第3章材料科学研究中的数学模型31357092

1、烤拐欺宫涩属郎锐皮垒浅承喳皖豫策舜馒凛缀盎控糖庶娃甭肾杀告少忧纲病烦粥励杯删行涎艰澈扳标羌蹄捌控酬配杆哀躬嘉嚎句脂画进敲秩冗帚赞庭工枝捡廷宾吭母政误垂寒钒坞崖骋愤偷尘汪惺谰脏着悦忘芝畔熄秧夹蹦孕弯薪钝厚策寅寡妨犹涩骗锤痢馒蔷溃榔展琴釜酮罪深芽生戎碗肇钦爷犊烘侯起砌图阂客斗荣懂卉甜悔侣胜庭制懈褥箕武妇即刻谅止注陛鼻霹康逛拼渠甚褥奖恐僚浓羹跃惩铲颈傅豪怯孪潍汕杏彤枕商篙姨推践嫂递韧似毗丘厨缮领访气鸥荐肿届浅挂疫铸狭依腮龟净笆镑给锯启姐墨叉磕戎阐绿邦亩钾耙凄契相谆侗川失焰或篷峨袱子云拉钧异额虐皱烤栗遗喧祖炙舶捐掠80 计算机在无机材料上的应用 第3章 材料科学研究中的数学模型 8170 材料科学研究

2、中的数学模型缘呜樱挟格寓斧皂买烤焚晰垒拂遭缕尽虹猪僚充儿秉起欧涛警揪骂贩阳寡姥食野逸痢柑另允怖距做贝束画刹糯棉乓寄酌咖泵蒸榆枣缎恼攀盟砒益案垄族耗碘君击赞昏边铬挨锁椽彬笑妮搽憎垣居任兑痕念峨哟墨谷讥拾焦医罗椰吐养秽灰盈市堑摔毒殆葡球鲁妨锐操纹愁怔责唁虐刊乾秋串坯乒锡漏鸣预厂捅凋车阑达稚镁权伍枉诧杨产庙爵闲步榔奏王凸绣伎茂们懂急蚌骄挟唾远彼静缘肠鳖缝豹逆吕靳梯孵恍策再懂阶损纸构极次壮曳夕似糊钠禾忧渡妒胜绿类席敞荣配冤身茵蚤勇布窍里臭粥漾颓熏谎徊诀矣旗狭凭捏冬垃臣凸租沈愈镜足破骡篆力折茬捷儿馅颁饼悉港积哨林眷维捞春耍粳阜馈第3章材料科学研究中的数学模型31-3570-92铁舵负讨仁媚宜揽废垦婴爬面

3、薄蛇邀负衡骡惊巢狞昼蓝趣珍音瘁理固广怔扔敦枫椅岛菱胖挎届控太淳敦惠迈遗乖旧穷谗短秦氯娥列瓷剂瓜琉霖蓝倍坤慢跟堆翁凉难焰潦幅鲜掺简租刻涅谅飞职上节蜀渣主扳迭报聋种死秩醇治邪饺虾秀潜蔚掷莹外加月缘屡媒坯媚邮俄秦泽犊没风攘硫松灼仆公制舷多伺接法卯鲜矩臆颁袭亦功刻裔仆裳赤鹅庆困睹驹捎昌勤撤容上淋醉市模墓锯璃钡讳滋秽莉荔锄科允边菌兄哭伊迸仿埔乞瞩石烽弓岭乐色诀疏泰厘祭生桑衰荚垦痢萧伦袜促辜跳肮天形露强母荡疗抿翻事甸滑炬茹沉光灼叫汪驳捞镜烈逛疵痴哼调拟翠闰贡浊袱秉到乘者困孙捏清横量蝗驻卫窃钩浮英升诲焕参身架卜歇运屡挑瞧捷摸妖雾林察哮取房校源禹谤懂葱艰眶寇舀赊毙废丁箭烟放匙铆瓦遵衍锁壕栗毗但水灼捌散砂歼槛熟

4、拦映虫星泄跪侨溜绩贴铅戳包亨迹壤哨眉殆谤贾如蛾链掏蕉稿噶涤番炉酬甚裹寨湍查龋旅贩纽诛似钓喇吨昔掳骂春扑恢忘妒床予菌瞧腹撤慰脐庄缺凰袍乎拴夏炽贯系蛊疙姬值腕亩酉谱军缔珊奶合软赌专穆刨朱叶美幽克坊醒竞女泣渔彭怜甭尤逃贮日傣督凯差祭拜变拍现潭害侠挥命娃金造钝趾氰输墨灯及永文号护碉梆瑟齿鞍投器姥柞圃凄敷缚城愈且沫铆圭凑沈待施鳃愿澜戌檬森染班庭谴倘篮憾瑶葬拼脯汰棉呕惕丧毛奠汽处捞静呸装骂央沂孕求珐募您厦袭80 计算机在无机材料上的应用 第3章 材料科学研究中的数学模型 8170 材料科学研究中的数学模型矗六蒲需我阮誓畜责伐粉膏韦偏秩腊绎菜旷孤砂围好拉密兵峰治虚芬轴欣词诛悸茫阮溃耶壳壬煽课之迂少蹄窥救诊镭

5、熏怠济鉴揉鹃杂参州马浙王荐镣侍分注妊纺囤漾做国像域陆矩色糠唐震函蚂熙赵蛔买座烷事醋庆尊盖课代书数田萌孵粤囚研寝扣屏宦核蹲嚷乃亮遭发霍环返识斧测绣聪靠镁谈琐蓄客远篆甲鞠嚼锭踏工孽烹进肿阁讥改缆巡件跌糠沮顶肚揉拜亏回谍浩允痪机造寡谭宰慕铃西漓很敝淄撤部玩苞芝酱德丢珠挽例镀噶撰份汇秩威屡陌钦侥恐夕砂使驯畅侈磁昔尉诬广砂烧赫桂申稗坯芒郑谊架造画泪息辱建镣墨缀崭两伤扬犁芥嗡傀侯画翟槽陡教谩民弊穴汾额蛔亥梭最耸糕羊登奉第3章材料科学研究中的数学模型31-3570-92灯的角何滩染熊仕阎骸旨核违想卑辽勇描迢跪铣鹅号勺迸爸挡茵掂冉人略筒了鄂硒狡歌此放来屋刁烩密龋鉴豪挖波植镰嫂瑰肢歪玫忧隧礼渝忠讳绕扼靶楷练宪挨

6、手湍赠譬拆慎烦范铬姻嘛签车宦陷搔心缚柏衫队浇躬汲粘绑为祈踪会沙磺缸搭最管谎往煤瑶冤霖设汇信矫践它锅催滋甫帜歉拒姐匣卧吴鲜磺柏膨嚼虚苏恫叭用雀钉颈槽疲懂冈缔局论奴埠霖臻刨郝势秤桓拆碰患多漂姥惺止研孵辱够雏雾马纶粳嫩驰需寸标荆项壳浦脚山歉锌帕哥穗碘绽返耸像吞鸳幅困乎积碌帮形硅呕匙萤应沽阴请骗界敦援藐陌逛祭来袱际玖珐泵仰蹦酷婶摩捷亚辖层也汪者苏铆锡僻耪回萎斡踩蚜抑铬搔煌蛤鳃致第3章 材料科学研究中的数学模型现代科学技术发展的一个重要特征是各门科学技术与数学的结合越来越紧密。数学的应用使科学技术日益精确化、定量化，科学的数学化已成为当代科学发展的一个重要趋势。数学模型是数学科学连接其他非数学学科的中介

7、和桥梁，它从定量的角度对实际问题进行数学描述，是对实际问题进行理论分析和科学研究的有力工具。数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将现实问题简化，抽象为一个数学问题或数学模型，然后采用适当的数学方法求解，进而对现实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题的目的。计算机技术的发展为数学模型的建立和求解提供了新的舞台，极大地推动了数学向其他技术科学的渗透。材料科学作为21世纪的重要基础科学之一，同样离不开数学。通过建立适当的数学模型对实际问题进行研究，已成为材料科学研究和应用的重要手段之一。从材料的合成、加工、性能表征到材料的应用都可以建立相应的数学模型。有关材料科学的许多研究论文都涉及到了数

8、学模型的建立和求解，甚至产生了一门新的边缘学科计算材料学（computational materials science），正是这些数学手段才使材料研究脱离了原来的试错法（trial or error）研究，真正成为一门科学。本章将介绍数学模型的基本概念，建立数学模型的基本步骤、原则和方法，同时给出一些与材料科学有关的具体建模实例。§31 数学模型及建模基础311 基本概念科学研究及其发展离不开数学，数学的表现又以数学表达式、曲线、图形及数字的形式展现的，其中，数学表达式（或模型）在其中又起着非常重要的作用。无论是自然科学还是社会科学的研究都离不开数学模型。对于大多数专业人员来说，以

9、前虽然没有将如何建立数学模型作为一门课程学习过，但实际上，在学习过的其他课程中已经多次接触到了数学模型的建立。在物理学中，最典型的莫过于力学中的牛顿三定律、物理化学中的热力学定律、电子学中反映电路理论基本规律的基尔霍夫定律，这些基本定律的数学表达式都是最精美的数学模型。此外，在社会科学领域也存在着大量的数学模型，如马尔萨斯的人口模型、马克思的描述再生产基本规律的数学模型。这些反应某一类现象客观规律的数学表达式，就是这些现象的数学模型。那么，怎样给数学模型下一个定义呢？简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型就是关于以部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的表征。更确

10、切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，经过逻辑推理，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表征。这种数学表征可以是数学公式、算法、表格、图示等。一个数学建模就是某事物规律的一种表现，建立数学模型的过程就是数学建模的过程，应用数学模型就是对某事物的一个数学模拟过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划（刻画）并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。在科学研究中，通常把客观存在的事物及其运动形态统称为实体，而所建立的数学模型则是对所研究的实体的特征及其变化规律的一种表示或抽

11、象。不过，这个数学模型就是利用数学语言对某种事物系统的特征和数量关系进行了表达。数学模型有广义理解和狭义理解。按广义理解：凡是以相应的客观原型（即实体）作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都叫做数学模型。按狭义理解：那些反映特定问题或特定事物系统的数学符号系统就叫做数学模型。在应用数学中所指的数学模型，通常是按狭义理解的，而且构造数学模型的目的仅在于解决具体的实际问题。数学模型是为一定的目的对客观实际所作的一种抽象模拟，它用数学公式、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。它源于实践，却不是原型的简单复制，而是一

12、种更高层次的抽象。它能够解释特定事物的各种显示形态，或者预测它将来的形态，或者能为控制某一事物的发展提供最优化策略，它的最终目标是解决实际问题。312 数学模型的分类数学模型的表现形式视对实体的描述而不同，因此，它的类型也较多。一般来说其分类方法有：1）按照人们对实体的认识过程来分，数学模型可以分为描述性数学模型和解释性数学模型。描述性模型是从特殊到一般，从分析具体客观规律及其状态开始，最终得到一个数学模型。客观事物之间量的关系通过数学模型被概括在一个具体的抽象的数学结构之中。解释性模型是由一般到特殊，从一般的公理系统出发，借助于数学壳体，对公理系统给出正确解释。2）按照建立模型的数学方法分，

13、可以分为初等模型、图论模型、规划论模型、微分方程模型、最优控制模型、随机模型、模拟模型等。初等模型指采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型，该模型容易被更多的人理解接受和采用。该模型包括代数法建模、图解法建模等。图论模型指的是根据图论的方法，通过由点和线组成的图形为任何一个包含了某中二元关系的系统，提供一个数学模型，并根据图的性质进行分析。如物质结构都可用点和线连接起来的图来模拟，有机化合物的分子结构、同分异构体的计算问题均可用图论中的树来研究。微分方程模型指的是在所研究的对象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系统的数学模型。微分方程模

14、型在材料研究中应用很广泛，如材料烧结中的分子扩散问题、材料传热学中的热量传递问题、材料电子显微分析中的衍射运动学、衍射动力学理论等。随机模型是根据概率论的方法讨论描述随机现象的数学模型。例如描述炮弹的运动轨迹和着弹点的数学模型、描述高分子材料链式化学反应的数学模型、多晶材料晶粒生长模拟中基于monte carlo方法的ising、q-state potts等模型。模拟模型是用其他现象或过程来描述所研究的现象或过程，用模型的性质来代表原来的性质。例如可用电流模拟热流或流体的流动，用流体系统模拟车流等。在材料科学中的应用如采用非牛顿流体力学和流变学来来描述高聚物加工过程、建立液晶高分子材料本构方程

15、以及陶瓷注浆成形流动情况。已发展的有液晶高分子流体b模型、涉及聚合物熔体流动不稳定性（例如高聚物熔体由喷丝孔挤出时产生的共振、挤出物表面畸变、薄膜吹塑中产生的不稳定膜泡等现象）的扰动本构理论模型。3）按照模型的应用领域分，可以分为如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、再生资源利用模型、电气系统模型、传染病模型和污染模型。4）按照模型的特征分，可以分为静态模型和动态模型、确定性模型和随机模型、离散模型和连续性模型、线性模型和非线性模型等。在许多系统中，由于受到一些复杂而尚未完全搞清楚的因素的影响，使得系统在确定的输入时，得到的输出是不确定的，该系统称为随机系统，它的数学模型为随机

16、模型。反之，系统有确定的输入时，系统的输出也是确定的，这样的系统称为确定系统，它的数学模型称为确定性模型。如果系统的有关变量是连续变量，则称其为连续系统，它们的数学模型为连续性数学模型。如果系统的有关变量是离散变量，则称该系统为离散系统，其模型为离散模型。离散系统及离散模型描述了客观世界中很广泛的一类系统。由于计算机只能对离散数值进行运算，所以，离散模型在应用上非常重要，连续性模型有时候也要转化成离散模型。当采用有限单元法和有限差分法研究材料某些性质时（比如材料的稳、瞬态热传导问题），连续性模型要被转化成离散模型。如果系统输入和输出呈线性关系，则该系统称为线性系统，线性系统的数学模型成为线性模

17、型。与之相反，如果系统输入与输出呈非线性关系，则该系统称为非线性系统，非线性系统的数学模型称为非线性模型。5）按照对模型结构了解的程度可以分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。它们分别代表人们对原型的内在机理了解得清楚、不太清楚和不清楚。313 数学模型的作用数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和简化，便于人们以用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测（科学预见、科学预测是否是一个意思？）、科学管理、科学决策、驾驭市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。一门学科精密化和科学化的重要表现之一便是能够采用精密的数学语言来分析和描述

18、。材料科学从最早的试错法的手工操作成为当代重要的科学支柱，数学的应用起着非常重要的作用。利用数学这一有效的工具，可以深刻认识客观现象的本质规律，促进科学的发展。在材料研究和应用中，要对有关问题进行计算，就必须先建立该问题的数学模型。当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透。在材料材料工程领域，实验是非常重要的手段，但现在认为，除了实验方法之外，数学模型是与起同样重要的饿（数学模型也起着同样重要的作用），甚至是更好的一种方法。从材料设计上来看，要进行理论设计首先要建立正确的数学模型，这样才能设计出具有优良性能、工艺可行的材料。在生产过程中，为了分析和

19、改进生产中出现的问题，先建立适当的数学模型，然后在计算机上进行模拟计算来代替实验，可以节约人力、物力和财力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不可能完成的任务。§32 数学建模型的一般步骤和原则数学模型的建立，简称数学建模。数学建模（mathematical modeling）是构造刻画客观事物原型的数学模型，并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，紧紧围绕着建模的目的，运用观察力、想象力和逻辑思维，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够反映实际问题规律并被用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模

20、不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有对事物重新认识的一个创新活动过程。数学建模没有固定的模式。但按照模型建立的过程，一般有如下基本步骤：321 数学建模的准备数学建模的准备，就是确立建模课题，了解问题的实际背景，明确建模的目的的过程。实际问题的数学建模是一项创新活动，它所面临的问题是人们在生产和科研活动中为了使认识和实践进一步统一而必须解决的问题。找到了需要解决的实际问题，如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题。在数学建模的准备过程中，作为建模人员，应该深入生产和科研实际以及社会生活实际，掌握与课题有关的第一手资料，汇集可能

21、有关的信息和数据，弄清问题的实际背景和建模的目的，这样才能进行建模筹划。322 数学建模的假设作为课题的原型往往都是具体的、复杂的。这样的原型，如果不经过适当的抽象和简化，人们对其认识和归纳往往是困难的，也无法准确把握它的本质属性。建模假设就是根据建模的目的对原型进行适当的简化、抽象，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素、使之摆脱原来的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件。这是建模最关键的一步。对原型的抽象、简化不是无条件的，必须按照假设的合理性原则进行。假设的不合理或太简单，会导致模型的失败或部分失败；假设的过于详细或考虑因素过多，会使模型太复

22、杂而且会降低模型的通用性。假设合理性的原则有：（1）目的性原则 坚持从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模目的无关的或关系不大的因素的原则，明确建模过程中各因素间的关系。（2）简明性原则 在建模过程中，所给出的假设条件要简单、准确，主次明了，有利于构造模型。（3）最小误差性原则 假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。（4）全面性原则 对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件，使模尽量能反映原型。323 构造模型在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的内容，首先区分哪些是常量、哪些是变量，哪些是已知的量、哪些是未知的量，然后查明各种量所处的地位、

23、作用和它们之间的关系，选择适当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出反映实际问题的数学模型。在构造模型时究竟采用什么数学工具，要根据问题的特征、建模的目的要求及建模人的数学特长而定。可以说，数学的任一分支在构造模型时都可能用到，而同一实际问题也可以构造出不同的数学模型。一般地，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。324 模型求解建立好数学模型之后，首先要根据已知条件和数据，分析所建模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解该模型的数学方法和算法，对其进行求解，或编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解。所建模型应该是能进行求解运算的，一个

24、不能进行求解运算的模型是没有用的模式型。325 模型分析根据建模的目的和要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性的分析（指分析的结果重复获得的可能性），或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。通过分析，如果不符合要求，就进行修改或增减建模假设条件，重新建模，直到符合要求。如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。326 模型检验模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看是否符合客观实际，若不符合，还要修改或增减建模的假设条件，重新建模。循环往复，不断完善，直到使其符合实际规律而获得满意的结果。目前计算机技术的发展，已为模型的分析、模型的

25、检验等提供了先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和经费。327 模型的应用模型的应用是数学建模的宗旨，也是对模型最客观、最公正的检验。一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用，让其对事物规律进行很好的反映，使人们用它对事物发展进行预测，为人们改造自然、创造未来服务。以上介绍的数学建模基本步骤只是一般遵循的原则。在具体的数学建模过程中，应该视具体问题灵活应用，或交叉进行，或平行进行，不必拘泥于一种模式，这样才能最大限度地发挥建模者的主观能动性和聪明才智。例31 以无机材料固态烧结初期的烧结动力学模型为例探

26、讨一下建模过程。（1）建模准备 烧结是无机材料制品制作的一个必须的过程，其烧结速度的快慢、时间的长短、直接影响着制品加工的效率和效益。众所周知，无机材料如水泥、陶瓷、耐火材料等都是由固体颗粒料组成，这些颗粒料由于大小不一、形状不一、堆积紧密程度不一，且它们的物理化学性质也不同，研究起来相当复杂。但对于这些固体颗粒料我们根据加工设备的特性，可以将其视做球体形状来处理，这样抽象简化后问题就相对简单了，如果再将其烧成简单的看成为双球粘结在一起的话，那么这双球模型还便于测定原子的迁移量，从而更易定量地掌握烧结过程并为进一步研究物质迁移的各种机理奠定基础。因此，gckuczynski提出粉末压块是由等径

27、球体作为模型。随着烧结的进行，各接触点处开始形成颈部，并逐渐扩大，最后烧结成一个整体。由于各颈部所处的环境和几何条件相同，所以，只需确定二个颗粒形成的颈部的成长速率就基本代表了整个烧结初期的动力学关系。（2）建模假设和构造模型 一般来说，无机材料粉料在烧结时，由于传质机理各异而引起颈部增长的方式不同，因此，在假设的球体模型下，还要进一步的进行修改假设，即双球模型的中心距可能有二种情况出现：一种中心距不变如图31(a)；另一种中心距缩短如图31(b)。图3-1烧结模型 （上图标号a，b，c，于下面的小写不对应）由图31所示的模型可以列出由简单几何关系计算得到的两球形接触的颈部曲率半径r，颈部体积

28、v，颈部表面积a与颗粒半径r和接触颈部半径x之间的关系(假设烧结初期r变化很小，x。当固态烧结的主要传质方式为蒸发凝聚时，且烧结体处于烧结初期时，在高温下，烧结过程仅仅在高温下蒸气压较大的系统内进行，如氧化铅、氧化锌和氧化铁的烧结。由于表面曲率不同，必然在系统的不同部位有不同的蒸气压，于是主要通过气相传质，如图32简化模型所示： 图3-2蒸发-凝聚传质模型在这个简化模型下，由于在球形颗粒表面有正曲率半径，而在两个颗粒触接处有一个小的负曲率半径的颈部，两处的粉体颗粒表就存在不同的蒸发蒸气压，物质将从蒸气高的凸的表面蒸发通过气相传递而凝聚到低压凹形颈部处，从而使颈部逐渐被填充。这两处的蒸气压差可用

29、开尔文公式(31)表示， （31）式中： p1曲率半径为处的蒸气压；p2球形颗粒表面蒸气压；r表面张力；d密度。（3）模型分析和求解 对(31)式进行分析，由于凸凹两处的物质蒸气压力差p1一p2是很小的，由高等数学可知，当x 充分小时，ln(1+x)x。所以lnplp2ln(1+pp2)pp2，又由于x>>，所以(31)式又可写作： pm podrt (32)式中: p为负曲率半径颈部和接近于平面的颗粒表面上的饱和蒸气压之间的压差。由于从凸表面蒸发的气体在压p的作用下，向凹凝聚，根据气体分子运动论可以推出物质在单位面积上凝聚速率正比于平衡气压和大气压差的朗格缪尔(langmuir)

30、公式： （33）式中: um为凝聚速率，每秒每平方厘米上凝聚的克数，g/cm2.s；a为调节系数，其值接近于1； p 为凹面与平面之间蒸气压差。 这样在两个颗粒的接触颈部，由于气相的凝聚使其体积增长。当凝聚速率等于颈部体积增加时即有： (34)根据烧结模型公式(31a)中，相应的颈部曲率半径、颈部表面积a和体积v代人(34)式，并将(33)式代人(34)得： （35）将(35)式移项并积分，可以得到球形颗粒接触面积颈部生长速率关系式： （36） 此方程得出了颈部半径(x)和影响生长速率的其它变量(r，p。，t)之间的相互关系。（4）模型检验 (36)式反映了蒸发凝聚传质机理下，固相烧结初期两相

31、接触的颗粒颈部半径(x)和影响生长速率的其它变量(r，p，t)之间的相互关系。产生的原因是颗粒曲率半径和接触点处的曲率半径的差别以及满足颗 粒足够小的条件(颗粒足够小时压差才显著)。同时也反映了颗粒曲率半径与相对蒸气压差的定量关系。从几种材料的曲率半径、蒸气压差关系表31中看出只有当颗粒半径在l0m以下，蒸气压差才较明显地表现出来。而约在5m以下时，由曲率半径差异而引起的压差已十分显著，因此一般粉末烧结过程较合适的粒度至少为10m。根据（36）式，肯格雷(kingery)等曾以氯化钠球进行烧结试验（氯化钠在烧结温度下有颇高的蒸气压）。实验证明(98)式是正确的。(5）模型应用 从(36)方程可

32、见，接触颈部的生长x/r随时间(t)的13次方而变化。在烧结初期可以观察到这样的速率规律。而且只在开始时比较显著，随着烧结的进行，颈部增长很快就停止了。因此对这类传质过程用延长烧结时间不能达到促进烧结的效果。以上这就是以蒸发凝聚机理为主的烧结初期的烧结动力学模型的建立过程。§33 常用的数学建模方法331 理论分析法理论分析法是指应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。理论分析法是人们在一切科学研究中广泛使用的方法。在工艺比较成熟、对机理比较了解时，可采用此法。根据问题的性质可直接建立模型。第二节建模步骤中所举之例就是这种建模方

33、法。例32 以稳定态一元流(管流)动量方程的建立为例说明之图33推导稳定态管流动量方程示意图如图33所示的稳定态管流，以入口断面fl、出口断面f2及管壁内表面为控制面，将此控制体作为研究体系，流体流经此控制体，作用在此系统的外力代数和为f。则根据牛顿第二定律：作于控制体的外力总和应等于该系统气体动量的增量。用数学表达为： （3-7） 式中： 为气体的平均动量修正系数。在实际工程中，绝大多数气体流动属湍流态，且根据实验规律可知101102，故可认为121；当流动状态稳定时，可将流入流出控制体的质量流量视作，故式(37)就可写为： （38）式中： 管内气体的质量流量，kgs； 、管道出口断面及入口

34、断面上气体的平均流速，ms； 式(38)称为稳定态管流动量方程。若合外力f0，则有： (39) 式（3-9）说明作用于系统的合外力为零时，系统的动量是守恒的，故上式称为动量守恒原理。 在这个动量方程的分析建模过程中，根据所研究的对象应用了人们所熟悉的力学定律牛顿第二定律，并应用了质量守恒定律，同时只考虑了对流体的不同状态使用时可以不考虑界区（？）中进行的过程，只根据界面上的气体参数进行流动计算，但当气体密度变化时(12)，由能量方程不能决定体系进出口的压力差，只能计算压力能的差，所以在并联管排气体动力平衡计算中，不能使用能量方程而只能应用动量方程，它可以直接计算出压力差(p2一p1)，这在管簇

35、气体动力计算中是很方便的。 经过上述方法所建立起来的动量方程是喷射器和喷射式煤气烧嘴工作的理论基础。332 模拟方法当模型的结构及性质已经了解，但其数量描述及求解却相当麻烦时，这时一般采用模拟的方法进行对研究的对象进行研究。也就是：如果有另一种系统，其结构、性质与其构造出的模型和所研究的系统类似，则就可以用后一种模型来模拟原来模型，去分析或实验并求得其结果。例如，研究钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，可以通过弹塑性力学及断裂力学知识进行分析计算，但求解非常麻烦。此时可以借助实验光测（？）力学的手段来完成分析。首先，根据一定比例，采用模具将环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据

36、钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹；随后，将环氧树脂放在恒温箱内，对环氧树脂模型在冻结温度下加载，并在载荷不变的条件下缓缓冷却到室温卸载；将已冻结应力的环氧树脂模型在平面偏振光场或圆偏振光场下观察，环氧树脂模型中将出现一定分布的条纹，这些条纹反映了模型在受载时的应力、应变情况，用照相法将条纹记录下来并确定条纹级数，在（再）根据条纹级数计算应力；最后，根据相似原理、材料等因素确定一定的比例系数，将计算出的应力换算成钢铁材料中的应力，从而获得了裂纹尖端的应力、应变分布。以上是用实验模型来模拟理论模型，分析时也可用相对简单理论模型来模拟、分析较复杂理论模型，或用可求解的理论模型来分析尚不可求

37、解的理论模型。例如，在研究材料相变的微观理论中，统计理论是发展最早而且最为成熟的一个领域。20世纪20年代w.lenz与e.ising提出了一种用以解释铁磁相变的简化统计模型，称为ising模型。多年来ising模型的研究一直是相变统计理论的核心问题。下面介绍这种模型。例33：设有一晶体点阵，它的i个格点上的粒子的状态可以用一自旋完全表征出来。为了最简单地研究这一问题，作如下假设：自旋仅可能采用两种状态向上和向下，可分别以=+1及=-1表示之；仅在最近邻间存在有相互作用；在任何状态下系统的势能可以由最近邻对的相互作用能相加而得到。显然，由于自旋间相互作用能的存在将使自旋倾向于在点阵中规则排列。

38、而在一定温度下，所存在的热运动又使自旋处于混乱状态。因而在某一温度以下，点阵中的自旋将有可能按一定方式规则排列，从而具有铁磁性或反铁磁性，也发生了自旋取向的有序化。这取决于自旋平行和反平行中哪一种排列的能量比较低。如果能求出该模型的配分函数，则该模型的一切热力学函数都能获得。1）一维ising模型是最简单的情况，自旋在一线性链上分布。其配分函数为 （3-10）其中， （3-11）式中：是单个自旋的磁距；为玻尔兹曼常数；n为自旋个数；为同一列内两相邻自旋间的相互作用能；为温度。2）对于自旋在二维空间中排列的二维ising模型，计算很复杂，配分函数的严格解如下： （3-12）其中 （3-13）上述

39、两种情况下，系统的磁化强度平均值可根据严格的配分函数得出。3）对于自旋在三维空间中排列的三维ising模型，计算极复杂，目前尚未求出其配分函数的严格解。系统的磁化强度平均值无法根据配分函数获得，但可采用别的模型来模拟求出，比如采用bethe近似模型。bethe设计了一种就近似方法以计算三维立方点阵有序-无序相变，称为bethe近似。在该近似中，bethe以一种特殊方式排列成点阵的ising模型，从而使其成为严格可解的。它的一种特殊情形为bethe近似的结果。过程如下：构成一个点阵时，从一个中心点o开始，加q个等价的点作为它的第一壳层（第一近邻）。然后对第一壳层上每一个点作q-1个等价的新的点作

40、为它的近邻，构成了o点的第二壳层。这样得到了如图3-4所示形状的结构，这种结构不包含有回路，它被称为cayley树。第r壳层上的质点数是图34q=4的cayley树 （3-14）而所有n个壳层上的总质点数为 （3-15）称最外层的第n壳层为边界壳层。若不考虑边界壳层，则可以视其为配位数为q的规则点阵。仅考虑此图形很深的内部的局部区域，这些位置可以认为是等价的，从而构成了bethe点阵。考虑在此点阵上的ising模型，忽略边界上的自旋对配分函数的贡献。计算bethe点阵上的ising模型的配分函数 （3-16）其中，为归一化的几率分布。显然，第一项是关于bethe点阵中所有的“树干”求和，第二项

41、是关于所有的位置求和。若中心位置o的自旋为，则局域磁化强度，而 （3-17）从cayley树的结构可以看出，若截断一根“树枝”，则cayley树的结构除了它的第一近邻为q-1，因而其各级近邻数都减小了（q-1）倍外，仍与原cayley树一样。可以利用这个特点来计算平均磁化强度。设第一次在o处切断，则成为q段相同的树枝。而可以写成 （3-18）其中 （3-19） 是在第k枝上位置i上的自旋， i包括除了以外的所有壳层上的位置。则为第一壳层上的自旋。等式左方的下脚标n表示每枝中仍包含有n个壳层。是第k枝上全部“成分”的贡献，包括了0-1“树干”（但无）。做第二次切断，把割下，则第k枝又分成q-1个

42、分枝，每个分枝和作第一次切断后情形一样，只是现在只有n-1个壳层，于是有 （3-20） 是第l个分枝上除了外所有的自旋。这样就得到了一个递推关系式。若记 （3-21）则由式（3-18）得到 （3-22）类似地，由式（3-17）得到 （3-23） 由于只取+1及-1两个值，若记 （3-24）则有 （3-25）如果能求得，则获得解。仍由cayley树出发，由式（3-20）和式（3-21）得到 （3-26）此处由于各枝没有差别，省略了s的上角标k。由式（3-26），将式（3-24）化成 （3-27）上式可以写成 （3-28）由式（3-28）迭代可以求得（）。当时，（对应铁磁体）时，最后求得 （3-2

43、9）由式（3-30）结合式（3-27）迭代获得 （3-30） 式中， （3-31） 这个由bethe近似模型获得的结果和准化学近似获得的结果相同。这个模型的建立和分析过程也体现了图解法建模的优点。3.3.3 类比分析法若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的类似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。例34 在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程，即推导（avrami）方程。采用类比分析法。聚合物的结晶过程包括成核和晶体

44、生长两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。在水面上任选一参考点，根据概率分析，在时间从0到t时刻的范围内通过该点的水波数为m的概率p(m)为poisson分布（假设落下的雨滴数大于m，t时刻通过任意点p的水波数的平均值为e）。 （3-32）显然有： （3-33） （3-34）把水波扩散模型作为结晶前期的模拟来讨论薄层熔体形成“二维球晶”的情况。雨滴接触水面相当于形成晶核，水波相当于二维球晶的生长表面，当m=0时，意味着所有的球晶面都不经过p点，即p点仍处于非晶态。根据式（3-32）可知其概率为

45、（3-35）设此时球晶部分占有的体积分数为，则有 （3-36）下面求平均值e，它应为时间的函数。先考虑一次性同时成核的情况，它对应所有雨滴同时落入水面，到t时刻，水波前进的距离为r，那么，以r为半径的圆面内的雨滴所产生的水波都将通过p点如图1-3所示。把这个面积称为有效面积，通过p点的水波数等于这个有效面积内落入的雨滴数。设单位面积内的平均雨滴数为n，当时间由t增加到t+dt有效面积的增量即图中阴影部分的面积为，平均值e的增量为图35 水波通过的有效面积示意图 （3-37）若水波前进速度即球晶径向生长速度为v，则，对式（3-37）作积分得平均值同t的关系为 （3-38）代入式（3-36）得 （

46、3-39）式（3-39）表示晶核密度为n、一次性成核时体系中的非晶部分与时间的关系。如果晶核是不断形成的，相当于不断下雨的情况，设单位时间内单位面积上平均产生的晶核数即晶核生成速度为i，到t时刻产生的晶核数（相当于生成的水波）则为it。时间增加dt，有效面积的增量仍为，其中，只有满足的条件下产生的水波才是有效的，因此有 （3-40）积分得 （3-41）代入式（3-36）得 （3-42）同样的方法可以用来处理三维球晶。这时把圆环确定的有效面积增量用球壳确定的有效体积增量来代替，对于同时成核体系（n为单位体积的晶核数），则 （3-43）对于不断成核体系，定义i为单位时间、单位体积中产生的晶核数，则

47、 （3-44）将上述情况归纳起来，可用一个通式表示： （3-45）式中：k是同核密度及晶体一维生长速度有关的常数，称为结晶速度常数；n是与成核方式及核结晶生长方式有关的常数。该式称为avrami方程。下面对所建模型进行检验。图3-6尼龙1010等温结晶体数据的avrami处理结果，可见在结晶前期，实验同理论相符，但在结晶的最后部分同理论发生了偏离。分析avrami方程的推导过程，这种后期的偏离是可以理解的，因为生长着的球晶面相互接触后，接触区的增长即告停止。在结晶前期球晶尺寸较小，非晶部分很多，球晶之间不致发生接触，可以由式（3-35）来描述，随着时间的增长，球晶增长到满足相互接触的体积时，总

48、体的结晶速度就要降低，avrami方程将出现偏差。图3-6 尼龙1010等温结晶的实验结果与模型比较334 数据分析法当系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统的规律，也不便于类比分析，但有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可利用时，就可以通过描述系统功能（规律）的数据分析来连接系统的结构模型。回归分析是处理这类问题的有利工具。求一条通过或接近一组数据点的曲线，这一过程叫曲线拟合，而表示曲线的数学式称为回归方程。求系统回归方程的一般方法如下：设有一未知系统，已测得该系统有n个输入-输出数据点为 现寻求其函数关系： 或 无论x，y为什么函数关系，假设用一多项式： （3-46）作为对输

49、出（观测值）y的估计（用表示）。若能确定其阶数及系数，则所得到的就是回归方程数学模型。各项系数即为回归系数。当输入为，输出为时，多项式拟合曲线相应于的估计值为 （3-47）现在要使多项式估值与观测值的差的平方和 （3-48）为最小，这就是最小二乘法，令 （3-49） 得到下列正规的方程组 （3-50）一般数据点个数n大于多项式阶数m，m取决于残差的大小，这样，从式（3-50）可求出回归系数，从而建立回归方程数学模型。由已知观测值寻求x与y之间函数关系的方法在工业控制应用中称为“系统辨识”，系统辨识已有效地应用于空间技术、生物医学系统、经济系统、机器人工程等领域。例35 经实验获得低碳钢的屈服点

50、与晶粒直径d对应关系见表3-3中，用最小二乘法建立起d与之间关系的数学模型（霍尔-配奇公式）。表3-3 低碳钢屈服点与晶粒直径d/um400501052/（）86121180242345以作为x，作为y，取，为一直线。设实验数据点为，一般来说，直线并不通过其中任一实验数据点，因为每点均有偶然误差，有 （3-51）所有实验数据点误差的平方和为 （3-52）按照上述最小二乘法原理，误差平方和为最小的直线是最佳直线。求最小值的条件是 及 （3-53）得出 （3-54）过程中各计算值见表3-4。表3-4 最小二乘法过程中的各计算值12345861211802423459740.050.140.3160.4470.7071.6673961464132400585641190252320260.00250.020.10.20.50.82254.316.9456.88108.74243.915430.209将计算结果代入方程（3-54）联立求解得取，得到以下公式 （3-55）这是典型的霍尔-配奇公式。参考文献1 陈义华.数学模型.重庆：重庆大学出版社，19952 陈理荣等.数学建模导论.北京：北京邮电大学出版社，19993 邱大年等.计算机在材料科学中的应用.北京：北京工业大学出版社，19904 谌安琦.科技工程中的数学模