例9-2 古典隐格式 此时H=B-1,B=(1+2r)I-rS。利用（9.38）式可求得H的特征值为 显然，对任意r>0，条件（9.37）成立。注意，H=B-1仍为实对称矩阵，所以古典隐格式对任何网比r>0都是稳定的，称为绝对稳定。例9-3 六点对称格式 此时H=(I+B)-1(I+A)，利用矩阵A和B的特征值可得到矩阵H的特征值为 则对任意r>