大学物理相对论1

1、第第15章章狭义相对论狭义相对论基础基础第6篇 近代物理基础 (相对论1)前言前言Albert Einstein（1879 1955）狭义相对论基础第第15章章15.1 15.1 力学是研究物体的运动，即它的位置随时间的变化。为了定力学是研究物体的运动，即它的位置随时间的变化。为了定量研究这种变化，必须选择适当的参考系，而参考系的选取可量研究这种变化，必须选择适当的参考系，而参考系的选取可视研究问题的方便任意选取。视研究问题的方便任意选取。yxxozzyutossPu 在两个惯性系中考察同一物在两个惯性系中考察同一物理事件理事件两个惯性系两个惯性系：S系和系和 系系S 系相对系相对S 系以速度

2、系以速度u沿沿x正向匀速运动正向匀速运动S一物理事件一物理事件： 质点到达质点到达 P P 点点两个惯性系的描述分别为两个惯性系的描述分别为：) , , , (tzyx) , , , (tzyx, 0 tt坐标原点重合。坐标原点重合。ttzzyyutxxttzzyyutxx逆变换逆变换正变换正变换yxxozzyutossPu任意时刻任意时刻t，两个描述的关，两个描述的关系为系为首先首先,tttt 有即：即：时间测量是绝对的，与参考系运动无关。时间测量是绝对的，与参考系运动无关。其次其次222222)LxyzxyzL （+（+（即：即：空间两点距离的测量是绝对的，与参考系运动无关。空间两点距离的

3、测量是绝对的，与参考系运动无关。 绝对的、真正的和数学的时间，就其本身而言，是永远绝对的、真正的和数学的时间，就其本身而言，是永远均匀地流逝着，与任何外界事物无关。均匀地流逝着，与任何外界事物无关。 绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关的，绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关的，它永远不动、永远不变。它永远不动、永远不变。 3 3、相对性原理相对性原理 年，年， 关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话 关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话舟行而不觉舟行而不觉伽利略描述的种种现象表明：伽利略描述的种种现象表

4、明： 一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于描写机械一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于描写机械运动的力学规律而言是完全等价的。运动的力学规律而言是完全等价的。或或 力学规律对一切惯性系都是等价的。力学规律对一切惯性系都是等价的。 若以若以 和和 分别表示同一质点在分别表示同一质点在 和和 系中的速度，伽利系中的速度，伽利略坐标变换式对时间略坐标变换式对时间 t 求导，并考虑到求导，并考虑到 ，有，有vvttSSzzyyxxuvvvvvv或或zzyyxxuvvvvvvu vv矢量式矢量式加速度变换：加速度变换：aa经典力学规律在伽利略变换下具有不变性。经典力学规律在伽利略变换下具有不变性。amF

5、S ：amFS ：即即: : 牛顿运动定律在伽利略变换下具有不变性牛顿运动定律在伽利略变换下具有不变性, ,换换言之言之, ,对任何惯性系对任何惯性系, ,牛顿力学规律有相同形式牛顿力学规律有相同形式 力学相对性原理力学相对性原理15.2 15.2 在宏观低速下在宏观低速下, ,伽利略变换与力学相对性原理是一致的伽利略变换与力学相对性原理是一致的, ,利利用牛顿力学规律和伽利略变换可以解决一切惯性系中的力学问用牛顿力学规律和伽利略变换可以解决一切惯性系中的力学问题。然而在涉及电磁现象题。然而在涉及电磁现象, ,尤其是光的传播问题时尤其是光的传播问题时, ,伽利略变换伽利略变换与力学相对性原理遇

6、到了不可克服的困难与力学相对性原理遇到了不可克服的困难. . 1919世纪中叶已形成了较严密的电磁场理论世纪中叶已形成了较严密的电磁场理论 麦克斯韦麦克斯韦( (Maxwell) )理论理论. .问题问题: 对不同的惯性系对不同的惯性系, ,电磁现象的基本规律形式是不是相同？电磁现象的基本规律形式是不是相同？但但Maxwell电磁理论给出真空中的光速为：电磁理论给出真空中的光速为： 这个问题中这个问题中, ,光速的值起决定性作用光速的值起决定性作用. .若以若以c c 表示在表示在S S系中测得系中测得的光在真空中的速度的光在真空中的速度, ,以以 表示在表示在 系测得的光速系测得的光速. .

7、按伽利略变按伽利略变换换, ,有有cSucc800109921.cm/s 因为因为 与参考系无关与参考系无关, ,因此因此c c 也应该与参考系无关也应该与参考系无关. .即在即在任何惯性系中测得的真空中的光速都应该是一样的。任何惯性系中测得的真空中的光速都应该是一样的。00, 这个结论后来被许多精确的实验这个结论后来被许多精确的实验( (最著名的实验是最著名的实验是18871887年年迈迈克尔逊克尔逊和和莫雷莫雷做的做的实验实验) )所证实。所证实。逊逊cuv的大小随的大小随 的方向而变化的方向而变化cv 检测检测“以太以太”(aether)设地球设地球(光源和干涉仪光源和干涉仪)相对于相对

8、于“以太以太”的速度为：的速度为：u光相对于地球的速度为光相对于地球的速度为 ，光相对于，光相对于“以太以太”的速度为的速度为 ，取，取以太为以太为S系，地球为系，地球为 系。由伽利略速度变换有系。由伽利略速度变换有vcS实验原理图实验原理图GSM1M2TGM1=GM2=luvucvucucvvcu光束（光束（1）来回）来回GM1的时间为：的时间为：cuv 沿沿 方向：方向：uc u v逆逆 方向：方向：u22cuv 沿垂直沿垂直 方向：方向：uGSM1M2Tu（2）（1）22212222222(1)(1)ucllddlutcucucucccGSM1M2Tu（2）（1） 两光线间存在光程差两光

9、线间存在光程差,T处应看到干涉条纹。将装置转动处应看到干涉条纹。将装置转动90度度,干涉条纹应移动干涉条纹应移动(预计预计0.37条条)。原以为按所设计的实验可观察到。原以为按所设计的实验可观察到条纹的移动，并指望由此判定地球的绝对运动，但反复实验条纹的移动，并指望由此判定地球的绝对运动，但反复实验,得得到到“零结果零结果”光束（光束（2）来回）来回GM2的时间为：的时间为：122222222222(1)(1)2llulutcccccu两时间之差为两时间之差为2221222322(1)(1)2lululuttccccc因此，两光束的因此，两光束的光程差光程差为为2122()luc ttc 克尔

10、逊克尔逊莫雷实验莫雷实验的零结果，说明的零结果，说明“以太以太”并不存在，光并不存在，光或电磁波的运动不服从伽利略变换。或电磁波的运动不服从伽利略变换。 爱因斯坦扬弃了以太假说和绝对参考系的想法，在前人各种爱因斯坦扬弃了以太假说和绝对参考系的想法，在前人各种实验的基础上，于实验的基础上，于1905年年发表了发表了论动体的电动力学论动体的电动力学这这篇著名的论文。他在论文中提出了如下两个基本假设，作为狭篇著名的论文。他在论文中提出了如下两个基本假设，作为狭义相对论的两条基本原理：义相对论的两条基本原理：（1 1）狭义相对性原理：）狭义相对性原理： （2 2) ) 光速不变原理：光速不变原理： 物

11、理定律在所有惯性系中有相同的数学形式。物理定律在所有惯性系中有相同的数学形式。即所有惯性系都是等价的。即所有惯性系都是等价的。 在所有的惯性系中在所有的惯性系中, ,真空中的光速恒为真空中的光速恒为c c , ,与光与光源或观察者的运动无关。源或观察者的运动无关。 。：既然光学、电磁学与：既然光学、电磁学与力学是统一的，那么光速（电磁波速）恒定的结论可以应用到力力学是统一的，那么光速（电磁波速）恒定的结论可以应用到力学中。学中。两假设两假设的的正确正确性性，只能通过从假设出发推理得到的结论来判断；，只能通过从假设出发推理得到的结论来判断；2 2、异地校钟：异地校钟： 同时接收到同时接收到光信号

12、，光信号， 处的处的时钟得到校准。时钟得到校准。AB、AB、AB、 xouC SAB SC xouC SAB SC 同时接收到同时接收到光信号。光信号。AB、 xouC SAB SCSAB：“光速不变原理的直接结果光速不变原理的直接结果3 3、BA,x xouSSdCBAMoSCMSCMC2222()2u tdltcc utouSSdCCMo,x xll2dtc 22211ttttuc 22211ttttuc 21,1uctStStt 121,1uc21 ttt * 时间延缓是一种相对论效应。时间延缓是一种相对论效应。 固有时固有时是由静止在是由静止在“当地当地”的同一只钟测量的时间。的同一只

13、钟测量的时间。* 当速度当速度u远远小于远远小于c 时，时， 1122cutt 注意注意: 所以所以, , 牛顿的绝对时间概念实际上是相对论时间概念牛顿的绝对时间概念实际上是相对论时间概念在参考系的相对速度远远小于光速时的近似。在参考系的相对速度远远小于光速时的近似。相对论时间膨胀公式相对论时间膨胀公式3 3、 测量物体的长度就是用一把尺去和物体作比较测量物体的长度就是用一把尺去和物体作比较, ,看物体的两看物体的两端与尺上的哪两点重合。这两次重合在物体相对测量者静止时端与尺上的哪两点重合。这两次重合在物体相对测量者静止时, , 可在不同时刻分别读出。这样测量所得的结果是物体的静止长可在不同时

14、刻分别读出。这样测量所得的结果是物体的静止长度，也称度，也称“固有长度固有长度”。 当物体相对测量者运动时，如何测量物体的长度？当物体相对测量者运动时，如何测量物体的长度？ 经典力学中经典力学中: : 两点之间的距离是绝对的两点之间的距离是绝对的, ,与参考系运动无关与参考系运动无关; ; 下面讨论相对论如何看待长度的测量。下面讨论相对论如何看待长度的测量。S,x xouSS1xBAo2x一刚性棒静止在一刚性棒静止在 系的系的 轴上轴上Sx光线往返两事件的时间间隔为光线往返两事件的时间间隔为12LLtttcucu 棒的一端棒的一端A固定一光源和接收固定一光源和接收器，棒的另一端器，棒的另一端B

15、固定一反射固定一反射镜。镜。 设设S S系测得棒长为系测得棒长为L，上述两事件的时间间隔分别为上述两事件的时间间隔分别为 和和1t2t11c tLu t 22c tLu t 221(1)2uLc tc,x xouSS1xBAo2x显然，棒的测量长度显然，棒的测量长度L与相对运动的速度与相对运动的速度u有关。有关。12LLtttcucu 22(1)2cuLtc202122tcuLctc 设设 系的测量者也通过光的传播测棒的长度，若棒的静止长度系的测量者也通过光的传播测棒的长度，若棒的静止长度为为 ，相对于棒静止的测量，光线往返两事件的时间相同。，相对于棒静止的测量，光线往返两事件的时间相同。S0

16、L2200211uLLLc2201/LLuc 把棒相对测量者静止时测得的长度叫棒的把棒相对测量者静止时测得的长度叫棒的固有长度（原固有长度（原长）长）。式中的。式中的 就是固有长度。就是固有长度。固有长度最长。固有长度最长。0L 当棒相对测量者运动时当棒相对测量者运动时, , 测量者测到棒的长度测量者测到棒的长度 比棒的固有比棒的固有长度长度 短。短。0LLL称为棒的称为棒的即即 S 系观察者测得相对他系观察者测得相对他运动的棒沿运动方向收缩了。（运动的棒沿运动方向收缩了。（）0LL* 长度收缩效应只发生在运动方向上长度收缩效应只发生在运动方向上;* 长度测量也是相对的长度测量也是相对的;*

17、当速度远远小于当速度远远小于c 时，两系测量结果相同。时，两系测量结果相同。注意注意:相对论作业（相对论作业（1 1）P173175页页 选选3，5，计，计17，20 yxxozzyossPu惯性系相对惯性系相对S以速度以速度u沿沿x正向运动正向运动S之间的变换关系为：之间的变换关系为：0tt 时时, ,两两坐标系原点重合。坐标系原点重合。系测得系测得P点的时空坐标为点的时空坐标为：S) , , , (tzyx分别在分别在 和和S S系中测量发生在系中测量发生在P P 点的同一物理事件。点的同一物理事件。S) , , , (tzyx系测得系测得P点的时空坐标为点的时空坐标为：Syxxozzyo

18、ssPu222221/ 1/xutxucyyzzutxctuc 222221/ 1/xutxucyyzzutxctuc洛伦兹坐标变换洛伦兹坐标变换表明表明:洛伦兹坐标变换可简写成洛伦兹坐标变换可简写成)( )(2xcuttzzyyutxx)( )(2xcuttzzyytuxx(1) 时间与空间不再独立时间与空间不再独立, 而是相互关联。而是相互关联。即即 伽利略变换是洛伦兹变换在低速下的极限。伽利略变换是洛伦兹变换在低速下的极限。(2) 低速情况下低速情况下, 即即 时，时， 洛伦兹变换洛伦兹变换 伽利略变换。伽利略变换。cu 1,o211yxxozzyossPu,yyzz 在一个惯性系中测量

19、一物理事件，其空时坐标应是唯一在一个惯性系中测量一物理事件，其空时坐标应是唯一的，在不同惯性系中测量同一物理事件，其空时坐标应是一的，在不同惯性系中测量同一物理事件，其空时坐标应是一一对应的，变换关系应是线性的，可一般表示为：一对应的，变换关系应是线性的，可一般表示为：0tt 时时, ,两两坐标系原点重合。坐标系原点重合。分别在分别在 和和S S系中测量发生在系中测量发生在P P 点的同一物理事件。得两组点的同一物理事件。得两组时时空坐标空坐标S因两坐标系仅在因两坐标系仅在 x 方向有相对运动，显然有方向有相对运动，显然有( , , , )( , , , )xy z tx y zt 和( ,

20、)x t 下面确定下面确定 与与 之间的变换关系之间的变换关系( , )x tyxxozzyossPu12xa xa t 12tb xb t 下面确定系数下面确定系数 和和12,b b12,a axut0 x o而而S系在系在t 时刻测得时刻测得 的坐标为的坐标为对对“ ”点，点， 系在任意系在任意 时时刻测得的坐标为刻测得的坐标为toS上两式代入，可得上两式代入，可得 ， 式化为式化为21aau 1()xa xut 设在设在 时刻，从时刻，从o o（或）发出一光信号，一段极短的（或）发出一光信号，一段极短的时间后到达时间后到达 P P 点。由光速不变原理，有点。由光速不变原理，有o0tt22

21、222 2OPxyzc t222222O Pxyzc t22 2222xc txc t上式右边展开，同变量的项合并，得上式右边展开，同变量的项合并，得比较两边同类项的系数，有比较两边同类项的系数，有22222 2OPxyzc t222222O Pxyzc t上两式相减，得上两式相减，得22 22222112()()xc taxutc b xb t、两式代入上式，得、两式代入上式，得22 2222222222221111 212()(22)()xc tac bxa uc bb xta uc b t222112211 2222221210ac ba uc bba uc bc yxxozzyossP

22、u222112211 2222221210ac ba uc bba uc bc 解此方程组，可得解此方程组，可得122211abuc12221ubcuc ,yy zz将将 的值代回的值代回、两、两式，并注意式，并注意 ，即，即得洛伦兹坐标变换式得洛伦兹坐标变换式112,a b byxxozzyossPu2() ()xxutyyzzuttxc 21221121222()()()uuuttttxtxxxccc S在在 系中同时不同地发生的两事件，在系中同时不同地发生的两事件，在S系中测量，两事系中测量，两事件的时间间隔件的时间间隔 ，由洛伦兹变换有，由洛伦兹变换有21ttt 因因 ，故在，故在S系

23、中并不同时。只有既同时又同地发生系中并不同时。只有既同时又同地发生的两事件在另一惯性系中测量才是同时的，同时具有相对性。的两事件在另一惯性系中测量才是同时的，同时具有相对性。210 xx例例1 S 系中两事件同时发生在系中两事件同时发生在x轴上相距轴上相距 m 的的两点，在两点，在 系中测得两事件发生的地点相距系中测得两事件发生的地点相距 m，求求 系中测得两事件的时间间隔系中测得两事件的时间间隔 。200012xx100012 xxSS12ttt例例1 S 系中两事件同时发生在系中两事件同时发生在x轴上相距轴上相距 m 的的两点，在两点，在 系中测得两事件发生的地点相距系中测得两事件发生的地

24、点相距 m，求求 系中测得两事件的时间间隔系中测得两事件的时间间隔 。200012xx100012 xxSS12ttt解：解：已知已知1212,m1000ttxxxm200012xxx12ttt求求)(122xxcu)()(12122212xcutxcutttt由洛伦兹变换由洛伦兹变换)()()(12112212xxutxutxxxx2211cu式中式中cu23由第二式可解得由第二式可解得代入第一式得代入第一式得s1077. 5612ttt负号表示负号表示 S 系中后方的那一事件先发生系中后方的那一事件先发生.210()ttt)()(212212xcutxcutttt 系中同地但不同时发生的两

25、事件，在系中同地但不同时发生的两事件，在S S系中测量此两事系中测量此两事件的时间间隔，件的时间间隔，由洛伦兹变换有由洛伦兹变换有S 每个观察者都测得相对他运动着的时钟变慢了，即动种每个观察者都测得相对他运动着的时钟变慢了，即动种变慢。变慢。210ttt 固有时。固有时。测量时大于固有时，运动的时钟测量时大于固有时，运动的时钟变慢了。变慢了。. 1684.3 104.550.999 3 10365 24 3600st 年v按地球上的时钟计算，飞船飞到按地球上的时钟计算，飞船飞到 星所需时间为星所需时间为解：解：: : 哪个时间为固有时？哪个时间为固有时？若用飞船上的钟测量，飞船飞到若用飞船上的

26、钟测量，飞船飞到 星所需时间为星所需时间为121 0.9994.550.203tt 年正是时间膨胀效应使得在人的有生之年进行星际航行成为可能。正是时间膨胀效应使得在人的有生之年进行星际航行成为可能。Sy1x2x1x2xuSxSxy一刚性棒静止在一刚性棒静止在 系的系的 轴上轴上SxS S系中的观察者必须同时系中的观察者必须同时 测得棒两端点的坐标测得棒两端点的坐标, ,设为设为 和和 ，则，则S S系测得棒的长度为系测得棒的长度为1x)(12tt 2x12xxl 系中的观察者测得棒长为系中的观察者测得棒长为S120 xxll 和和 的关系由洛伦兹变换得的关系由洛伦兹变换得0l)( ) (112

27、2120utxutxxxllxx) (1202200/1lculll即：即：即即 运动的棒沿运动方向收缩了。运动的棒沿运动方向收缩了。长度的测量与被测物体相对测量者的运动有关，每一长度的测量与被测物体相对测量者的运动有关，每一个观察者都测得相对他运动的物体沿运动方向缩短了。个观察者都测得相对他运动的物体沿运动方向缩短了。02200/1lculll即：即：静系中静系中 子的平均寿命为子的平均寿命为 = 2.2 10-6 s 。当它的速度为当它的速度为 u = 0.9966c 时时, 通过的平均距离可达通过的平均距离可达 8 km。试解释这一现象。试解释这一现象。经典计算经典计算m 660102

28、. 210368uL相对论计算相对论计算s 109 .269966. 01102 . 2162622cutm 108109 .26103368tuL22yxlllm79. 0cos1222culssxxu例例4 一长为一长为1m 的棒，相对于的棒，相对于S 系静止并与系静止并与 轴夹轴夹 = 45 问：在问：在S 系的观察者来看，此棒的长度以及它与系的观察者来看，此棒的长度以及它与 x 轴的夹角轴的夹角为多少？（已知为多少？（已知 ）23cu 21cossintan22cullllxy2763ssxxyxaaS 2aaaayx2222，例例5 S系中有一静止的正方形，面积为系中有一静止的正方形，面积为100cm2。 系以系以0.8c的速度沿正方形的对角线匀速运动，求的速度沿正方形的对角线匀速运动，求 系中观察者测得系中观察者测得的该图形的面积。的该图形的面积。SSxyoaaSu解：解：设设S S系中测得正方形的边长系中测得正方形的边长为为a，以对角线为，以对角线为x轴的正方轴的正方向（如图）向（如图）则边长在坐标轴上投影的大小则边长在坐标轴上投影的大小为：为：S系中的面积可表示为：系中的面积可表示为：在在 系中系中Sacuaaxx2222601.22cm)(606 . 0