数列求和技巧与策略

1、数列求和技巧与策略本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21 year.March数列求和的基本方法和技巧就儿个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、2(心)等差数列求和公式：S” =空罕竺“5 + "（"一1）丿2nax2、等比数列求和公式：S” 十（1-1一4lQ(q 工 1)3、4、5、二丸斗S + 1)*=1 /s”=f 疋=Ls + i)2 + 1)g6s“=k=l+ 1)F例1已知log

2、3x =,求x + x2 +x' + + x” +的前n项和. g 311解：ill log3 X => log J X = - log 3 2=> X = log232由等比数列求和公式得S” =卄疋+疋+対（利用常用公式）双1-0)1-x2例 2设 Sn = l+2+3+.+n, nGN：求 f(n)=兰的最大值.(n + 32)S”i（利用常用公式）解：由等差数列求和公式得S” =丄呦+ 1）, S” =丄5 + 1）（ + 2）2 2/(/7)=,( + 32)S“+34舁 + 641 1 1 =< n + 34 + (Vn- 尸+50 ny/n 乔一靠即&q

3、uot;=8f（n）max = £二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n 项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.例 3求和：s“ = 1 + 3x + 5, + 7x + + （In 一 l）xn_1解：山题可知，（2n-1疋“的通项是等差数列2n-l的通项与等比数列严的通项之积设xSn = lx + 3" + 5宀 7/ +（2n - 1疋（设制错位）一得（1 一 x）Sn = l + 2x + 2x2 + 2x3 + 2/ + + 2xnl -（2n 一 V）xn（错位相减）1 _ "

4、;T再利用等比数列的求和公式得：（1-x）S” =1 + 2十一-（2“-1疋1-X_ ？一l）xn+, -（2n + l）xn +（l + x）例勾求数列1，歸加，一，前n项的和.2解：山题可知，出的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积X2八246In”222232,r（设制错位）+ +1 c2462n2 2223242心（错位相减、得（Tl+茅茅#+.+P笋012口=2 川川+ 2 S =4厂练习：求：Sn=l+5x+9x2+(4n-3)xn-x解:Sn=l+5x+9x2+(4n-3)xn-1两边同乘以X,得x Sn=x+5 x2+9x3+(4n-3)xn -得，(1-X)Sn=l

5、+4 ( X+ X2+X3+ 当X=1时，当XWL时,+ %" ） - （4n-3） xnSn=l+5+9+（4n-3 ） =2n2-nS尸二聲;（423） Xn三、反序相加法求和再把它这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） 与原数列相加，就可以得到n个（4+心）.例 5求证：C； + 3C* + 5C： + + （2h + 1）C； = （n + 1）2"证明：设S” =C：+3C：+5C：+. + （2n + l）C：把式右边倒转过来得S” =2 + 1）C； + 2 - 1）C；-* + + 3C； + U（反序）又由C： = C

6、；："可得S” = (2n + 1)C； + 2 - 1)C* + + 3C；-* + C；（反序相加）+得 2S” = (2n + 2)(C： +(?：+ + C；J + C；) = 2(“ + 1) 2” S” = (h +1) 2"例 6求sin? 1。+Sin22° +sin23°+- + siir 88° +sin289°的值解：设5 = sin2 V + sin2 2° + sin2 3° + + sin2 88°+sin2 89e将式右边反序得S=sin2 89° +sin2 88

7、°+- + siir 3° +sin2 2° +sin21°(反序)乂因为 sinx = cos(90° -x),sin2 x + cos2 x = 1+得(反序相加)2S=(sin21° +cos2 r)+ (sin22 +cos2 2°)+ - + (sin2 89° +cos?89°)=89练习-l!矢H lg(xy)二a,求 S,其中 S= ig,vn + lg(y) + lg(AJ,"2 v2) + + ig y" 解:将和式s中各项反序排列，得5 = lg yn + lg(

8、xw-1 y) + lg( x,l2y2 ) + + lg xn 将此和式与原和式两边对应相加，得 2S=lg(xy)芒lgOMq n +lgCQV=n(n+l)lg(xv)(n+l)项/ lg(xy)=a S=-n(n+l)a四.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为儿个等差.等 比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例刀求数列的前n项和：1 + 1丄+ 4,丄+ 7,，厶+ 3川一2，a aa "解：设S,r =(1 + 1) +(丄+ 4) +(丄+ 7) + (厶+ 3一2)acra "将其每一项拆开再重新组合得S

9、n = (1 + 丄 + 丄 + + ) + (1 + 4 + 7 + + 3 一 2)a cr 当 a = l 时，»=卄竺+ 5当心时，十+虫蛙+血丸1-丄a例8求数列n(n+l)(2n+l)W前n项和.解：设廿伙+ 1)(2« + 1) = 2疋+3宀 /. S“ 二丈心+ 1)(221) = £(2疋+3疋+£) *=1 *=1 将其每一项拆开再重新组合得Sn=2丈疋+3± k2+Y k*=1k=k=2(1 +2+ + ")+ 3(1 +2 + + /)+ (1 + 2 + + ”)_ n2(n +1)271(/7 +1)(2

10、h +1) n(n +1)11+ +(分组)(分组求和)(分组)2 2_ n(/? + l)2(7/ + 2)(分组求和)2练习：求数叫驭，嗨)的前n项和。解:五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然 后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:sinl0(1) an+(3) an =!=-n(n +1)11 n +1(5) an(2) 于二7 = tan(/7 + 1)° - tan nccos n cos(/? + l)°_ 川 1, 11 、(2n-l)(2n + l) 2 In -1

11、 2n +11n(n -1)( + 2)2u 11(11 +1) (n + )(n + 2)(6) q=- + 2 ._L= 2("_1)_.丄=_1_，则S” =11nn +1) 2" n(n + l) 2" n - 2H_1(“ + 1)2”(“ + 1)2”例9求数列丄卢,，1，的前n项和.1 + J2 J2 + J3 y/n +y/n + 解： 设 a” = _" ； = y/fl + 1 - yfn>!n + yjn + 1J ” 1 +、伍 V2 + V3亦+亦TT=(- a/1") + (*/3 -+ + Qn + 1 -

12、yn)=y/n + 1-1（裂项）+ +（裂项求和）例10在数列an中,1 2+解:an =+n+1n+1n+12n2,求数列bn的前n项的和.5ndHF=n +1 n +177 + 12= 8(1 _ -)n n + n n + （裂项）22数列bn的前n项和S =8(1丄)+ (丄一丄)+ (丄一 ) + + (丄2233 48(1-)=71 + 172 + 11 1（裂项求和）例11求证：+cosO" cosl cosl0 cos2c 1 1+ +解：设 S 1-cosOc cosl0 cosT cos2° sin r+ +cos 88° cos 89

13、76;cos883 cos89ecosTsin2le=tan(/z + l)° - tan nCQSH COS(7： + 1)°1 1（裂项）+ +cos88° cos89°（裂项求和）S FcosOe cosl° cosl0 cos2e=!(tanl° -tan0°) + (tan2° -tanl°) + (tan3° 一tan2°) + tan89° -tan88° siiil0=!(tan89°-tan0°) = ! cotf =-sm 1

14、sin 1sin 1原等式成立练习：求;，；5, ；5, 2之和。佃 1 1111111亦 3 15 35 63 1x3 3x5 5x7 7x9尹§巧（门）+古-尹古茅I 14六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一和就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可 将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12求 cosl°+ cos2°+ cos3°+-+ cosl78°+ cosl79°的值.解：设 Sn= cosl°+ cos2°+ cos3°+ cosl78°+ cosl79&

15、#176;cos/f =-cos(180°(找特殊性质项):.Sn= (COS1°+COS179°) + ( COS2°+COS178°) + (cos3°+cosl77°) +- + (cos89°+ cos91°) + cos90°(合并求和)=0例 13数列an： ax = 1卫2 = 3卫3 = 2,d”2 = an an，求 S2002-解：设 S2002 = “ + © +。2002由绚=1, a2 = 3, a3 = 2, % = % -可得 4斗=_1, a5 = -3

16、,仇=_2，5=1, 心=3, 伽=2,= -1, axx =-3,勺2=_2,%" = -2（找特殊性质项）（合并求和）心叶=1，。6知2=玄Cig =2、"6人+=一1，你知5“6R+1 + “6R+2 + “6R+3 + “6*+4 + “6k+5 + “6 如6 = °I S2002= " + © + 幻h “2002=( +。2 +。3 +«6)+("7 +。8 +"12)+ +(。6 知 1 + 仪6知2 + d66)d F (如93 + 1994"1998)+ "1999 + “2

17、000 +2(X)1 + °2002_ 1999 + ©GOO + “2001 + "2002%+l +。6 如 2 + “6 文+3 + a6M=5例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 = 9,log3 «! + log3 «2 + + log3 a10的值.解:设 S” =log3® +log3 &2 + + log3“10由等比数列的性质m + n = p + q=> aman = apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质logflM+logfl/V = log<JM-7V得S” = (log 33

18、Z10 ) + (log 3 U2 + log 3 ) + + (log 3 U5 + log 3 U6 )(合并求和)= (10g,l "(logs© 他)+ + (bg3d5 心)=logs 9 +logs 9 + + log3 9=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规 律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.【例15求1 + 11 + 111 + 1111之和."个1解：由于 111 1 = 1x999 9 = 1(10' -1)991 + 11 + 111 + 1111"个1=1(10,-l) + l(io2 -1) +丄(1()3_1) + + 1(10"-1)9999=1(10'+102 +103 + + 10,)-1(1 + 1+ ! + +1)（找通项及特征）（分组求和）wM110(10"-1)料910-19=丄(10心一 10-9叭81Q8例16已知数列an： ciu =-，求工5 + 1)(©-)的值.(&