三垂线定理及其逆定理53642

1、三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理就是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质后进行学习的。它就是 线面垂直性质的延伸。 利用三垂线定理及其逆定理 ,可将空间两直线垂直与平面两直线垂 直进行互相转化 ,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。 所以在立体几何中有核 心定理的作用。【课程目标】一 . 知识与技能目标 理解与掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明与应用。二 . 过程与方法目标1 通过对定理的学习 , 培养学生观察、猜测与论证数学问题的能力。三.情感、态度与价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力与相互转化的思想。【教学重点与难点】一 .教学重点定理的理解与运用二. 教学难

2、点如何在具体图形中找出适合三垂线定理或逆定理 的直线与平面。【教学方法】以教师为主导 ,以学生为主体 ,以能力开展为目标 ,从学生的认识规律出发进行启发式教学 运用小组学习合作探究。【教学过程】一 复习引入 :1. 复习提问1、回忆直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念;设计意图 因为平面的垂线、平面的斜线及射影就是三垂线定理的根底,直线与平面垂直的判定与性质又就是证明三垂线定理的根本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新作好新课的铺垫。 2、有意设疑 ,引入新课。平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不就是与每一条直线都不垂直。 那么平面的斜线与

3、平面内的直线在什么情况下就是垂直 的呢？学生思考后 ,我再引导学生利用三角板与直尺在桌面上搭建模型如图 ,使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜测发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。启发学生把猜测、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：平面内的一条直线如果与平面的斜线的射影垂直，那么就与平面的这条斜线垂直板书设计意图为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通 过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜测，发现新的知识，培养学生的探索能力二、新课讲授：由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。P0丄a ,PA与a斜交于点 A,AO

4、丄a，问PA与a所成的角显然P0丄a 一 PO aa 平面POAPA 平面POAa ' OA aPO 0A=0即:PA与a所成的角为900三垂线定理来源于“线面垂直，抓住平面a的垂线 PO，才就是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜测逆命题的真假本质很容易得出三垂线定理的逆定理。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线垂直，那么它与这条斜线在平面内的射线垂直。板书设计意图1证明命题。通过对猜测得到的命题的论证 ，加深学生对命题内容的认识 ，使学生 的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结 ，帮助学 生理清证明的根本思路，培养学

5、生相互转化的数学思想。 2、利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习与理解。3利用列表比照教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解与记忆。剖析命题1、三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就就是线面垂直的定义。2、通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结：一找垂面：即先确定平面及平面的垂线 :二找斜线:接着确定平面的斜线：三定射影：由上面的垂足与斜足确定斜线的射影；四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。板书设计意图为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定根

6、底，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。三讲解例题例1、：点0就是ABC的垂心，P0平面ABC,垂足为O,求证：PA BC证明：点0就是ABC的垂心, AD BC又P0 平面ABC ,垂足为0PAp 平面 ABC A所以，由三垂线定理知，PA BC.，那么这点在平面内的射影在这例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 个角的平分线上：/ BAC在 a 内,P ,PE AB于 E,PF AC于 F 且 PE=PF,PO 求证:0在/ BAC的平分线上即/ BAO=Z CAO 证明:连接OE,OF/ P0 EO,FO分别为PE,PF在上的射影/ PE=PF OE=OF / PE AB,

7、PF AC OE AB,OF AC三垂线定理的逆定理 0到/ BAC两边距离相等PABO DC已 知BAC在平 面内，占八、P,PEAB, PFAC,P°,垂足分别为E,F,O,PEPF5求证:BA0)CA0.证明：/PE AB.PFAC,P0 AB0E, AC0F三垂线定理逆定理.PEPF, PAPA5 Rt PAE Rt A0F5 AEAF ,又.A0A0 Rt A0E Rt5 * *A0Ff IC 0在/ BAC的平分线上 变式：BA0 CA0推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影就是这个角的平分线所在直线例3、在三棱

8、锥 P-ABC中，三条侧棱PA,PB,P两两垂直,H就是 ABC的垂心求证：1PH底面ABC 2 ABC就是锐角三角形、AHEC证明：1略设AH与直线BC的交点为E连接PE由(1)知PH底面ABC AE为PE在平面 ABC的射影，由三垂线定理:PE BC PB PC即厶BPC就是直角三角形,BC为斜边 E在BC边上 由于AE BC故BZ C都就是锐角同理可证：Z A也就是锐角ABC为锐角三角形设计意图(为了培养学生灵活应用定理的能力 ，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选了三 条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅出地引导学 生寻找证题的根本思路，确定适应定

9、理的“四线一面 ，然后，由学生板书解答后，我再较正学生 的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力与逻辑推理能力。)四小结：知识：三垂线定理以及逆定理问题:平面中斜线与射影的垂直问题方法：空间垂直与平面垂直互相转化思想：转化思想五作业：1、边长为a的正六边形ABCDEF在平面内，PA1 ，PA=a那么P到CD的距离为_，P至U BC的距离为、2、AC就是平面 的斜线，且AO=a，AO与 成60o角，0C ，AAZ± 于A'，Z A OC=45o,那么A到直线OC的距离就是，Z AOC的余弦值就是.71422a，a a,答案：1、2; 2、443、如图，ABCD就是矩形，AB=a，AD= b，PA平面ABCD